Понятие
Принципы формирования геометрического тела просты. Представьте себе две параллельные плоскости a и a1. От расположенного на первой точке идите перпендикулярно вниз ко второй. Точка на a1 является основанием перпендикуляра, это центр окружности. Если соединить точку на плоскости a с каждой точкой окружности на a1, получится конус. Основание его перпендикуляра есть высота.
Второй вариант образования рассматриваемого геометрического тела: прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании — диаметром нижней поверхности, гипотенуза — образующей.
Длина образующих одинакова, их совокупность называется боковой поверхностью. Квадрат длины образующей равен сумме квадратов высоты и радиуса основания (из теоремы Пифагора): l2 = h2 + r2. Отсюда 
Определение усечённого конуса
Усеченный конус – это часть конуса между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Высота усеченного конуса — это перпендикуляр, опущенный из верхнего основания в нижнее.
Разновидности конусов
В геометрии существует почти дюжина типов конусов:
- Прямая круговая – изнаночная сторона представлена окружностью – фигурой, имеющей центр симметрии. Ось, идущая от вершины к центру основания, перпендикулярна плоскости последнего.
- Наклонный или наклонный — проекция вершины на нижнюю поверхность не совпадает с центром.
- Круговой – с кругом посередине.
- Прямая – нижняя поверхность изображается в виде окружности или эллипса. Центр нижней поверхности совпадает с проекцией на нее вершины.
- Гиперболический, параболический, эллиптический — на основе соответствующих фигур.
- Равносторонний — образующая равна диаметру нижней поверхности.
- Усеченный — ограниченный плоскостью, параллельной основанию. Он расположен между ней и вершиной геометрического тела.
- Двойной — два одинаковых тела имеют общую вершину или основание и ось — проходит через оба тела.
Читайте также: Разница между ампер-часами и ватт-часами аккумуляторной батареи
Площадь
Под площадью понимается количество квадратов со стороной, равной единице, умещающихся на определенной поверхности.
Площадь прямого конуса определяется по формуле:
- основания — Prim = πr2; г — радиус;
- боковая грань — Сбп = πрл; l — длина;
- полный — S = Sprim + Sbp = πr2 + πrl = πr(r + l).
Пример:
- диаметр 12 см;
- длина образующей — 10 см.
Решение.
Радиус равен половине диаметра: 12/2 = 6 см.
Подставим значения в выражение: S = πr(r+l).
Получаем: S = π * 6 * (6 + 10) = 96 π ≈ 301 584 см2.
Как вычислить площадь усеченного конуса
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса отличается от той, что используется для расчета прямой.
Sbp=πl(r + R).
Формула полной площади поверхности усеченного конуса:
S = Sbp + S1 + S2, здесь:
S1 и S2 — площади поверхностей усеченного конуса.
S1 = πr2, S2 = πR2.
Подставляем значения и упрощаем:
S = π(r2 + (r + R)l + R2.
Зная радиусы — 6 и 10 см, расстояние от вершины до точки, лежащей на окружности — 12 см, находим площади граней.
S = π * (62 + (6 + 10) * 12 + 102) = 328π ≈ 1030,4 см3.
Высота
Есть несколько способов найти высоту усеченного конуса. Какой из них подходит, зависит от исходных данных.
Когда радиусы оснований и объем заданы, достаточно выполнить расчеты:
Для прямой с известным радиусом или диаметром оснований с образующей можно воспользоваться теоремой Пифагора:
Поделиться в социальных сетях: 13 октября 2021, 19:58 Геометрия Не удалось загрузить класс xLike!
Объем усечённого конуса
Объем – это пространство, занимаемое геометрическим телом. Числовое значение указывает на количество кубиков со стороной, равной единице, которые помещаются в конус. Объем тела вычисляется как одна треть произведения площади основания на его высоту.
Основание – круг, поверхность рассчитывается по формуле: Sбаза = πr2. После замены получаем:
.
Пример: рассчитать объем тела: r = 6 см, h = 9 см. Подставьте значения в формулу, шаг за шагом упрощая выражение.
Если вы знаете диаметр, разделите его на два: 
.
Вычислите объем усеченного конуса. Чтобы понять, из общего объема исходного тела нужно вычесть величину плоскости, отсеченной параллельной нижней стороной.
Формула объема усеченного конуса:
Формула объёма конуса
Формула объема усеченного конуса в виде радиусов V=πh(R2 + Rr + r2)/3 Формула объема усеченного конуса в виде диаметров V=πh(D2 + Dd + d2)/12
Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
Введем следующие обозначения
| В | объем конуса (объем усеченного конуса) |
| Страница | боковая поверхность конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса) |
| Полный | общая площадь поверхности конуса (полная поверхность усеченного конуса) |
| Сосн | базовая поверхность конуса |
| Дополнительная база | площадь верхнего основания усеченного конуса |
| Медленнее основной | площадь нижнего основания усеченного конуса |
| В
объем конуса (объем усеченного конуса) |
| Страница
боковая поверхность конуса |
| Полный
общая площадь поверхности конуса |
| Сосн
базовая поверхность конуса |
| Дополнительная база
площадь верхнего основания усеченного конуса |
| Медленнее основной
площадь нижнего основания усеченного конуса |
Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности конуса, а также формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности усеченного конуса.
| Фигура | Рисунок | Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности |
| Конус |  |
Sприм = πr2,
Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где |
| Расстроенный |  |
Сторона = π (r + r1)l ,
где l — длина образующей усеченного конуса. |
| Конус |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: Sприм = πr2, Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где |
| Расстроенный |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , Сторона = π (r + r1)l , где l — длина образующей усеченного конуса. |
Примечание 3. Формула расчета объема конуса
можно получить из формулы объема правильной n-углеродной пирамиды
дойдя до предела, когда число сторон правильной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.
Примечание 4. Формула расчета объема усеченного конуса
можно получить из формулы объема правильной усеченной n-углеродной пирамиды
переходя к пределу, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.
Найти объем усеченного конуса, зная радиус и высоту
Радиус нижнего основания R Радиус верхнего основания r Высота конуса h
Сообщить об ошибке
Пример задачи
Высота усеченного круглого конуса равна 9 см, а радиусы оснований 4 см и 7 см. Найдите объем этой фигуры.
Решение
Воспользуемся формулой выше, и подставим в нее известные значения:
