Умножение десятичных дробей — примеры, правила как умножать в 5 классе

Понятие десятичной дроби

Прежде чем ответить на вопрос, как найти десятичную дробь, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это представление числа в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный вид — ½ или а/б,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

К обыкновенным дробям мы вернемся позже, а сейчас поговорим о десятичных дробях. Их знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10 000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:

• 0,8
• 7,42
• 9932

Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Читайте также: Что такое куб: определение, свойства, формулы

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6;
• 21.10200000 = 21.102.

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то оно равно нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в правильной форме, если знаменатель правильной дроби равен 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т д. То есть 1 цифра является делителем 10, 4 цифры — это делитель 10000.

Как записать десятичную дробь

Давайте рассмотрим на примерах, как написать десятичную дробь. Небольшое напоминание: сначала пишем целую часть, ставим запятую и потом пишем числитель дробной части.

Пример 1. Преобразование правильной дроби в десятичную.

Как мы решаем:

1. В знаменателе 10, то есть ноль.
2. Считаем справа налево в числителе дроби один знак и ставим запятую.
3. В полученной десятичной дроби цифра 1 – целая часть, цифра 6 – дробная часть.

Отвечать:

Пример 2. Преобразование в десятичное число.

Как мы решаем:

1. В знаменателе 1000, это три нуля.
2. Считаем справа налево в числителе дроби три цифры и ставим запятую.
3. Так как в счетчике всего две цифры, то в пустые места пишем нули.
4. В полученной десятичной дроби число 0 – целая часть, 037 – дробная часть.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель правильно вас понял, важно правильно читать десятичные дроби. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целая», а затем дробь с обозначением разряда — это зависит от количества знаков после запятой:

одна цифра — десятые;	1,3 — одна целая, три десятых;
две цифры — сотые	2,22 — две целых, двадцать две сотых;
три цифры — тысячные;	23 885 — двадцать три точки восемьсот восемьдесят пять тысячных;
четыре цифры — десятитысячные;	0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных;
и так далее

Сохраняйте зрительный образ, чтобы быстрее запоминать.

Свойства умножения

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любым другим числом: складывать и вычитать, делить и умножать. В этом блоке мы научимся умножать дроби.

Коммутативное свойство умножения состоит в том, что произведение не меняется от перестановки мест множителей. аб=ба Ассоциативное свойство умножения — чтобы умножить число на произведение двух чисел, надо сначала умножить его на первый множитель, затем полученное произведение умножить на второй множитель. (аб)с = а(бк) Распределительное свойство умножения по отношению к сложению — чтобы умножить сумму на число, нужно умножить каждый член на это число и сложить результаты. а (б + с) = аб + ас Распределительное свойство умножения по отношению к вычитанию — чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшенное, а затем вычтенное, и из первого произведения вычесть второе. а (б — с) = аб — ас

умножение десятичных дробей друг на друга можно упростить и просто умножать натуральные числа. Самое главное правильно поставить запятую в ответе.

Если в задаче встречаются десятичные дроби с разными знаками, используем правило умножения отрицательных чисел. Как быстро запомнить:

«−−»	минус на минус дает плюс
«−+»	минус умножить на плюс дает минус
«+−»	плюс умножить на минус дает минус
«++»	плюс раз плюс дает плюс

Числа с единицами и нулями (10, 100, 1000 и т д.) называются единицами битов, так как цифра 1 является единственной значащей цифрой в числе и количественное значение числа зависит от его положения. Важно помнить правила умножения и деления на разрядную единицу:

• Чтобы умножить число на разрядную единицу, достаточно прибавить к числу справа столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.
• Чтобы разделить число на разрядную единицу, достаточно отбросить от числа справа столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.

Умножение десятичных дробей: общие принципы

Сформулируем общие принципы, которыми необходимо руководствоваться при решении задач на умножение десятичных дробей.

Для начала вспомним, что десятичные дроби — это не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, поэтому процесс умножения можно свести к такому же для обыкновенных дробей. Это правило работает как для конечных, так и для бесконечных дробей: после преобразования их в обыкновенные с ними легко производить умножение по уже изученным нами правилам.

Посмотрим, как решаются такие задачи.

Пример 1

Вычислите произведение 1,5 и 0,75.

Решение: Сначала замените десятичные дроби правильными. Мы знаем, что 0,75 — это 75/100, а 1,5 — это 1510. Мы можем уменьшить дробь и извлечь целую часть. Запишем результат 1251000 как 1,125.

Ответ: 1125.

Мы можем использовать метод подсчета столбцов, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Умножьте периодическую дробь 0,(3) на другую 2,(36).

Решение

Сначала приведем исходные дроби к обыкновенным. Мы сможем:

0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+…=0,31-0,1=0,39=39=132,(36)=2+0,36+0, 0036+…=2+0,361-0,01= 2+3699=2+411=2411=2611

Следовательно, 0,(3) 2,(36)=13 2611=2633.

