Угол между прямой и плоскостью

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим подходящий масштаб.

В результате получается система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая из точек характеризуется тремя числами – координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по оси Y (ордината) равна 3, а координата Z (приложенная) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и в плоскости, из конечной координаты вычитаем начальную координату.

Длина вектора
в пространстве — расстояние между точками А и В. Находится как квадратный корень из суммы квадратов векторных координат:

Пусть точка М будет серединой отрезка АВ. Координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов воспользуемся уже знакомым правилом треугольника и правилом параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы
и
.

Сумма векторов:

Разница векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно, если эти линии пересекаются. Помните, что так называются линии, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K являются серединами ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

Если у вас есть куб, то вам повезло. Он идеально вписывается в прямоугольную систему координат. Построить чертеж:

Длина ребра куба не указана. Как бы то ни было, угол между АЕ и ВК от этого не зависит. Итак, возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые АЕ и БК — перекрестные. Найдите угол между векторами
и
. Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найти косинус угла между векторами
и
:

2. В правильной квадратной пирамиде SABCD, где все ребра равны 1, точки E, K являются серединами ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C находятся легко:

Из прямоугольного треугольника AOS находим

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой координат центра отрезка и найдем координаты точек Е и К.

Найдите координаты векторов
и
:

и угол между ними:

Теперь покажем, как система координат вписывается в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, у которой все ребра равны 1, точка D является серединой ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка А будет началом координат. Возьмем ось X параллельной стороне BC, а ось Y перпендикулярной ей. Другими словами, отрезок AH будет лежать на оси Y, которая является высотой треугольника ABC. Отдельно рисуем нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D является центром A1B1. Поэтому воспользуемся формулами для координат середины
сегмент.

Найдите координаты векторов
и
, а затем угол между ними:

Посмотрите, как легко найти угол между линиями, используя векторы и координаты. А если вы хотите найти угол между плоскостями или между линией и плоскостью? Для решения таких задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Читайте также: Единицы измерения длины: чему равны

Виды углов между плоскостью

Плоскость и прямая имеют одну (общую) точку пересечения).

В этом примере мы не знаем угол между прямой и плоскостью. Линия также может проходить через плоскость перпендикулярно (90 градусов)

Прямая перпендикулярна плоскости, как и всем другим прямым, лежащим на этой плоскости.

Точка перпендикулярного пересечения прямой M1 и плоскости γ снизу также является проекцией точки M при условии, что она не принадлежит плоскости γ.

Проекцией прямой на плоскость называется множество проекций данной прямой на плоскость.

Это означает, что прямая, перпендикулярная плоскости, имеет с ней общую точку пересечения, а значит, а — принадлежит плоскости и плоскости, проходящей через точку пересечения прямой.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между данной прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Линия не обязательно перпендикулярна плоскости. Из этого обозначения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый (90>х).

Угол между линией и плоскостью всегда равен 90 градусов, а угол между параллельными линиями необязателен. В некоторых заданиях значение просто равно нулю, это указано внутри задания.

Определение угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Мы уже знакомы с терминами «угол», «прямая» и «плоскость» (если забыли, то можете повторить по нашим материалам). Теперь давайте вспомним, что такое проекция.

Проекция — это геометрическое изображение на плоскости, полученное проведением перпендикуляров из всех точек данного тела к плоскости.

То есть под углом между линией и плоскостью в пространстве мы понимаем угол между линией и ее отображением на плоскости.

Важное уточнение. Если прямая перпендикулярна плоскости, то можно считать, что угол между ними равен 90°, что следует из определения перпендикуляра к прямой и плоскости. Этот случай самый простой, мы его рассматривать не будем.

Также стоит отметить, что если прямая параллельна плоскости, то они не имеют ни одной общей прямой, а значит, угол между ними не определяется.

Как вы думаете, какой вид имеет угол между прямой и плоскостью? Правильно, он может быть только острым. Попробуйте доказать это сами

Свойство угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это наименьший из углов между прямой и произвольной линией на плоскости.

Попробуем доказать. Для этого начертите плоскость и проведите к ней прямую АВ, которая наклонена. Тогда AB1 — проекция прямой на плоскость, AH — произвольная прямая, принадлежащая плоскости, а BH и BB1 перпендикулярны плоскости (BH ⟂ AH, BB1 ⟂ AB). Чтобы лучше представить себе этот объемный рисунок, можно сделать небольшой макет из сложенного листа бумаги, прислонить его к поверхности стола или блокнота.

Для проверки свойства нужно доказать, что угол ∠BAB1 много меньше угла ∠BAN.

Сформулируем задачу: значения этих углов, как и других исходных, нам неизвестны. Так что на помощь может прийти тригонометрия, ведь сравнивать углы можно через их синус.

Синус — это отношение противолежащего угла к гипотенузе. В этом случае, .

Оба перпендикуляра BB1 и BH проведены из точки B, но только один из них является кратчайшим расстоянием от точки по плоскости, и это перпендикуляр BB1. Так как значения синусов представляют собой дроби с одинаковыми знаменателями, то та, у которой знаменатель больше, будет больше.

Следовательно, sin ∠BAB1 < sin ∠BAH, ∠BAB1 < ∠BAH.

Теорема

Из двух наклонных линий, проведенных из одной точки в плоскость, меньшая образует с плоскостью больший угол, и наоборот: угол, образованный большей наклонной, будет меньшим из двух.

Существует множество различных доказательств этой теоремы, но мы сосредоточимся на одном из них.

Для этого нарисуйте плоскость и точку. Из точки А проводим две наклонные прямые, причем АВ < АС, а также одну, перпендикулярную плоскости АО. Докажем, что ∠ABO > ∠ACO.

Стороны OB и OS являются проекциями AB и AC соответственно. Меньшая линия имеет меньшую проекцию, что означает OB < OC.

Откладываем на стороне ОС отрезок ОЕ, равный ОВ. Можно ли доказать, что треугольники AOB и AOE подобны?

В этих треугольниках:

• OB = OE (по конструкции),
• АО — общая ножка.

Следовательно, треугольники АОВ и АОЕ равны по двум сторонам (или по первому признаку: двум сторонам и углу между ними). В этом случае соответствующие углы также равны: ∠ABO = ∠AEO.

Угол AEO лежит вне треугольника AEC, и по свойству внешнего угла ∠AEO = ∠ACE + ∠CAE. Нетрудно догадаться: так как угол АЕО равен сумме двух других углов в треугольнике, не смежных с ним, то он больше любого из этих двух углов.

∠AEO > ∠ACE, а поскольку ∠AEO = ∠ABO, то ∠ABO > ∠ACE.

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеют множество вариантов решения. Сам процесс решения зависит от имеющихся данных о состоянии. Частыми спутниками решения являются знаки равенства или равенства цифр, косинус, синус, тангенс углов. Нахождение угла возможно с помощью метода координат. Рассмотрим его более подробно.

Если в трехмерном пространстве ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то прямая а пересекает плоскость γ в заданной в ней точке M и не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α между данной прямой и плоскостью.

Сначала воспользуемся определением угла между прямой и плоскостью с помощью координатного метода. Тогда получаем следующее.

В системе координат Oxyz задана прямая a, которой соответствуют уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямого пространства, для плоскости γ соответствует уравнение плоскости и вектор нормали самолет. Тогда a→=(ax, ay, az) — вектор направления данной прямой a, а n→(nx, ny, nz) — вектор нормали к плоскости γ. Если представить, что у нас есть координаты вектора направления прямой а и вектора нормали плоскости γ, то их уравнения известны, т е заданы условием, то можно определить векторы a→ и n→, на основе уравнения.

Для расчета угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла, используя имеющиеся координаты вектора направления прямого и вектора нормали.

Необходимо отложить векторы a→ и n→, начиная с точки пересечения прямой a и плоскости γ. Возможны 4 варианта расположения этих векторов относительно заданных прямых и плоскости. Рассмотрим изображение ниже, на котором представлены все 4 варианта.

Отсюда получаем, что угол между векторами а→ и n→ имеет обозначение а→, n→^ и является острым, то искомый угол α, лежащий между прямой и плоскостью, достроен, т.е выражение вида a→ , n→^=90 °-α. Когда по условию a→, n→^>90°, то имеем a→, n→^=90°+α.

Поэтому имеем, что косинусы равных углов равны, тогда последние равенства записываются в виде системы

cosa→, n→^=cos 90°-α, a→, n→^<90°cosa→, n→^=cos 90°+α, a→, n→^>90°

Для упрощения выражений необходимо использовать формулы приведения. Тогда получим равенства вида cosa→, n→^=sin α, a→, n→^<90°cosa→, n→^=-sin α, a→, n→^>90°.

После преобразований система принимает вид sin α=cosa→, n→^, a→, n→^<90°sin α=-cosa→, n→^, a→, n→^>90°⇔sin α =cosa → , n→^, a→, n→^>0sin α=-cosa→, n→^, a→, n→^<0⇔⇔sin α=cosa→, n→^

Отсюда получаем, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между вектором направления прямой и вектором нормали к данной плоскости.

В разделе о нахождении угла, образованного двумя векторами, показано, что этот угол принимает значение скалярного произведения векторов и произведения этих длин. Процесс вычисления синуса угла, полученного при пересечении прямой и плоскости, осуществляется по формуле

sin α=cosa→, n→^=a→, n→^a→ n→=ax nx+ay ny+az nzax2+ay2+az2 nx2+ny2+nz2

Это означает, что формула для вычисления угла между прямой и плоскостью с координатами вектора направления прямой и вектора нормали к плоскости после преобразования оказывается такой

α=arcsina→, n→^a→ n→=arcsinax nx+ay ny+az nzax2+ay2+az2 nx2+ny2+nz2

нахождение косинуса известного синуса допускается с помощью основного тригонометрического тождества. Точка пересечения прямой и плоскости образует острый угол. Это говорит о том, что значение будет положительным числом, а расчет производится по формуле cos α=1-sin α.

Решим несколько подобных примеров для закрепления материала.

Пример 1

Найдите угол, синус, косинус угла, образованного прямой x3=y+1-2=z-116 и плоскостью 2x+z-1=0.

Решение

Для получения координат вектора направления необходимо рассмотреть канонические уравнения прямой в пространстве. Тогда мы получаем, что a→=(3, -2, 6) — вектор направления прямой x3=y+1-2=z-116.

Для нахождения координат вектора нормали необходимо рассмотреть общее уравнение плоскости, так как их наличие определяется коэффициентами перед переменными уравнения. Тогда получаем, что для плоскости 2x+z-1=0 вектор нормали имеет вид n→=(2, 0, 1).

Необходимо перейти к вычислению синуса угла между прямой и плоскостью. Для этого необходимо подставить в заданную формулу координаты векторов a→ и b→. Получаем выражение типа

sin α=cosa→, n→^=a→, n→^a→ n→=ax nx+ay ny+az nzax2+ay2+az2 nx2+ny2+nz2==3 2+(-2) 0+6 132+(-2)2+62 22+02+12=1275

Отсюда находим значение косинуса и значение самого угла. Мы получаем:

cos a=1-sin a=1-12752=10175

Ответ: sin α=1275, cos α=10175, α=arccos10175=arcsin1275.

Пример 2

Это пирамида, построенная по значениям векторов AB→=1, 0, 2, AC→=(-1, 3, 0), AD→=4, 1, 1. Найдите угол между прямой AD и самолет АВС.

Решение

Для вычисления искомого угла необходимо иметь значения координат вектора направления прямой и вектора нормали плоскости для прямой AD, вектор направления имеет координаты AD→=4, 1, 1.

Вектор нормали n→, принадлежащий плоскости ABC, перпендикулярен векторам AB→ и AC→. Это означает, что векторное произведение векторов AB→ и AC→ можно рассматривать как вектор нормали к плоскости ABC. Рассчитаем по формуле и получим:

n→=AB→×AC→=i→j→k→102-130=-6 i→-2 j→+3 k→⇔n→=(-6, -2, 3)

Необходимо заменить координаты векторов на вычисление искомого угла, образованного пересечением прямой и плоскости, мы получим выражение вида:

α=arcsinAD→, n→^AD→ n→=arcsin4 -6+1 -2+1 342+12+12 -62+-22+32=arcsin23212

Ответ: arcsin23212.

Как найти угол между прямой и плоскостью

Переходим от теории к практике: как вычислить угол между прямой и плоскостью? Вопрос простой и сложный одновременно. Дело в том, что задач на нахождение угла много, и каждая из них использует свой алгоритм решения. Важную роль играет предмет и раздел, в котором дается это задание: это может быть стереометрия, векторная алгебра и даже физика. Но все эти алгоритмы сводятся к двум методам: геометрическому и алгебраическому или координатному методу. Давайте рассмотрим каждый из них подробно.

