Векторное Произведение Векторов

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, где указано, какая из граничных точек считается началом, а какая концом. В некоторых учебниках вектор может называться направленным отрезком.

Вектор обозначается строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными буквами со стрелкой (в некоторых случаях прямой линией) сверху.

Интересно, что порядок букв в имени вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за конец. Поэтому и являются совершенно разными векторами.

Читайте также: Свойства высоты равностороннего (правильного) треугольника abc

Виды векторов

Во-первых, есть коллинеарные и неколлинеарные векторы.

Коллинеарные векторы — это те, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке и и коллинеарны, а и относительно друг друга нет.

Векторы также различаются по направлению. Если векторы уже коллинеарны, они могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: Если они направлены в противоположные стороны, мы можем записать это следующим образом:

Равны те векторы, которые одновременно коллинеарны и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — это вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрию вводят дополнительные понятия, рассмотрим их:

• Неподвижный вектор — это отрезок с упорядоченными концами: если С — начальная точка вектора, а Е — конечная, то (именно это мы понимаем под правильным вектором в школьной геометрии).
• Свободный вектор — это вектор, начало и конец которого не фиксированы. Его можно перемещать как вдоль линии, на которой он стоит, так и параллельно этой линии. Фактически под свободным вектором понимается множество фиксированных векторов.

Сложение и вычитание векторов

Операции с векторами описаны как в алгебре, так и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы сложения и вычитания векторов, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что векторы даны в пространстве и что нам нужно сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку к одному и тому же телу часто прикладывают такие векторные величины, как сила. В этом случае возникает вопрос: как рассчитать результирующее действие всех этих сил?

Вот тут-то и приходит на помощь физикам математика – королева науки! Чтобы добавить два вектора, вам нужно:

1. Отложить начало одного вектора от конца другого.
2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором, соединяющим начало вектора с концом вектора

Сложение: метод параллелограмма

Вы также можете складывать векторы другим способом, используя метод параллелограмма:

1. Совместите концы и
2. Откладываем от конца вектор равный
3. Откладываем от конца вектор равный
4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (квадрат, у которого противоположные стороны параллельны и равны).
5. Проведем диагональ параллелограмма, между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Проблема решена, ты молодец!

Обратите внимание И метод параллелограмма, и метод треугольника предполагают перемещение векторов в пространстве: мы либо совмещаем их концы, либо откладываем начало другого от конца одного вектора. Этими методами невозможно получить сумму векторов, не имеющих общей точки.

Сложение: метод многоугольника

Что делать, если векторов больше двух? Математика уже выработала решение этой проблемы: мы воспользуемся методом расширенного треугольника, который называется «метод многоугольника».

По этому методу мы последовательно объединяем конец и начало векторов, а затем показываем вектор суммирования, где начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего. Лучше всего это увидеть на чертеже:

Вычитание векторов

Продолжаем делать всевозможные операции с векторами, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это то же самое, что и сложение, но с обратным числом.

То же самое работает и с векторами: вместо вычитания попробуем добавить вектор напротив исходного:

Изобразим разницу между векторами с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Боитесь запутаться в векторах для попутного и встречного направления? Для их вычета существует отдельное правило:

1. Отложим один вектор от начала другого.
2. Тогда вектор разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а начало — с концом приведенного.

Этот метод похож на метод параллелограмма, но в этом случае мы берем другую диагональ.

Определение векторного произведения

Система координат — это способ определения положения и движения точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это набор чисел, определяющих положение объекта на линии, плоскости, поверхности или в пространстве. Как узнать координаты точки, мы описали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой системе координат одним числом или функцией.

Вектор – это отрезок прямой линии, где указано, какая точка является началом, а какая концом.

Вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке B, обычно обозначается как →AB. Векторы также можно обозначать маленькими латинскими буквами со стрелкой или тире над ними, например: →a.

Коллинеарность — это отношение параллелизма между векторами. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря, это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение →a || →б. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, рассмотрим ориентацию упорядоченной тройки векторов →a, →b, →ci в трехмерном пространстве.

Откладываем векторы →a, →b, →c из одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Давайте посмотрим с конца вектора →c, чтобы увидеть, как происходит кратчайший поворот от вектора →a до →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, тройку векторов →a, →b, →c называют правой, по часовой стрелке – левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Спроецируем векторы →AB = →a и →AC = →b из точки A. Построим вектор →AD = →c перпендикулярно обоим →AB и →AC.

Когда мы строим вектор →AD = →c, мы, конечно, можем поступить иначе, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И вот мы подошли к определению векторного произведения. Он дан для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Вы еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает курсы по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторное произведение двух векторов →a и →b, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, есть такой вектор →c, что:

• равен нулю, если векторы →a и →b коллинеарны;
• он перпендикулярен как вектору →a, так и вектору →b;
  
• длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
  
• тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как заданная система координат.

