Цилиндр: понятие, признаки и свойства

Вычисления

Цилиндр

Цилиндр — это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя окружностями с границами $M$ и $M_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а окружности – основанием цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая L.

Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны основаниям.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания, а другая равна высоте цилиндра.

Основные элементы цилиндра

  • Основаниями цилиндра являются две окружности одинакового размера/площади с центрами в точках O1 и O2.
  • R — радиус основания цилиндра, отрезки AD и BC — диаметры (d).
  • O1O2 — ось симметрии цилиндра, а также его высота (h).
  • l(AB, CD) — образующие цилиндра и одновременно стороны прямоугольника ABCD. Равно высоте фигуры.

Развертка цилиндра — боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; представляет собой прямоугольник.

  • длина этого прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра (2πR);
  • ширина равна высоте/образующей цилиндра.

Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.

Виды сечений цилиндра

  1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, образованный в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. В нашем случае это ABCD (см первое изображение публикации). Площадь такого сечения равна произведению высоты цилиндра на диаметр основания.
  2. Если плоскость сечения не проходит по оси цилиндра, а перпендикулярна основаниям, то сечение также является прямоугольником
  3. Если секущая плоскость параллельна основаниям фигуры, разрез представляет собой окружность, идентичную основаниям.
  4. Если цилиндр пересекает плоскость, не параллельная основаниям и в то же время не касающаяся ни одного из них, то сечение представляет собой эллипс.
  5. Если секущая плоскость пересекает одно из оснований цилиндра, сечение будет параболой/гиперболой.

Виды цилиндров

  1. Правый цилиндр — имеют одинаковые симметричные основания (окружность или эллипс), параллельные друг другу. Отрезок между точками симметрии оснований перпендикулярен им, является осью симметрии и высотой фигуры.
  2. Косой цилиндр — имеет одинаковые симметричные и параллельные основания. Но отрезок между точками симметрии не перпендикулярен этим основаниям.
  3. Косой (косой) цилиндр — основания фигуры не параллельны друг другу.
  4. Круглый цилиндр — основания представляют собой круг. Существуют также эллиптические, параболические и гиперболические цилиндры.
  5. Равносторонний цилиндр – это прямоугольный цилиндр, диаметр основания которого равен его высоте.

Основные понятия и свойства цилиндра:

  1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
  2. Все образующие цилиндра параллельны и равны.
  3. Радиус цилиндра равен радиусу основания ($R$).
  4. Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями оснований (у прямого цилиндра высота равна образующей).
  5. Осью цилиндра является отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
  6. Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
  7. Если высоту цилиндра увеличить в $m$ раз, то во столько же раз увеличится и объем цилиндра.
  8. Если призма вписана в цилиндр, то ее основанием будут равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра будут образующими цилиндра.
  9. Если цилиндр вписан в призму, основаниями являются равные многоугольники, описанные около основания цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.

Пример:

Цилиндрический сосуд наполнен водой до 40 см. Найдите высоту уровня воды, если ее налить в другой цилиндрический сосуд, радиус дна которого в 2 больше радиуса дна первого цилиндра. Дайте ответ в сантиметрах.

Решение:

Так как из сосудов вылили один и тот же объем жидкости, то радиусы и высоты уровней жидкости различны на равный объем.

В_1=В_2;

R_2=2R_1, так как радиус второго цилиндра в два раза больше радиуса первого.

h_1=40;h_2-?

Выпишем объемы жидкости, занимаемые в обоих сосудах, и приравняем формулы между собой.

V_1=πR_1^2 h_1=πR_1^2 40;

V_2=πR_2^2 h_2=π(2R_1)^2 h_2=4πR_1^2 h_2.

πR_1^2 40=4πR_1^2 ч_2

У нас есть уравнение, которое делится на πR_1^2

40=4ч_2

Чтобы найти h_2, нужно сорок на четыре разделить

h_2=10

Ответ: 10

Читайте также: Умножение в столбик — как умножать в столбик в 3 и 4 класс

Площадь поверхности и объем цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

S_{Боковая линия}=2πR ч

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух поверхностей основания и боковой поверхности.

S_{общий серфинг}=2πR^2+2πR h=2πR(R+h)

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

V= πR^2h

Объем части цилиндра, лежащей на дне сектора: V={πR^2·n°·h}/{360}, где n° — градусная мера центрального угла, отсекает заданный сектор.

Составной цилиндр:

Чтобы найти объем составного цилиндра:

  1. Разбить составной цилиндр на несколько цилиндров или частей цилиндра.
  2. Найдите объем каждого цилиндра.
  3. Добавьте объемы.

Практика: решить задание 8 и возможности подготовки к ЕГЭ по математике (профиль)

Формулы цилиндра

А если это прямоугольник, то мы знаем, как найти площадь. Нам нужно умножить длину на высоту. Так мы получим площадь боковой поверхности цилиндра.

(S_{сторона} = 2 pi RH)

В этой формуле 2R — длина окружности основания, где R — его радиус, а H — образующая (или высота) цилиндра. Подробнее о площади прямоугольника и длине окружности (а также о площади круга) вы можете прочитать в статьях «Параллелограмм» и «Окружность и окружность».

Мы нашли площадь боковой поверхности. Как найти общую площадь поверхности?

Для этого нужно сложить площади боковой поверхности и оснований. Таким образом, мы получаем следующую формулу.

(S = S_{сторона} + 2S_{основание} = 2 pi RH+2 pi R^2 = 2 pi R(H + R))

Допустим, мы решили заварить чашку очень вкусного чая, но чтобы его правильно заварить, нам нужно знать точное количество воды. Для этого рассчитаем объем цилиндра. Воспользуемся следующей формулой:

(V = S_{main}H = pi R^2H)

В этой формуле R — радиус цилиндра, H — высота.

Часто формулу объема можно использовать для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду.

Пример 1. В цилиндрическую емкость наливают 1650 см3 жидкости. Часть была утоплена в этом судне. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Выразите ответ в см3.

Решение.

Шаг 1. Выразите высоту жидкости в первый и второй раз. Предположим, что изначально уровень жидкости был равен х, затем после погружения в него детали стал равен 1,2х.

Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после погружения в него детали будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = Vl + Vd.

Шаг 3. Через объем жидкости выражаем площадь дна сосуда:

Вж = Прим.Ч
1650 = Собаза.x
(S_{основной} = frac{1650}{x})

Шаг 4. Подставляем площадь основания в формулу объема жидкости после погружения в нее детали:

(V = S_{main}H = frac{1650}{x} * 1,2x = 1980)

Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:

Vд = V — Вж
Генеральный директор = 1980 — 1650 = 330

Ответ: 330 см3

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.Площадь полной поверхности цилиндра

Для цилиндра радиусом r и высотой h (рис. 5)

объем цилиндра Боковая поверхность цилиндра Общая поверхность цилиндра

Рис.5

введем следующие обозначения

В объем цилиндра
Страница площадь боковой поверхности цилиндра
Полный общая площадь поверхности цилиндра
Сосн площадь основания цилиндра

Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

Sприм = πr2,

V = Сочх = πr2h,

Сторона = 2πrh,

Всего = 2πr2 + 2πrh =
= 2π(r + h).

Примечание 7. Формулу объема цилиндра V = πr2h можно получить из – формулы угольной призмы обычного объема – формулы углеродной призмы правильного объема

переходя к пределу, когда число сторон правильной призмы n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.

Зная радиус r и высоту h

Чему равен объем цилиндра, радиус которого r = , а высота h = ?
Ответ: V = 0

Каков объем цилиндра V, радиус которого r и высота h известны?

Формула

V = π⋅r2⋅ч

Пример

Если цилиндр имеет высоту h = 8 см и его радиус r = 2 см, то:

V = 3,14156 ⋅ 22 ⋅ 8 = 3,14156 ⋅ 32 = 100,53 см3

Зная диаметр d и высоту h

Чему равен объем цилиндра, если диаметр d = , а высота h = ?
Ответ: V = 0

Каков объем цилиндра V, если известны диаметр d и высота h?

Формула

V = π⋅(d/2)2⋅ч

Пример

Если цилиндр имеет высоту h = 5 см и диаметр d = 1 см, то:

V = 3,14156 ⋅ (1/2)2 ⋅ 5 = 3,14156 ⋅ 1,25 ≈ 3,927 см3

Зная площадь основания So и высоту h

Чему равен объем цилиндра, если площадь основания So = , а высота h = ?
Ответ: V = 0

Каков объем цилиндра V, если известны основание So и высота h?

Формула

В = Так⋅ч

Пример

Если цилиндр имеет высоту h = 10 см, а основание So = 5 см2, то:

V = 10 ⋅ 5 = 50 см3

Зная площадь боковой поверхности Sb и высоту h

Чему равен объем цилиндра, если площадь боковой поверхности Sb = , а высота h = ?
Ответ: V = 0

Каков объем цилиндра V, если известны площадь его боковой поверхности Sb и высота h?

Формула

V = Sb2/4πh

Пример

Если цилиндр имеет высоту h = 5 см, а его боковая поверхность Sb = 30 см2, то:

V = 302/4 ⋅ 3,14⋅ 5 = 900/62,8 = 14,33 см3

Пример задачи

Пример 1

Найдите площадь всей поверхности цилиндра и его объем, если радиус основания равен $7$ см, а высота в два раза больше диаметра основания.

Решение.

Сначала найдем высоту цилиндра. Поскольку высота в два раза больше диаметра, получаем

h=2cdot 2r=4r=28см

Как мы знаем

S_{main}=pi r^2=49pi

По теореме 1

S_{сторона}=2pi rh=392pi

Затем

S_{полный}=S_{сторона}+2S_{основание}=392pi +98pi =490pi

По теореме 2

V=pi r^2h=49pi cdot 28=1372pi

Ответ: 490pi , 1372pi

Оцените статью
Блог о Microsoft Word