Уравнение и его корни: определения, примеры

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда он определяется следующим образом:

Определение 1

Уравнение – это уравнение с неизвестным числом, которое необходимо найти.

Неизвестные принято обозначать строчными латинскими буквами, например t, r, m и т д., но чаще всего используются x, y, z. Другими словами, уравнение определяет форму регистрации, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда оно будет приведено к определенному виду — оно должно содержать букву, значение которой необходимо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и так далее, а также включающие арифметические действия, например x+7=38, z−4=2, 8 t=4, 6: x = 3.

После изучения понятия скобок появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 (x−1) = 19, x+6 (x+6 (x−8))=3 и т д. Искомая буква может встречаться не один раз, а несколько раз, как, например, в уравнении х +2+4 х-2-х=10. Неизвестные также могут располагаться не только слева, но и справа, или в обеих частях одновременно, например x (8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8 x −9=2 (х +17).

Более того, после того как учащиеся познакомятся с понятием целых чисел, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также с логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе на 7 шагов впервые появляется понятие переменных. Это буквы, которые могут иметь разные значения (подробнее в статье о числовых, литеральных и выражениях с переменными). Основываясь на этой концепции, мы можем переопределить уравнение:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее переменную, значение которой необходимо вычислить.

Это означает, что, например, выражение x+3=6 x+7 является уравнением с переменной x, а 3 y−1+y=0 является уравнением с переменной y.

В уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их соответственно называют уравнениями с двумя, тремя переменными и т д. Напишем определение:

Определение 3

Уравнения с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называются уравнениями, включающими соответствующее число неизвестных.

Например, такое уравнение, как 3,7 x + 0,6 = 1, является уравнением с одной переменной x, а x − z = 5 — уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определить понятие корня. Попробуем объяснить, что это значит.

Пример 1

Получаем уравнение, в которое входит одна переменная. Если вместо неизвестной буквы подставить число, то уравнение станет числовым равенством — истинным или ложным. Так, если в уравнении а + 1 = 5 заменить букву на цифру 2, то равенство будет неверным, а если 4, то получим правильное равенство 4 + 1 = 5.

Нас больше интересуют именно те значения, в которые переменная примет истинное равенство. Они называются корнями или растворами. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения является значение переменной, которая делает данное уравнение истинным равенством.

Корнем также можно назвать решение или наоборот — оба эти термина означают одно и то же.

Пример 2

Давайте возьмем пример, чтобы пояснить это определение. Выше мы привели уравнение a+1=5. По определению, корень в этом случае будет 4, так как при замене одной буквы она дает правильное числовое равенство, а две не будут решением, так как соответствуют неверному равенству 2+1=5.

Сколько корней может иметь уравнение? Каждое ли уравнение имеет корень? Давайте ответим на эти вопросы.

Существуют и уравнения, не имеющие одного корня. Примером может быть 0 x=5. Мы можем подставить в него бесконечное количество различных чисел, но ни одно из них не сделает его истинным равенством, так как умножение на 0 всегда дает 0.

Существуют также уравнения, имеющие несколько корней. Они могут иметь как конечное, так и бесконечное число корней.

Пример 3

Так в уравнении x−2=4 всего один корень — шесть, в x2=9 два корня — три и минус три, ix(x−1)(x−2)=0 три корня — ноль, один и второе, в уравнении x=x бесконечно много корней.

Сейчас мы объясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то пишем так: «уравнение не имеет корней». В этом случае также можно указать знак пустого множества ∅. Если есть корни, пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключая в фигурные скобки. Итак, если уравнение имеет три корня -2, 1 и 5, мы пишем -2, 1, 5 или {-2, 1, 5}.

Корни допустимо записывать в виде простейших подобия. Так, если неизвестное в уравнении обозначено буквой y, а корни равны 2 и 7, мы пишем y=2 и y=7. Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например x1=3, x2=5. Таким образом мы указываем номера корней. Если уравнение имеет бесконечно много решений, то ответ запишем в виде числового интервала или воспользуемся общепринятыми обозначениями: множество натуральных чисел обозначим через N, целых чисел через Z, действительных чисел через R. Скажем, если нам нужно записать что любое целое число будет решением уравнения, то пишем, что x∈Z, а если действительное число от одного до девяти, то пишем y∈1, 9.

