Разложение вектора по базису
Предположим, что произвольные векторы e(1), e(2),…, e(n) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним n-мерный вектор x→: полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может быть линейно выражен через другие. Переформулируя это утверждение, можно сказать, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы можно разложить по другим векторам.
Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:
Определение 4
Любой вектор n-мерного векторного пространства однозначно разлагается по базису.
Доказательство 1
Докажем эту теорему:
мы определяем базис для n-мерного векторного пространства — e(1), e(2),…, e(n). Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n-мерный вектор x→. Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e:
x=x1 e(1)+x2 e(2)+…+xn e(n) , где x1, x2,…, xn — некоторые числа.
Теперь докажем, что такое разложение единственно. Предположим, что это не так и есть другое подобное расширение:
x=x~1e(1)+x2~e(2)+…+x~ne(n), где x~1, x~2,…, x~n — некоторые числа.
Вычтем из этого равенства левую и правую части, соответственно левую и правую части равенства x=x1·e(1)+x2·e(2)+…+xn·e(n) . Мы получаем:
0=(x~1-x1)e(1)+(x~2-x2)e(2)+…(x~n-xn)e(2)
Система базисных векторов e(1), e(2),…, e(n) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты (x~1-x1), (x~2-x2),…, (x~n-xn) равны нулю . Из чего будет просто: x1=x~1, x2=x~2,…, xn=x~n. И это показывает единственный способ разложить вектор по базису.
В этом случае коэффициенты x1, x2,…,xn называются координатами вектора x→ в базисе e(1), e(2),…, e(n).
Доказанная теория уточняет выражение «задан n-мерный вектор x=(x1,x2,…,xn)»: рассматривается векторное x→n-мерное векторное пространство, и его координаты заданы на некотором основании. Ясно также, что один и тот же вектор в разном базисе n-мерного пространства будет иметь разные координаты.
Рассмотрим следующий пример: пусть в некотором базисе n-мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов
e(1)=(e1(1), e2(1),…, en(1))e(2)=(e1(2), e2(2),…, en(2)) ⋮e(n)=(e1(n), e2(n),…, en(n))
а также задан вектор x=(x1,x2,…,xn).
Векторы e1(1), e2(2),…, en(n) и в этом случае являются базисом этого векторного пространства.
Предположим, необходимо определить координаты вектора x→ в базисе e1(1), e2(2),…, en(n), обозначаемые как x~1, x~2,…, x ~ п.
Вектор x→ будет представлен следующим образом:
х=х~1 е(1)+х~2 е(2)+…+х~пе(п)
Запишем это выражение в координатной форме:
(x1, x2,…, xn)=x~1 (e(1)1, e(1)2,…, e(1)n)+x~2 (e(2)1, e (2)2,…, e(2)n)+…++x~n (e(n)1, e(n)2,…, e(n)n) ==(x~1e1(1)+x~2e1(2)+…+x~ne1(n), x~1e2(1)+x~2e2(2)++…+x~ne2 (n) ,…, х~1en(1)+x~2en(2)+…+x~nen(n))
Полученное равенство соответствует системе n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x~1, x~2,…, x~n:
x1=x~1e11+x~2e12+…+x~ne1nx2=x~1e21+x~2e22+…+x~ne2n⋮xn=x~1en1+x~2en2+…+x~nen
Матрица этой системы будет выглядеть так:
e1(1)e1(2)⋯e1(n)e2(1)e2(2)⋯e2(n)⋮⋮⋮⋮en(1)en(2)⋯en(n)
Пусть это матрица A, а ее столбцы — векторы линейно независимой системы векторов e1(1), e2(2),…, en(n). Ранг матрицы равен n, а ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, которое можно найти любым удобным способом: например, методом Крамера или матричным методом. Таким образом, мы можем определить координаты x~1, x~2,…, x~n вектора x→ в базисе e1(1), e2(2),…, en(n).
Применим рассмотренную теорию к конкретному примеру.
Пример 6
Исходные данные: векторы даны на основе трехмерного пространства
е(1)=(1,-1,1)е(2)=(3, 2,-5)е(3)=(2, 1,-3)х=(6, 2,-7)
Необходимо подтвердить тот факт, что система векторов е(1), е(2), е(3) также служит базисом данного пространства, а также определить координаты вектора xi данного базиса.
Решение
Система векторов e(1), e(2), e(3) будет базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A, строками которой являются заданные векторы e(1), e(2), e(3).
Используем метод Гаусса:
А=1-1132-521-3~1-1105-803-5~1-1105-800-15
Ранг (A) = 3. Таким образом, система векторов e(1), e(2), e(3) линейно независима и является базисом.
Пусть вектор x→ в базисе имеет координаты x~1, x~2, x~3. Связь между этими координатами определяется уравнением:
x1=x~1e1(1)+x~2e1(2)+x~3e1(3)x2=x~1e2(1)+x~2e2(2)+x~3e2(3)x3=x~1e3(1)+х~2е3(2)+х~3е3(3)
Используем значения по условиям задачи:
х~1+3х~2+2х~3=6-х~1+2х~2+х~3=2х~1-5х~2-3х3=-7
Решаем систему уравнений методом Крамера:
∆=132-1211-5-3=-1∆x~1=632221-7-5-3=-1, x~1=∆x~1∆=-1-1=1∆x~2=162 -1211-7-3=-1, х~2=∆х~2∆=-1-1=1∆х~3=136-1221-5-7=-1, х~3=∆х~3 ∆=-1-1=1
Таким образом, вектор x→ в базисе e(1), e(2), e(3) имеет координаты x~1=1, x~2=1, x~3=1.
Ответ: х=(1,1,1)
Читайте также: Основные системы органов человека — названия, функции и иллюстрация
Принцип разложения вектора
Для разложения вектора b на базисные векторы a1,…,an необходимо определить такие коэффициенты x1,…,xn, для которых линейная комбинация векторов a1,…,an равна вектор b, т.е:
x1a1 + … + xnan = b
где x1,…,xn — координаты вектора bi базиса a1,…,an
Связь между базисами
Предположим, что на некотором базисе n-мерного векторного пространства заданы две линейно независимые системы векторов:
c(1)=(cl(1), c2(1),…, cn(1))c(2)=(cl(2), c2(2),…, cn(2)) ⋮c(n)=(c1(n), e2(n),…, cn(n))
И
e(1)=(e1(1), e2(1),…, en(1))e(2)=(e1(2), e2(2),…, en(2)) ⋮e(n)=(e1(n), e2(n),…, en(n))
Эти системы также являются базами для данного помещения.
Пусть с~1(1), с~2(1),…, с~п(1) — координаты вектора с(1) в базисе е(1), е(2),., e(3), то связь между координатами будет задаваться системой линейных уравнений:
c1(1)=c~1(1)e1(1)+c~2(1)e1(2)+…+c~n(1)e1(n)c2(1)=c~1(1)e2(1)+c~2(1)e2(2)+…+c~n(1)e2(n)⋮ сn(1)=c~1(1)en(1)+c ~2(1)en(2)+…+c~n(1)en(n)
В виде матрицы система может быть представлена следующим образом:
(c1(1), c2(1),…, cn(1))=(c~1(1), c~2(1),…, c~n(1)) e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)
Сделаем аналогичные обозначения для вектора c(2) по аналогии):
(c1(2), c2(2),…, cn(2))=(c~1(2), c~2(2),…, c~n(2)) e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)
И, далее по тому же принципу получаем:
(cl(n), c2(n),…, cn(n))=(c~1(n), c~2(n),…, c~n(n)) e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)
Сходства матриц объединяются в одно выражение:
c1(1)c2(1)⋯cn(1)c1(2)c2(2)⋯cn(2)⋮⋮⋮⋮c1(n)c2(n)⋯cn(n)=c~1(1) c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯c ~n(n) e1(1)e2(1)⋯en(1)e1(2)e2(2)⋯en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)⋯en(n)
Он определит отношение между векторами двух разных оснований.
Используя тот же принцип, можно выразить все базисные векторы e(1), e(2),…, e(3) через базис c(1), c(2),…, с(п):
e1(1)e2(1)⋯en(1)e1(2)e2(2)⋯en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)⋯en(n)=e~1(1) e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e ~n(n) c1(1)c2(1)⋯cn(1)c1(2)c2(2)⋯cn(2)⋮⋮⋮⋮c1(n)c2(n)⋯cn(n)
Мы предлагаем следующие определения:
Определение 5
Матрица c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c ~2(n)⋯c~n(n) — матрица перехода из базиса e(1), e(2),…, e(3)
в базис c(1), c(2),…, c(n).