Векторное произведение вектора →а и вектора →b есть вектор →с, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах →а и →b, перпендикулярных плоскости этих векторов и направлены так, чтобы наименьший поворот от →a до →b вокруг вектора c совершался против часовой стрелки с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = {ax; да; az} и b = {bx; из; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить по формулам вычисления векторного произведения векторов:

• 
• 

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как →a • →b.

Другое определение относится к правой руке человека, отсюда и название. На рисунке тройка векторов →a, →b, →a • →b верна.

Существует также аналитический способ определения правых и левых троек векторов — он требует установки правой или левой системы координат в соответствующем пространстве, причем не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Необходимо создать матрицу, первая строка которой будет координатами вектора →a, вторая – вектора →b, третья – вектора →c. Тогда в зависимости от знака определителя этой матрицы можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, векторы компланарны (линейно зависимы).

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных операций с векторами нам нужно поместить их в такую ​​систему координат, чтобы мы могли определить их положение относительно друг друга. Для этого используется декартова система координат, которую можно использовать как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Итак, если он находится на плоскости, его координаты могут быть выражены как в пространстве —

Базисные векторы – это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси, в трехмерном пространстве они обозначаются

Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на три базисных вектора.

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, позволяющее найти его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

, Где

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представить в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка — orts →i, →j, →k, вторая строка содержит координаты вектора →a, а третья строка содержит координаты вектора →bi заданной прямоугольной системы координат:

Если дополнить этот определитель элементами первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения соответствует определению, которое мы дали в первом абзаце этой статьи. Более того, эти два определения перекрестного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

2. Антикоммутативность
   
3. Распределительная собственность
   
   или

   

4. Ассоциативное свойство
   
   или

   

   , где λ — произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Априори

и

Мы знаем, что значение определителя матрицы меняется на противоположное, когда две строки меняются местами, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v, нужно найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах: S = | у×в | = | ты | * | v| * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найдите длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→б| = 3, ∠(→а, →б) = π/3.

б) Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→б| = 3, ∠(→а, →б) = π/3.

Как мы решаем:

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Отвечать:

Так как задача о длине, то в ответ вписываем размерность — единицы.

б) По условию необходимо найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →а и →б. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Отвечать:

Пример 2

Найти |-3→ось 2→b| если |→а| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→а, →б) = π/2.

Как мы решаем:

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

По ассоциативным законам константы выносим за пределы векторного произведения.

Мы выносим константу из модуля, а модуль позволяет убрать знак минус. Длина не может быть отрицательной.

Отвечать:

Пример 3

Даны точки треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найдите площадь.

Как мы решаем:

Сначала найдем векторы:

Тогда векторное произведение:

Рассчитаем длину:

Подставляем данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Отвечать:

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и б = {2; 1; -2}.

Решение:

а × б =	я	дж	к	=
1	2	3
2	1	-2

= i(2 (-2) — 3 1) — j(1 (-2) — 2 3) + k(1 1 — 2 2) =
= i(-4 — 3) — j(-2 — 6) + k(1 — 4) = -7i + 8j — 3k = {-7; 8; -3}
Пример 2. Найти площадь треугольника, образованного векторами а = {-1; 2; -2} и б = {2; 1; -1}.

Решение: Найдите векторное произведение этих векторов:

а × б =	я	дж	к	=
-1	2	-2
2	1	-1

= i(2 (-1) — (-2) 1) — j((-1) (-1) — (-2) 2) + k((-1) 1 — 2 2) =
= i(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5j — 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

S∆ = 12|a × b| = 12√02 + 52 + 52 = 12√25 + 25 = 12√50 = 5√22 = 2,5√2

Ответ: SΔ = 2,5√2.

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина — это векторное произведение векторов

А из школьной геометрии мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника со сторонами векторов →а и →b, если они отложены от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→б| и угол между ними равен (→a, →b). Это геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Момент силы →F, приложенный к точке B по отношению к точке A, понимается как векторное произведение →AB × →F.

Вектор линейной скорости →V точки колеса M равен векторному произведению вектора угловой скорости →W на радиус-вектор точки колеса, т.е. →V = →W`→rM.

Как определить a, b и c по графику параболы

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Этот способ хорош, когда координаты вершины и точки пересечения параболы с осью (y) являются целыми числами. Если это не так, то советую воспользоваться методом 2.

1. Коэффициент (a) можно найти, используя следующие факты:

   — Если (a>0), то ветви параболы направлены вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

   — Если (a>1), то граф растянут в (a) раз по сравнению с «базовым» графом (у которого (a=1)). Верх остается на месте. Это видно из выделенных моментов.