Когда уравнение имеет два, три и более корней, обычно говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решением уравнения с двумя, тремя и более переменными являются два, три и более значения переменных, которые делают это уравнение истинным числовым равенством.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет собой уравнение с двумя переменными. Поменяйте местами один на первый и два на второй. Получаем ложное равенство, а значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, а значит, мы нашли решение.

Такие уравнения также могут не иметь корней или иметь бесконечное число корней. Если нам нужно записать два, три, четыре и более значений, мы пишем их через запятую в скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть так (3,4).

На практике часто приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Подробно алгоритм их решения мы рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Читайте также: Прямая линия в математике с примерами решения и образцами выполнения

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разные, самые распространенные – линейные и квадратичные.

Особенностью преобразований алгебраических уравнений является то, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой части — ноль.

Линейное уравнение выглядит так: ax + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот что поможет вам решить:

• если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b: а;
• если a = 0, уравнение не имеет корней;
• если a и b равны нулю, корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — это число, обозначающее неизвестную переменную.

Помимо линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

• кубический,
• уравнения четвертой степени,
• иррациональный и рациональный,
• системы линейных алгебраических уравнений и другие.

Алгебраические уравнения.

Уравнения вида fn = 0, где fn — многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочлен – это выражение вида

fn = a0 xiyj . vk + a1 xlym . vn + j + asxpyq . vr,

где x, y,…, v — переменные, а i, j,…, r — показатели степени (целые неотрицательные числа). Многочлен от переменной записывается так:

f(x) = a0xn + a1xn​– 1 +… + an – 1x + an

или, в частном случае, 3×4 – x3 + 2×2 + 4x – 1. Любое уравнение вида f(x) = 0 называется алгебраическим уравнением с одним неизвестным. Если a0 равно 0, n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 — уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой линии. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие как логарифмические, экспоненциальные или тригонометрические функции, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg — логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения.

Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Также

Интегральные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например f (s) = tK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K (s, t) заданы, а f (t) равно найти.

Диофантовы уравнения.

Диофантово уравнение — это алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x — 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; в общем случае решения представляют собой целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

•  Правило переноса. При переносе из одной части в другую член в уравнении меняет знак на противоположный.

Например, рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что каждое уравнение имеет левую и правую части.

Перенесем 3 с левой стороны на правую и поменяем знак на противоположный.

Вы можете проверить: 2 + 3 = 5. Верно. Корень равен 2.

Давайте решим другой пример: 6x = 5x + 10.

Как мы решаем:

1. Двигайтесь 5 раз с правой стороны на левую. Меняем знак на противоположный, то есть на минус.

   6х — 5х = 10

2. Мы предоставляем аналогичное и полное решение.

   х=10

Ответ: х = 10.

•  Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую части на одно и то же число. Это может ускорить процесс растворения. Самое главное — быть осторожным, чтобы не сделать глупых ошибок.

Воспользуемся правилом при решении примера: 4x=8.

При неизвестном x имеется числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, убедитесь, что когда x неизвестен, это единица.

Разделите каждую часть на 4. Вот как это выглядит:

Теперь сократим полученные нами дроби и закончим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

Как мы решаем:

1. Делим обе части на -4 так, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.-4x = 12| : (-4)
   х = -3

Ответ: х = -3.

Если перед скобками стоит знак минус, и он был убран при расчетах, важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт поможет предотвратить обидные ошибки, особенно в старшей школе.

Помните, что не все линейные уравнения имеют решение — иногда корней просто нет. Иногда среди корней может оказаться нолик — ничего страшного, это не значит, что решение было неверным. Ноль — это то же число, что и остаток.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно лишь запомнить один алгоритм, который будет эффективен для любой задачи.

При необходимости раскройте скобки. Сгруппируем члены, содержащие неизвестную переменную, в одну часть уравнения, остальные члены в другую. Мы предоставляем аналогичные условия в каждой части уравнения. Решаем получившееся уравнение: ах = b Делим обе части на коэффициент при неизвестной.

Чтобы быстро запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — сохраните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Для понимания правила подробно рассмотрим простой пример:
Решить уравнение х+2=7

Решение:
Чтобы решить это уравнение, необходимо уменьшить левую и правую части на 2. Это нужно сделать так, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это означает вычитание двойки из левой части и одновременно вычитание двойки из правой части. Если мы делаем операцию, например вычитание, применяя ее одновременно к левой части уравнения и к правой части, то уравнение не меняет своего смысла.

х+2-2=7-2
х+0=7-2
х=7-2

На этом моменте необходимо остановиться подробно. Другими словами, мы переместили +2 с левой стороны на правую и изменили знак на -2.

х=5

Как проверить, правильно ли вы нашли корень уравнения? В конце концов, не все уравнения будут такими же простыми, как задано. Чтобы проверить корень уравнения, значение должно быть вставлено в само уравнение.

Обследование:
Заменим 5 на х.

х+2=7
5+2=7
Мы получили правильное равенство, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 5.

Рассмотрим следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Для решения этого уравнения необходимо увеличить левую и правую части уравнения на 4, чтобы переменная x осталась в левой части, а известная (т.е число) в правой части. Добавим цифру 4 слева и справа. Мы получаем:

х-4+4=12+4
х=12+4

Другими словами, мы переместили -4 из левой части уравнения в правую и получили +4. При переводе сравнениями знаки меняются местами.

х=16

Теперь проверим, вместо переменной x подставляем в уравнение получившееся число 16.
х-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понимать правила переноса частей уравнения через знак равенства. Вам не всегда нужно оборачивать числа, иногда вам нужно оборачивать переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решить уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение, вы должны переместить неизвестные в одном направлении, а известные — в другом. То есть переменные с x будут слева, а числа справа.
Сначала мы переместим 2x из правой части уравнения в левую и получим -2x.

4+3х=2х-5
4+3х-2х=-5

Затем мы переносим 4 из левой части уравнения в правую и получаем -4
4+3х-2х=-5
3x-2x=-5-4

Теперь, когда все неизвестные слева, а все известные справа, давайте посчитаем их.
(3-2)х=-9
1x=-9 или x=-9

Проверим, верно ли уравнение? Для этого вместо переменной x подставляем в уравнение -9.
4+3х=2х-5
4+3⋅(-9)=2⋅(-9)-5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось правильное равенство, уравнение было решено правильно.
Ответ: корень уравнения равен х=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Это правило подходит, когда вы уже вычислили все неизвестные и известные, но перед переменной остался какой-то коэффициент. Чтобы избавиться от ненужного коэффициента, воспользуемся правилом уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициента уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В этом уравнении не нужно переносить переменные и числа, все составляющие уравнения на месте. Но нам мешает коэффициент 5, стоящий перед переменной х. Мы не можем просто взять это и перенести в правую часть уравнения, потому что между числом 5 и переменной x есть произведение 5⋅x. Если бы между переменной и числом был знак плюс или минус, мы могли бы переместить 5 вправо. Но мы не можем этого сделать. Для этого мы можем уменьшить все уравнение в 5 раз или разделить на 5. Обязательно разделите правую и левую части одновременно.

5х=20
5х:5=20:5
5:5х=4
1х=4 или х=4

Давайте проверим уравнение. Замените х на 4.
5х=20
5⋅4=20
20=20 получил правильное равенство, корень уравнения найден правильно.
Ответ: х=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения   .

Решение:
Поскольку перед переменной x стоит коэффициент, от него необходимо избавиться. Нужно увеличить все уравнение в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножить левую часть уравнения и правую часть.

1х=21 или х=21

Давайте проверим уравнение. Подставим полученный корень уравнения 21 вместо переменной x.

7=7 достигается правильное равенство.

Ответ: корень уравнения равен х=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую часть уравнения относительно знака равенства, а в левую часть и их знаки изменятся на противоположные.
Теперь вы должны умножить все уравнение на 5, чтобы убрать 5 из знаменателя в коэффициенте перед переменной x.

3x=45

Затем делим все уравнение на 3.

3x:3=45:3
(3:3)х=15

1х=15 или х=15

Возьмем чек. Подставляем найденный корень в уравнение.

5=5

Ответ: х=15

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подводя итог обсуждаемой теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

1. Переместите неизвестные в одну сторону, а известные уравнения в другую относительно поровну.
2. Преобразуйте и подсчитайте лайки в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
3. При необходимости избавьтесь от коэффициента переменной.
4. В результате всех действий получаем корень уравнения. Выполняем проверку.

Эти правила применимы ко всем типам уравнений (линейным, квадратным, логарифмическим, тригонометрическим, рациональным, иррациональным, экспоненциальным и другим типам). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться их использовать.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются эквивалентными.

Например: x + 3 = 5 и 2x + 4 = 8. Для обоих уравнений решением является число два, т.е x=2.

Основные эквивалентные преобразования уравнений:

1.  Перенос члена из одной части уравнений в другую со сменой знака на противоположный.

Например: 3x + 7 = 5 равно 3x + 7 — 5 = 0.

1.  Умножение/деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Например: 4x — 7 = 17 равняется 8x — 14 = 34.

Уравнение также не изменится, если к обеим частям прибавить/вычесть одно и то же число.

1.  Сокращение подобных условий.

Например: 2x + 5x — 6 + 2 = 14 равняется 7x — 18 = 0.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось отработать задания, чтобы увереннее чувствовать себя с элементами управления. Давайте решим вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х+1=19.

Решаем так:

1. Переместите 1 с левой стороны на правую со знаком минус.

   6х = 19 — 1

2. Выполнить вычитание.

   6х = 18

3. Разделите обе части на множитель перед x, то есть на 6.

   х = 3

Ответ: 3.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3(х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

1. Раскрыть скобки

   5х — 15 + 2 = 3х — 12 + 2х — 1

2. Сгруппируйте термины с неизвестными слева, а свободные термины справа. При переходе от одной части уравнения к другой не забывайте менять местами знаки переносимых членов.

   5х — 3х — 2х = -12 — 1 + 15 — 2

3. Введем аналогичные термины.

   0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4x = 1/8.

Решаем так:

1. Разделим обе части уравнения на множитель перед переменной x, то есть на 4.

   х = 1/8:4

   х = 1/32

Ответ: 1/32.

Пример 4. Решить: 4(x + 2) = 6 − 7x.

Решаем так:

1. 4х + 8 = 6 — 7х
2. 4х + 7х = 6 — 8
3. 11x = -2
4. х = -2:11
5. х = -2/11

Ответ: -2/11 или -(0,18). О десятичных дробях вы можете прочитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

1. 
2. 3(3x — 4) = 4 7x + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

1. Группа неизвестных участников слева, свободные участники справа:

   х — х = 4 — 7

2. Введем аналогичные термины.

   0 * х = — 3

Ответ: решений нет.

Пример 7. Решить: 2(x + 3) = 5 − 7x.

Решаем так:

1. 2х + 6 = 5 — 7х
2. 2х + 7х = 5 — 6
3. 9х = -1
4. х = -1/9

Ответ: -1/9.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения

Если задано уравнение
, то общая область определения функций
и
называется диапазоном допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область уравнения» или «множество возможных значений уравнения».) Например, для уравнения
диапазон допустимых значений — все действительные числа. Это можно, например, записать так:
, так как функции
и
есть домены
.

Ясно, что каждый корень этого уравнения принадлежит как области определения функции
, а область определения функции
(иначе мы не сможем получить правильное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в ряде случаев использовать анализ уравнения ОДЗ при его решении.

Например, в уравнении
функция
определено для всех действительных значений
, а функция
только при условии, что неотрицательные выражения будут стоять под знаком квадратного корня. Следовательно, ОДВ для этого уравнения задается системой
откуда получаем систему
не имеет решений. Таким образом, ОДЗ этого уравнения не содержит ни одного числа, а значит, это уравнение не имеет корней.

Отметим, что нахождение ОДЗ заданного уравнения может быть полезно для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

Методы решения уравнений

Для решения уравнений используются методы точного и приближенного решения. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5-6 классов использовались зависимости между составляющими и результатами действий и свойства числовых равенств; в курсе алгебры 7-9 классов — эквивалентные преобразования уравнений, а для приближенного решения уравнений — графический метод.

Графический метод решения уравнений не обеспечивает высокой точности нахождения корней уравнения, и с его помощью обычно можно получить только грубые приближения корней. Иногда удобно графически определить количество корней уравнения или найти пределы, в которых эти корни находятся. В некоторых случаях можно графически доказать, что уравнение не имеет корней. По этим причинам в школьном курсе алгебры и начале анализа требование «решить уравнение» понимается как требование «методами точного решения найти корни заданного уравнения». Приближенные методы решения уравнений можно использовать только тогда, когда это указано в условии задачи (например, если задача состоит в том, чтобы решить уравнение графически).