Геометрический метод

Для использования геометрического метода необходимо опустить перпендикуляр к плоскости из точки, принадлежащей исходной прямой. Выясним, что такое перпендикуляр, косая и проекция в этой задаче, и решим планиметрическую задачу (чаще всего в таких задачах приходится найти одну из вершин прямоугольного треугольника).

Задание 1

Из точки А к плоскости проведены две косые АВ и АС и перпендикуляр АО, а О, В и С — точки пересечения с плоскостью .

Определите, чему равен АО, если СО = 10, ВО = 26 и угол АСО в два раза больше угла АВО.

Решение:

Отметим на стороне OB отрезок, равный OS. Тогда OS = OE = 10, а EB = 26 — 10 = 16.

Рассмотрим треугольники ACO и AEO:

• CO = OE (по конструкции),
• АО — общая ножка.

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам. Значит, угол АСО равен углу АЕО.

Угол AEO лежит вне треугольника AEB, значит, ∠AEO = ∠ABE + ∠BAE. Так как ∠ ABE =, значит, ∠ BAE = 2- =, а треугольник AEB равнобедренный.

Затем находим AO через прямоугольный треугольник AOE по теореме Пифагора:

Алгебраический метод

Алгебраический или координатный метод нахождения угла между прямой и плоскостью основан на специальной формуле. Для его использования нужно определить координаты двух точек, принадлежащих прямой, описать уравнение плоскости и воспользоваться формулой. По сути, в этом методе мы находим угол между вектором и плоскостью.

где (x1, y1, z1) — координаты первой точки,

(x2, y2, z2) — координаты второй точки,

A, B и C — координаты в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

В противном случае эти числа называются координатами вектора нормали к плоскости.

Здесь может возникнуть вопрос: а что если в задаче не координаты точек, а координаты вектора?

Помните при этом, что координаты вектора находятся через разницу между начальной и конечной координатами. Итак, со спокойной душой подставляем эти координаты в формулу вместо (x2 — x1), (y2 — y1) и (z2 — z1).

В некоторых задачах для нахождения угла между прямой и плоскостью вводят понятие вектора направления прямой. Вектор направления прямой — это любой ненулевой вектор, расположенный на данной прямой или на прямой, параллельной ей.

Координаты этого вектора можно получить из канонического уравнения прямой:

, где вектор направления a имеет координаты (ax, ay).

Тогда угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:

Задача 2

Найдите угол между прямой и плоскостью 3x — y — z + 1 = 0.

Решение:

1. Определим координаты вектора направления прямой: (2; –1; 3).
2. Определим координаты вектора нормали к плоскости: (3; –1; –1).
3. Подставляем координаты в формулу для вычисления синуса угла между плоскостью и прямой:

Задача 3

Найдите угол между плоскостью, заданной уравнением x + 2y + 2z — 4 = 0, и прямой, содержащей точки A (0, 2, -1) и B (-2, 4, -1).

Решение:

1. Определим координаты вектора нормали к плоскости: (1; 2; 2).
2. Подставляем координаты вектора нормали и координаты точек на прямой в формулу:

За короткое время мы изучили понятие угла между прямой и плоскостью, доказали теоремы, проанализировали способы нахождения угла и решили практические задачи. Мы хороши!

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если вектор направления прямой L

с = {л; м; п}

и уравнение плана

Ах + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти по формуле

грех ф =	| А · л + В · м + С · п |
√A2 + B2 + C2 √l2 + m2 + n2

Дополнительные теоремы

• Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется углом между прямой и ее проекцией на плоскость.
• Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной плоскости перпендикулярно проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной плоскости.
• Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью М считается равным нулю. Если линия перпендикулярна прямой, т.е равна 90 градусам.
• Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью, нужно сначала вычислить косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости.
• Если вектор направления прямой L s = {l; м; n} и уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то угол между этой прямой и плоскостью можно найти по следующей формуле:

sin varphi=frac{|A cdot 1+B cdot m+C cdot n|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} cdot sqrt{1^{2}+m^{2}+n^{2}}}

Пример задачи

Дана плоскость 2x + y – 3z + 5 = 0, а также вектор направления прямой e = {3; -2; 4}. Найдите угол между прямой и плоскостью.

Решение:

Воспользуемся формулой выше, и подставим в нее известные нам значения:

Таким образом, угол составляет приблизительно 23,4° (арксинус 0,397).