Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения, как умножать десятичные дроби

Понятие десятичной дроби

Прежде чем ответить на вопрос, как найти десятичную дробь, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это представление числа в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный вид — ½ или а/б,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

К обыкновенным дробям мы вернемся позже, а сейчас поговорим о десятичных дробях. Их знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10 000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:

• 0,8
• 7,42
• 9932

Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6;
• 21.10200000 = 21.102.

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то оно равно нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в правильной форме, если знаменатель правильной дроби равен 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т д. То есть 1 цифра является делителем 10, 4 цифры — это делитель 10000.

Как записать десятичную дробь

Давайте рассмотрим на примерах, как написать десятичную дробь. Небольшое напоминание: сначала пишем целую часть, ставим запятую и потом пишем числитель дробной части.

Пример 1. Преобразование правильной дроби в десятичную.

Как мы решаем:

1. В знаменателе 10, то есть ноль.
2. Считаем справа налево в числителе дроби один знак и ставим запятую.
3. В полученной десятичной дроби цифра 1 – целая часть, цифра 6 – дробная часть.

Отвечать:

Пример 2. Преобразование в десятичное число.

Как мы решаем:

1. В знаменателе 1000, это три нуля.
2. Считаем справа налево в числителе дроби три цифры и ставим запятую.
3. Так как в счетчике всего две цифры, то в пустые места пишем нули.
4. В полученной десятичной дроби число 0 – целая часть, 037 – дробная часть.

Читайте также: Разложение чисел на простые множители: способы и примеры

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель правильно вас понял, важно правильно читать десятичные дроби. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целая», а затем дробь с обозначением разряда — это зависит от количества знаков после запятой:

одна цифра — десятые;	1,3 — одна целая, три десятых;
две цифры — сотые	2,22 — две целых, двадцать две сотых;
три цифры — тысячные;	23 885 — двадцать три точки восемьсот восемьдесят пять тысячных;
четыре цифры — десятитысячные;	0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных;
и так далее

Сохраняйте зрительный образ, чтобы быстрее запоминать.

Умножение десятичных дробей: общие принципы

Сформулируем общие принципы, которыми необходимо руководствоваться при решении задач на умножение десятичных дробей.

Для начала вспомним, что десятичные дроби — это не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, поэтому процесс умножения можно свести к такому же для обыкновенных дробей. Это правило работает как для конечных, так и для бесконечных дробей: после преобразования их в обыкновенные с ними легко производить умножение по уже изученным нами правилам.

Посмотрим, как решаются такие задачи.

Пример 1

Вычислите произведение 1,5 и 0,75.

Решение: Сначала замените десятичные дроби правильными. Мы знаем, что 0,75 — это 75/100, а 1,5 — это 1510. Мы можем уменьшить дробь и извлечь целую часть. Запишем результат 1251000 как 1,125.

Ответ: 1125.

Мы можем использовать метод подсчета столбцов, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Умножьте периодическую дробь 0,(3) на другую 2,(36).

Решение

Сначала приведем исходные дроби к обыкновенным. Мы сможем:

0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+…=0,31-0,1=0,39=39=132,(36)=2+0,36+0, 0036+…=2+0,361-0,01= 2+3699=2+411=2411=2611

Следовательно, 0,(3) 2,(36)=13 2611=2633.

Полученную обыкновенную дробь можно привести к десятичной форме, разделив числитель на знаменатель в столбик:

Ответ: 0,(3) 2,(36)=0,(78).

Если в состоянии задачи у нас есть бесконечные непериодические дроби, нам нужно выполнить их предварительное округление (см статью об округлении чисел, если вы забыли, как это сделать). После этого можно выполнять операцию умножения с уже округленными десятичными дробями. Возьмем пример.

Пример 3

Вычислите произведение 5,382. и 0,2.

Решение

У нас в задаче бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получается, что 5,382… ≈5,38. Округлять второй множитель до сотых не имеет смысла. Теперь можно вычислить искомое произведение и записать ответ: 5,38 0,2=538100 210=1 0761000=1,076.

Ответ: 5,382… 0,2≈1,076.

Правила умножения десятичных дробей.

1. Умножайте, не обращая внимания на запятую.

2. В произведении отделяем столько знаков после запятой, сколько после запятых в обоих сомножителях вместе взятых.

Калькулятор дробей онлайн. Сложение, вычитание, умножение, деление дробей.

Десятичный калькулятор онлайн. Преобразование десятичных дробей в обычные и обычных в десятичные.

При умножении десятичной дроби на натуральное число необходимо:

1. Умножайте числа, игнорируя запятую;

2. В итоге запятую ставим так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько в десятичной дроби.

Как умножать десятичные дроби столбиком

Метод подсчета столбцов нельзя применять только к натуральным числам. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножать их точно так же. Выведем правило:

Определение 1

Умножение десятичных дробей столбиком осуществляется в 2 приема:

1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимания на запятые.

2. Ставим десятичную точку в итоговом числе и разделяем его на такое количество цифр в правой части, на сколько оба множителя вместе содержат десятичные дроби. Если в результате чисел для этого не хватило, добавляем слева нули.

Разберем примеры таких расчетов на практике.

Пример 4

Умножьте десятичные дроби 63,37 и 0,12 на один столбец.

Решение

Прежде всего, давайте умножим числа, игнорируя десятичные точки.

Теперь нам нужно поставить запятую в нужном месте. Он будет разделять четыре цифры в правой части, так как сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4. Вам не нужно добавлять нули, потому что знаков достаточно:

Ответ: 3,37 0,12 = 7,6044.