В основном, когда мы решаем уравнения различных видов, мы должны использовать один из двух методов решения. Первый из них состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением с теми же корнями, эквивалентным уравнением. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым, эквивалентным ему и т д. В результате мы получаем простейшее уравнение, эквивалентное заданному и корни которого легко найти. Эти корни и только они являются корнями этого уравнения.

Второй способ решения уравнений состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, среди корней которого находятся все корни данного, т е так называемым уравнением следствия. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым уравнением следствия, и так до тех пор, пока мы не получим простейшее уравнение, корни которого легко найти.

Тогда все корни этого уравнения находятся среди корней последнего уравнения. Поэтому для нахождения корней заданного уравнения достаточно заменить корни последнего уравнения на заданное и с помощью такого управления получить корни этого уравнения (и исключить так называемые посторонние корни — те корни последнего уравнение, не удовлетворяющее заданному).

В следующем разделе также будет показано применение свойств функций к решению уравнений определенного типа.

Причины появления посторонних корней и потери корней при решении уравнений

Наиболее типичные случаи появления посторонних корней и выпадения корней приведены в таблице 9. Там же указано, как получить правильное (или полное) решение в каждом из этих случаев.

Применение свойств функций к решению уравнений

•  Наконец-то ОДЗ

Ориентир

Если область допустимых значений (ОДВ) уравнения (неравенства или системы) состоит из ограниченного числа значений, то для его решения достаточно проверить все эти значения

Пример:

Экспертиза.

— корень (
),

— не рут (
).

Ответ: 1.

•  Оценка левой и правой частей уравнения

Если вам нужно решить формальное уравнение
и это оказалось так
то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда
и
в то же время

Пример:

►

(потому что
).

Таким образом, данное уравнение эквивалентно системе

Ответ: 0.

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю

Пример:

►

Таким образом, данное уравнение эквивалентно системе

Из первого уравнения получаем
, что удовлетворяет всей системе

Ответ: 2.

•  Использование восходящей и нисходящей функций

Схема решения уравнения

1.  Выбираем один или несколько корней уравнения.
2.  Докажем, что это уравнение не имеет других корней (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения)

Корни уравнения

Если в уравнении
функция
возрастает (убывает) на некотором интервале, то это уравнение может иметь не более одного корня на этом интервале.

Пример:

Уравнение
имеет один корень
, это
), так как функция
возрастает по всей области определения

Если в уравнении
функция
возрастает на некотором интервале, а функция
убывает на том же интервале (или наоборот), то это уравнение может иметь не более одного корня на этом интервале.

Пример:

Уравнение
имеет один корень
(
это
), потому что
возрастает по всей области определения
, а
убывает (на множестве
, и, следовательно, при
)

Конечная ОДЗ

Помните, что если дано уравнение
, общая область функций
называется диапазоном допустимых значений этого уравнения. Ясно, что каждый корень данного уравнения принадлежит области определения обеих функций
, а область определения функции
. Таким образом, каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в ряде случаев получить решение уравнения путем анализа ОДЗ. Например, учитывая уравнение
, то его ОДЗ можно записать по системе
. Для решения этой системы получаем
это
. Таким образом, ОДЗ этого уравнения состоит только из одного значения
. Но если только по одному числу необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно заменить это значение в уравнении. В результате получаем правильное числовое равенство (
). Поэтому,
является корнем этого уравнения. Других корней это уравнение иметь не может, так как все корни уравнения находятся в его ОДЗ и других значений нет
.

Рассмотренный пример позволяет выбрать ориентир для решения подобных уравнений:

если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для его решения достаточно проверить все эти значения.

Комментарий. В случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), можно сразу ответить, что это уравнение не имеет корней.

Например, если вам нужно решить уравнение
, то его ОДЗ задается системой
то есть система
которые не имеют решений. Таким образом, ОДЗ этого уравнения не содержит ни одного числа, а значит, это уравнение не имеет корней.

Оценка левой и правой частей уравнения

Некоторые уравнения можно решить, рассматривая левую и правую части уравнения.

Пусть уравнение
, и мы смогли выяснить это для всех допустимых значений
важность
, и значение
.