   — Аналогично (a<-1), только график рисуется вниз.

   — Если (a∈(0;1)), то граф сжимается в (a) раз (по сравнению с «базовым» графом с (a=1)). Верх остается на месте.

   — Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

2. Парабола пересекает ось у в точке (с).
3. (b) непосредственно на графике не видно, но его можно вычислить, используя (x_v) — абсциссу (x) вершины параболы:

   (x_v=-frac{b}{2a})
   (b=-x_incdot 2a)

Пример (ИСПОЛЬЗОВАНИЕ):

Решение:
Сначала нужно выяснить, где находится (f(x)), а где (g(x)). Коэффициент (c) показывает, что (f(x)) является основной функцией — это та, которая пересекает ось y в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты той параболы, которая выше.
Его коэффициент (с) равен (1).
Ветви параболы направлены вниз, что означает (a<0). Также форма этой параболы стандартная, базовая, что означает (a=-1).

Найдите (б). (x_v=-2),(a=-1).

(x_v=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(б=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем, в каких точках функции пересекаются:

(-х^2-4х+1=-2х^2-2х+4)
(-х^2-4х+1+2х^2+2х-4=0)
(х^2-2х-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный метод, потому что его можно использовать практически в любой ситуации, но и самый неинтересный, потому что тут особо думать не нужно, достаточно уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целочисленными координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:
2. Запишем координаты этих точек и заменим их формулой квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). У вас получится система из трех уравнений.

   Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

   (begin{case}5=a(-4)^2+b(-4)+c5=a(-5)^2+b(-5)+c3=a(- 6)^2+b(-6)+c end{случаи})

3. Решаем систему.
   Пример:

   (begin{case}5=16a-4b+c5=25a-5b+c3=36a-6b+c end{case})

   Вычитаем первое уравнение из второго уравнения:

   (0=9а-б)
   (б=9а)

   Замените (9a) на (b):

   (begin{case}5=16a-36a+c5=25a-45a+c3=36a-54a+c end{case})
   (begin{case}5=-20a+c5=-20a+c3=-18a+c end{case})

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой, проходящей через вершину — как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит — вычтем третье уравнение из второго:

   (2=-2а)
   (а=-1)

   Найдем (b):

   (б=-9)

   Подставляем в первое уравнение (a):

   (5=20+с)
   (с=-15).

   Оказывается, это квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Пример (ИСПОЛЬЗОВАНИЕ):

Решение:

Сразу замечаем, что по графику сразу можно определить, что (c=4). Это значительно облегчит нашу систему — нам будет достаточно 2 баллов. Выделим их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то видно, что в оригинале эти точки выделены жирным шрифтом изображение — это вам подсказки от авторов задачи).

Итак, у нас есть система:

(begin{case}8=a(-1)^2+b(-1)+42=a+b+4 end{case})

(begin{case}8=a-b+42=a+b+4 end{case})

(begin{cases}4=ab-2=a+b end{cases})

Добавим 2 уравнения:

(2=2а)
(а=1)

Подставляем во второе уравнение:

(-2=1+b)
(б=-3)

Оказывается:

(г(х)=х^2-3х+4)

Теперь найдем пересечение двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(х^2-9=0)
(х=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ: (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, особенно может быть полезен в задачах для других функций.

Самым большим недостатком этого метода является то, что вершина должна иметь целочисленные координаты.

Сам метод основан на следующих идеях:

1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графика (y=x^2).
2. – Если (a>1), то график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
   – Если (a∈(0;1)), то график (y=axis^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) с помощью (а) раз.
3. – График (y=a(x+d)^2) получается перемещением графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
   — График (y=a(xd)^2) получается перемещением графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.
4. График (y=a(x+d)^2+e) получается перемещением графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
   График (y=a(x+d)^2-e) получается перемещением графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверняка остался вопрос — как вы его используете? Предположим, мы видим такую ​​параболу:

Сначала смотрим на форму и направление ветвей. Мы видим, что форма стандартная, основная и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть получается перемещением графика к базовой параболе (y=x^2).

И как нужно было двигать зеленый график, чтобы получить оранжевый? Необходимо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
Раскрыв скобки и включив подобные, получим искомую формулу:

(у=х^2-10х+25-4)
(у=х^2-10х+21)

Прозрачный.

Пример (ИСПОЛЬЗОВАНИЕ):

Чтобы найти (f(6)), нужно сначала найти формулу функции (f(x)). Давайте найдем это:

1. Парабола вытянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Другими словами, исходная сдвинутая функция — это функция (y=-2x^2).

   

2. Парабола сдвинута на 2 клетки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
3. Парабола поднята на 4 клетки, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)