Пример 5

Подсчитайте, сколько будет 3,2601 умножить на 0,0254.

Решение

Считаем без запятых. Получаем следующие цифры:

Мы поставим запятую, разделяющую 8 цифр справа, потому что исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и без лишних нулей не обойтись:

Ответ: 3,2601 0,0254=0,08280654.

Как перемножить десятичную дробь с натуральным числом

Процесс такого умножения ничем не отличается от действия умножения двух десятичных дробей. Метод умножения в столбик удобно использовать, если условие задачи содержит конечную десятичную дробь. При этом необходимо учитывать все правила, о которых мы говорили в предыдущем пункте.

Пример 7

Подсчитайте сколько будет 15 2.27.

Решение

Умножьте исходные числа столбцом и разделите две запятые.

Ответ: 15 2,27 = 34,05.

Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, мы должны сначала заменить десятичную дробь на правильную.

Пример 8

Вычислите произведение 0, (42) и 22.

Решение

Приведем периодическую дробь к форме правильной дроби.

0.(42)=0,42+0,0042+0,000042+…=0,421-0,01=0,420,99=4299=1433

Затем умножаем:

0,42 22=1433 22=14 223=283=913

Окончательный результат можно записать в виде периодической десятичной дроби, такой как 9,(3).

Ответ: 0,(42) 22=9,(3).

Бесконечные дроби должны быть округлены перед подсчетом.

Пример 9

Подсчитайте, сколько будет 4 2,145….

Решение

Округлим исходную бесконечную десятичную дробь до сотых долей. После этого переходим к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Ответ: 4 2,145… ≈ 8,60.

Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д.

С такими числами часто приходится умножать десятичные дроби, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем специальное правило, которое будем использовать при таком умножении:

Определение 2

Если мы умножим десятичную дробь на 0,1, 0,01 и т д., то получим число, похожее на исходную дробь, но запятую переместим влево на необходимое количество знаков. Если для переноса недостаточно цифр, добавьте нули слева.

Итак, чтобы умножить 45,34 на 0,1, необходимо в исходной десятичной дроби перенести запятую на один знак. Мы закончим на 4,534.

Пример 6

Умножьте 9,4 на 0,0001.

Решение

Нам нужно перенести запятую на четыре цифры по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого недостаточно. Приписываем нужные нули и получаем, что 9,4 0,0001=0,00094.

Ответ: 0,00094.

Для бесконечных десятичных дробей мы используем то же правило. Так, например, 0,(18) 0,01=0,00(18) или 94,938… 0,1=9,4938… и так далее.

Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др

умножение десятичной дроби на 10, 100 и т д часто встречается в задачах, поэтому этот случай мы разберем отдельно. Основное правило умножения:

Определение 3

Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и т д., переместите запятую на 3, 2, 1 знак, в зависимости от множителя, и отбросьте лишние нули влево. Если цифр для переноса запятой не хватает, мы добавляем справа столько нулей, сколько нам нужно.

Покажем на примере, как это сделать.

Пример 10

Умножьте 100 и 0,0783.

Решение

Для этого нам нужно переместить запятую на 2 знака вправо. В итоге мы получим 007,83. Нули слева можно отбросить, а результат записать как 7,38.

Ответ: 0,0783·100=7,83.

Пример 11

Умножьте 0,02 на 10 тысяч.

Решение: переносим запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам для этого не хватает знаков, поэтому приходится добавлять нули. В этом случае будет достаточно трех нулей. В итоге получили 0.02000, переносим запятую и получаем 00200.0. Игнорируя нули слева, мы можем записать ответ как 200.

Ответ: 0,02·10 000=200.

Приведенное нами правило будет работать и для бесконечных десятичных дробей, но здесь следует очень внимательно относиться к периоду последней дроби, так как в нем легко ошибиться.

Пример 12

Вычислите произведение 5,32(672) на 1000.

Решение: Во-первых, запишем периодическую дробь как 5,32672672672…, так вероятность ошибиться будет меньше. После этого мы можем переставить запятую на нужное количество символов (три). В итоге получаем 5326,726726 . Поставим точки в скобках и запишем ответ как 5326,726).

Ответ: 5,32(672) 1000=5326.(726).

Если по условиям задачи имеются бесконечные непериодические дроби, которые необходимо умножить на десять, сто, тысячу и т д., не забудьте перед умножением их округлить.

Как перемножить десятичную дробь с обыкновенной или со смешанным числом

Чтобы выполнить этот тип умножения, вы должны представить десятичную дробь как правильную дробь, а затем следовать уже известным правилам.

Пример 13

Умножьте 0,4 на 356

Решение

Во-первых, давайте преобразуем десятичную дробь в правильную дробь. Имеем: 0,4=410=25.

Далее считаем: 0,4 356=25 236=2315=1815.

Мы получили ответ в виде смешанного числа. Вы можете записать это как периодическую дробь 1,5 (3).

Ответ: 1,5(3).

Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, необходимо округлить ее до определенного числа и только потом умножать.

Пример 14

Рассчитать произведение 3,5678… 23

Решение

Мы можем представить второй фактор как 23 = 0,6666…. Затем мы округляем оба коэффициента до ближайшей тысячи. После этого нам нужно вычислить произведение двух последних десятичных дробей 3,568 и 0,667. Посчитаем столбик и получим ответ:

Окончательный результат необходимо округлить до тысячных, так как именно для этой категории мы округляли исходные числа. Получаем, что 2,379856≈2,380.

Ответ: 3,5678… 23≈2,380