Определение 6
Матрица e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e ~2(n)⋯e~n(n) — матрица перехода из базиса c(1), c(2),…, c(n)
в базис e(1), e(2),…, e(3).
Из этих равенств видно, что
c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~ 2(n)⋯c~n(n) e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2) ⋮ ⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n)=10⋯001⋯0⋮⋮⋮⋮00⋯1e~1(1)e~2(1)⋯e~ n (1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n) c~1 (1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯ c~n(n)=10⋯001⋯0⋮⋮⋮⋮00⋯1
матрицы перехода взаимно обратны.
Рассмотрим теорию на конкретном примере.
Пример 7
Исходные данные: необходимо найти матрицу перехода из базиса
с(1)=(1, 2, 1)с(2)=(2, 3, 3)с(3)=(3, 7, 1)
на землю
е(1)=(3, 1, 4)е(2)=(5, 2, 1)е(3)=(1, 1, -6)
Также необходимо указать отношение к координатам произвольного вектора x→ в заданных базисах.
Решение
1. Пусть T — матрица перехода, тогда будет верно равенство:
314521111=Т 121233371
Умножьте обе части уравнения на
121233371-1
получить:
Т=31452111-6 121233371-1
2. Определите матрицу перехода:
Т=31452111-6 121233371-1==31452111-6-18537-2-15-1-1=-2794-712012-4198
3. Определить связь между координатами вектора x→:
предположим, что в базисе c(1), c(2),…, c(n) вектор x→ имеет координаты x1,x2,x3, тогда:
х=(х1,х2,х3) 121233371,
и в базисе e(1), e(2),…, e(3) имеет координаты x~1,x~2,x~3, то:
х=(х~1,х~2,х~3) 31452111-6
Поскольку левые части этих уравнений равны, мы можем приравнять и правые части:
(x1,x2,x3) 121233371=(x~1,x~2,x~3) 31452111-6
Умножьте обе части вправо на
121233371-1
получить:
(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3) 31452111-6 121233371-1⇔⇔(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~ 3) Т⇔⇔(х1,х2,х3)=(х~1,х~2,х~3) -2794-712012-4198
На другой стороне
(х~1,х~2,х~3)=(х1,х2,х3) -2794-712012-4198
Последние сходства показывают связь между координатами вектора x→ в обоих основаниях.
Ответ: переходная матрица
-2794-712012-4198
Координаты вектора x→ в данных базисах связаны соотношением:
(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3) -2794-712012-4198
или
(х~1,х~2,х~3)=(х1,х2,х3) -2794-712012-4198-1
Пример задачи
Разложим вектор b = {16; 1} по двум базисным векторам m = {2; 1} и n = {1; -3}.
Решение:
1. Векторное уравнение выглядит так:
хм + уп = б
2. Представим ее в виде системы линейных уравнений:
3. Теперь нужно разблокировать систему. Из второго уравнения получаем:
х = 1 + 3у.
Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 (1 + 3у) + у = 16
2 + 6у + у = 16
7 лет = 14
у=2
Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7.
Ответ: b = 7m + 2n.
Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам
Пример 1. Разложить вектор b = {8; 1} над базисными векторами p = {1; 2} и д = {3; 1}.
Решение: Составим векторное уравнение:
хр + уq = Ь,
которую можно записать в виде системы линейных уравнений
 |
1х + 3у = 8 |
| 2х + 1у = 1 |
из первого уравнения выражаем x
|
х = 8 — 3г |
| 2х+у=1 |
Подставляем xi во второе уравнение
|
х = 8 — 3г |
| 2(8 — 3у) + у = 1 |
|
х = 8 — 3г |
| 16 — 6у + у = 1 |
|
х = 8 — 3г |
| 5 лет = 15 |
|
х = 8 — 3г |
| у=3 |
|
х = 8 — 3 3 |
| у=3 |
|
х=-1 |
| у=3 |
Ответ: b = -p + 3q.