Полученную обыкновенную дробь можно привести к десятичной форме, разделив числитель на знаменатель в столбик:

Ответ: 0,(3) 2,(36)=0,(78).

Если в состоянии задачи у нас есть бесконечные непериодические дроби, нам нужно выполнить их предварительное округление (см статью об округлении чисел, если вы забыли, как это сделать). После этого можно выполнять операцию умножения с уже округленными десятичными дробями. Возьмем пример.

Пример 3

Вычислите произведение 5,382. и 0,2.

Решение

У нас в задаче бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получается, что 5,382… ≈5,38. Округлять второй множитель до сотых не имеет смысла. Теперь можно вычислить искомое произведение и записать ответ: 5,38 0,2=538100 210=1 0761000=1,076.

Ответ: 5,382… 0,2≈1,076.

Алгоритм, как ставить запятую, правила переноса

Чтобы правильно поставить запятую в результате умножения, необходимо:

• подсчитать количество цифр после запятой в каждом множителе;
• в результате, разделенные запятой справа от количества цифр.

Свойство 1

При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т д запятая в десятичной дроби переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе после единицы.

Если количество цифр в десятичной дроби после запятой меньше количества нулей после единицы, нужно:

• уравнять количество цифр – поставить нули после последней цифры десятичной дроби;
• переместите запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит после единиц в множителе.

Свойство 2

При умножении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, переместите запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицами в множителе. Нулевые целые числа также учитываются.

Как умножать десятичные дроби в столбик

Умножение десятичных дробей состоит из трех шагов:

1. Записывайте десятичные дроби в столбик и умножайте друг на друга, как обычные числа.
2. Подсчитайте количество знаков после запятой в каждой дроби. Сложите их числа.
3. Подсчитайте получившееся количество символов справа налево и поставьте запятую.

Пример: умножьте 3,11 на 0,01.

Как мы решаем:

1. Напишем дроби в столбик и умножим их, как если бы у нас не было запятых:

   

   Получаем: 311 ∗ 001 = 311.

2. Считаем общее количество цифр после запятой для обеих дробей — в нашем примере их четыре (по две на каждую).
3. Берем число, появившееся после умножения, и считаем 4 цифры справа налево. Но у нас только три цифры, а не четыре. Так что добавляем перед ними нолик и вуаля — четыре цифры после запятой готовы

   

Ответ: 3,11 ∗ 0,01 = 0,0311.

Как умножать десятичные дроби на натуральные числа

умножение десятичных дробей на обычные числа аналогично умножению десятичных дробей. Чтобы считать быстрее, умножьте их в столбик по правилам, указанным выше. А вот и образцы!

Пример 1: Умножьте десятичное число 2,27 на целое число 15.

Как мы решаем:

умножьте данные числа на один столбец и разделите две запятые.

Ответ: 15 ∗ 2,27 = 34,05.

Пример 2: Умножьте 11 на 0,005.

Как мы решаем:

умножьте данные числа на один столбец и разделите их тремя запятыми.

Ответ: 11 * 0,005 = 0,055.

Пример 3. Умножьте 0,1557 с 3.

Как мы решаем:

1. Округлить бесконечную дробь:

   0,1557…≈ 0,156

2. 0,156 * 3 ≈ 0,468.

Ответ: 0,1557.. ∗ 3 ≈ 0,468.

Как умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, нужно всего лишь передвинуть запятую справа от дроби на столько цифр, на сколько нулей во втором множителе. Лишние нули слева можно отбросить. А если цифр не хватает, добавляем нули.

Примеры:

• 1,15*10=11,5;
• 22,345*100=2234,5;
• 8,99*1000=8990;
• 0,54678 * 10 000 = 5467,8;
• 0,07*1000=70;
• 0,00033 * 100 = 0,033.

Как умножать десятичные дроби на 0,1, 0,01, 0,001

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001, переместите запятую слева от дроби на столько цифр, сколько нулей впереди. Нулевые целые — тоже считаем. Если чисел недостаточно, мы просто добавляем лишний ноль — единицу или несколько — после запятой.

Примеры:

• 34,9 * 0,1 = 3,49;
• 1,8*0,1=0,18;
• 145,7 * 0,01 = 1,457;
• 9655,1 ∗ 0,001 = 9,6551;
• 11,9 * 0,0001 = 0,00119.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Для умножения десятичной дроби на обыкновенную или смешанную используют два правила. Сначала преобразуем десятичную дробь в форму обыкновенной дроби, а затем умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь к десятичной и соответственно умножаем.

Пример 1. Умножить на 0,9.

Как мы решаем:

1. Запишите 0,9 в виде дроби:
2. Умножать числа по правилам

Отвечать:

Пример 2: Умножьте 0,18 на .