Рассмотрим два случая:

Если
, то равенство
не может быть выполнено из-за
, т.е когда
это уравнение не имеет корней. Остается только шанс
, но с учетом необходимости выполнения равенства
, у нас есть это и
. Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства
(при условии, что
и
) гарантирует одновременное выполнение равенств
и
(и наоборот, если сходства
и
, то равенство
. Как показано в разделе 3.1, это означает, что уравнение
является синонимом системы

Кратко это можно записать так:

Пример использования такой методики для решения уравнений приведен в разделе 2 таблицы 10.

Как и в предыдущих рассуждениях, точка отсчета для решения уравнения
, где все суммы функций неотрицательны
.

Если мы предположим, что
, то сумма всех функций в левой части этого уравнения может быть равна нулю только тогда, когда сумма
будет отрицательным. Но это невозможно, так как все функции неотрицательны. Таким образом, в
это уравнение не имеет корней. Те же рассуждения можно повторить для любой другой терм-функции. Остается единственная возможность — все слагаемые функции равны нулю (разумеется, в этом случае равенство
обязательно будет сделано). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Например, для решения уравнения
, достаточно перевести все слагаемые в одну сторону, уравнение запишем в виде
и учтите, что функции
неотрицательный. Таким образом, это уравнение эквивалентно системе

Из второго уравнения получаем
, что также удовлетворяет всей системе. Следовательно, это уравнение имеет один корень
.

Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений

Использование возрастающих и убывающих функций для решения уравнений основано на следующем свойстве: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке своей области определения.

Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Теорема 1. Если в уравнении
функция
возрастает (убывает) на некотором интервале, то это уравнение может иметь не более одного корня на этом интервале.

Графически утверждение теоремы иллюстрирует рис. 52. Прямая линия
пересекает график по возрастанию на интервале
функции
только по одному пункту. Это означает, что уравнение
не может иметь более одного корня в интервале
. Докажем это утверждение аналитически.

• Если между
уравнение имеет корень
, Это
. Других корней быть не может, так как для возрастающей функции
на
мы получаем неравенство
, И когда
— разница
. Таким образом, в
. Аналогично для убывающей функции для
мы получаем
.

Теорема 2. Если в уравнении
функция
возрастает на некотором интервале, а функция
убывает на том же интервале (или наоборот), то это уравнение может иметь не более одного корня на этом интервале.

Графически утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 53.

 

• Если между
уравнение имеет корень
, Это
. Других корней быть не может, так как, например, для возрастающей функции
и убывающая функция
на
у нас есть
, а
, Таким образом,
. Таким же образом, когда
.

Каждая из этих теорем утверждает, что на рассматриваемом интервале данное уравнение может иметь не более одного корня, то есть либо это уравнение вообще не имеет корней, либо оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней на данном интервале уравнение не имеет.

Например, для решения уравнения
, достаточно заметить, что функция
возрастает на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что
— корень
это уравнение (
). Итак, это уравнение
имеет один корень
.

Корень
полученный при выборе. Как правило, выбор начинается с целых значений:
что подставляется в это уравнение.

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он существует) только на интервале возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько интервалов увеличения и уменьшения, каждый из них должен оцениваться отдельно.

Пример:

Используя теорему 2, решим уравнение
.

► Сначала примите во внимание его рабочую среду:
и помните, что функция
на всей области определения не убывает и не возрастает (п. 2.2), но убывает на каждом из интервалов
и
. Поэтому рассмотрим каждый из этих интервалов отдельно.

1) Когда
это уравнение имеет корень
. Функция
увеличивается с
(как показано выше, он увеличивается на множестве
), а функция
уменьшается в интервале
. Итак, это уравнение
на
имеет один корень
.

2) Когда
это уравнение имеет корень

. Функция
увеличивается с
, а функция
уменьшается на этом интервале. Отсюда это уравнение
на
имеет один корень
. В ответ следует записать все найденные корни (даже если на каждом из интервалов всего один корень, а всего корней два). Значит, у этого уравнения всего два корня: 1 и -1.

Правила переноса и деления

Чтобы научиться решать линейные уравнения, необходимо знать правила переноса членов уравнения из одной части в другую, а также правило деления всех частей уравнения на одно и то же число.

Правило переноса: При переносе члена уравнения из одной части уравнения в другую необходимо изменить знак на противоположный. Все члены с Х оставляем слева, а все числа переносим вправо.

Правило деления: в уравнении можно разделить правую и левую части на одно и то же число.