Как мы решаем:

1. Запишите в виде десятичной дроби:
2. Умножьте в столбик или воспользуйтесь калькулятором:

Как перемножить десятичную дробь с обыкновенной или со смешанным числом

Чтобы выполнить этот тип умножения, вы должны представить десятичную дробь как правильную дробь, а затем следовать уже известным правилам.

Пример 13

Умножьте 0,4 на 356

Решение

Во-первых, давайте преобразуем десятичную дробь в правильную дробь. Имеем: 0,4=410=25.

Далее считаем: 0,4 356=25 236=2315=1815.

Мы получили ответ в виде смешанного числа. Вы можете записать это как периодическую дробь 1,5 (3).

Ответ: 1,5(3).

Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, необходимо округлить ее до определенного числа и только потом умножать.

Пример 14

Рассчитать произведение 3,5678… 23

Решение

Мы можем представить второй фактор как 23 = 0,6666…. Затем мы округляем оба коэффициента до ближайшей тысячи. После этого нам нужно вычислить произведение двух последних десятичных дробей 3,568 и 0,667. Посчитаем столбик и получим ответ:

Окончательный результат необходимо округлить до тысячных, так как именно для этой категории мы округляли исходные числа. Получаем, что 2,379856≈2,380.

Ответ: 3,5678… 23≈2,380

Примеры решения задач

Пример 3

Выполните умножение: 1,2×34.

Для объяснения решения действуем по алгоритму:

1. Преобразование десятичной дроби в правильную:

• «как слышим, так и пишем»: одна целая, две десятых — 1,2 = 1210 — получилось смешанное число;
• уменьшаем дробь смешанного числа: 1210=115;
• переводим смешанное число в неправильную дробь: 115=1×5+15=65 — знаменатель переписываем без изменений, в числителе умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем к числителю.

1. Полученная неправильная дробь умножается на множитель:

65×34=6×35×4:

• ищем общий делитель чисел в числителе и знаменателе — 6 и 4 делятся на 2;
• делим числитель и знаменатель на 2, получаем: 6×35×4=3×35×2;
• числитель и знаменатель не имеют больше общих делителей, кроме 1, поэтому перемножаем числа в числителе и в знаменателе: 3×35×2 = 910.

1. Переводим полученную обыкновенную дробь в десятичную:

• знаменатель дроби равен 10, после единицы стоит ноль, значит, после запятой отделяем одну цифру: 910 = 0,9.

1,2×34=1210×34=115×34=1×5+15×34=65×34=6×35×4=3×35×2=910=0,9.

Пример 4

Выполните умножение: 2,1×247.

Как умножить десятичную дробь на смешанное число:

1. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную: 2,1=2110=2×10+110=2110.
2. Переведем смешанное число в неправильную дробь: 247=2×7+47=187.
3. Перемножаем полученные числа: 2110×187=21×1810×7.
4. Прежде чем мы приступим к умножению чисел в числителе и знаменателе, найдем общие делители числителя и знаменателя:

• числа 21 и 7 делятся на 7. Получаем 21×1810×7=3×1810×1;
• числа 18 и 10 делятся на 2. Получаем 3×1810×1=3×95×1;
• числитель и знаменатель имеют не более одного общего делителя. Перемножаем числа в числителе и числа в знаменателе: 3×95×1=275.

1. Дробь неверная — числитель больше знаменателя — выбираем целую часть: 275 = 525.
2. Это смешанное число преобразуется в десятичное. Умножаем числитель и знаменатель дроби на 2 (чтобы знаменатель стал равен 10): 525=52×25×2=5410=5,4.
3. Записываем ответ.

2,1×247=2110×247=2×10+110×2×7+47=2110×187=21×1810×7=3×1810×1=3×95×1=275=525=52×25× 2=5410=5,4.

Пример 5

Выполните умножение: 4,27×8.

Решаем пример по форме:

• умножаем как целые числа, запятую не учитываем;
• подсчитать количество цифр после запятой: две цифры;
• считаем справа в результате две цифры и ставим запятую.

× 84,2734,16

Пример 6

Выполните умножение: 45,204×100.

Переносим запятую в десятичной дроби вправо на два знака, так как в множителе два нуля после единицы.

45,204×100=4520,4.

Пример 7

Выполните умножение: 541,27×0,0001.

Переносим запятую влево на четыре цифры, так как перед множителем стоят четыре нуля.

541,27×0,0001=0,054127.

Пример 8

Решите уравнение: x÷2,05=1,3.

Чтобы решить уравнение, вы должны найти корни или доказать, что корней нет.

Находим делимое. Для этого умножаем делитель на частное: х = 1,3×2,05.

× 1,32,05+ 205 615 2,665

Ответ: х=2,665.

Для закрепления навыков умножения десятичных дробей используются математические тренажеры.