Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса и Перельмана, формулы, правила расчета и полное доказательство теоремы

Вычисления

Историческая справка

Уравнение Пифагора x2 + y2 = z2 имеет бесконечное число положительных целых решений для x, y и z. Эти решения известны как триады Пифагора. Примерно в 1637 году Ферма написал на полях книги, что более общее уравнение an + bn = cn не имеет решений в натуральных числах, если n — целое число, большее 2. Хотя сам Ферма утверждал, что нашел решение своей проблемы, он действительно это сделал не сообщать никаких подробностей о доказательствах. Скорее, элементарное доказательство теоремы Ферма, заявленное ее создателем, было его хвастливой выдумкой. Книга великого французского математика была обнаружена через 30 лет после его смерти. Это уравнение, названное Великой теоремой Ферма, оставалось нерешенным в математике в течение трех с половиной столетий.

Теорема Ферма

В конечном итоге теорема стала одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это привели к значительному развитию теории чисел, и со временем последняя теорема Ферма стала известна как нерешенная проблема математики.

Краткая история доказательств

Если n = 4, как доказал сам Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми. В течение следующих двух столетий (1637–1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновила и доказала приближение, применимое ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в соответствии с чем неправильные простые числа анализировались индивидуально.

Основываясь на работе Куммера и используя сложную компьютерную науку, другие математики смогли расширить решение теоремы, стремясь охватить все главные показатели до четырех миллионов, но доказательство для всех показателей по-прежнему было недоступно (это означает, что математики обычно считал решение теоремы невозможным, чрезвычайно трудным или недостижимым при современных знаниях).

Работа Шимуры и Таниямы

В 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма заподозрили, что существует связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами — двумя очень разными разделами математики. Известная в то время как гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля и (в конечном итоге) как теорема модульности, она существовала сама по себе, без очевидной связи с последней теоремой Ферма. Сама по себе она считалась важной математической теоремой, но считалась (как и теорема Ферма) невозможной для доказательства. В то же время доказательство Великой теоремы Ферма (путем деления и использования сложных математических формул) было завершено лишь полвека спустя.

Великая теорема Ферма

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными между собой и нерешенными проблемами. Полное подтверждение тесной связи этих двух теорем было опубликовано в 1986 году Кеном Рибетом на основе частичного доказательства Жан-Пьера Серра, который доказал все, кроме одной части, известной как «эпсилон-гипотеза».

Проще говоря, эти работы Фрея, Серры и Рибе показали, что если бы теорема модульности могла быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, то рано или поздно было бы обнаружено и доказательство последней теоремы Ферма. Любое решение, которое может противоречить последней теореме Ферма, также может быть использовано для противоречия теореме модульности. Поэтому, если теорема модульности оказалась верной, то по определению не может быть решения, противоречащего последней теореме Ферма, а значит, оно должно было быть вскоре доказано.

Хотя обе теоремы были сложными задачами в математике и считались неразрешимыми, работа двух японцев была первым предложением о том, как последнюю теорему Ферма можно распространить и доказать для всех чисел, а не только для некоторых. Важным для исследователей, выбравших тему исследования, был тот факт, что, в отличие от последней теоремы Ферма, теорема модульности была основной активной областью исследований, для которой разрабатывалось доказательство, а не просто исторической курьезностью, поэтому время, затраченное на его работа может быть оправдана с профессиональной точки зрения. Однако общее мнение заключалось в том, что решение гипотезы Таниямы-Шимуры оказалось неуместным.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересовавшийся последней теоремой Ферма и имевший опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать презумпцию Таниямы-Шимуры как гипотезу способ доказательства. Великая теорема Ферма. В 1993 году, через шесть лет после объявления своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайлс сумел доказать родственную гипотезу, которая, в свою очередь, помогла ему доказать Великую теорему Ферма. Документ Уайлса был огромен по размеру и размаху.

Ошибка была обнаружена в части его исходной статьи во время рецензирования, и потребовался еще год сотрудничества с Ричардом Тейлором для совместного решения теоремы. В результате окончательное доказательство Великой теоремы Ферма, данное Уайлсом, не заставило себя долго ждать. В 1995 году она была опубликована в гораздо меньшем масштабе, чем более ранняя математическая работа Уайла, что свидетельствует о том, что он не ошибся в своих более ранних выводах о возможности доказательства теоремы.

Достижение Уайлса широко освещалось в популярной прессе и популяризировалось в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля, теперь доказанной и известной как теорема модульности, позже были доказаны другими математиками на основе работы Уайлса в период с 1996 по 2001 год. За свои достижения Уайлз был удостоен чести и получил ряд наград наград, в том числе Абелевской премии 2016 года.

Одно из доказательств

Доказательство Уайлса последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модулярности для эллиптических кривых. Однако это самый известный случай столь масштабной математической операции. Наряду с решением теоремы Рибе английский математик получил также доказательство последней теоремы Ферма. Великая теорема Ферма и теорема о модулярности почти всегда считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать научному миру, что даже ученые мужи могут ошибаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду, 23 июня 1993 года, на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года в его расчетах была обнаружена ошибка. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в то, что он назвал бы «самым важным моментом своей трудовой жизни», Уайлс наткнулся на прозрение, позволившее ему зафиксировать решение задачи в точке, где оно могло удовлетворять математическим сообщество.

Эндрю Уайлс

Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера и используется в элементарной теории чисел (это раздел теории чисел).

Маленькая теорема Ферма утверждает, что если p — простое число, то для любого целого числа a, которое не делится на p, это число делится на p:

а^(р-1) - 1

Формально малая теорема Ферма часто формулируется следующим образом: а^(р-1)=1(modp)

Это то же самое, что и предыдущая формулировка.

Читайте также: Свойства биссектрисы треугольника

Пример Малой теоремы Ферма

Пример Малая теорема Ферма

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлса использует многие методы алгебраической геометрии и теории чисел и имеет множество разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория форм и теория Ивасавы, а также другие методы 20 века, недоступные Пьеру де Ферма.

Два документа, содержащие доказательства, составляют 129 страниц и были написаны в течение семи лет. Джон Коутс назвал это открытие одним из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его величайшим математическим достижением 20 века. Уайлс, доказав Великую теорему Ферма, доказав теорему о модулярности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал мощные методы поднятия модульности и открыл новые подходы к ряду других проблем. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс получил Абелевскую премию, Норвежская академия наук охарактеризовала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как это было

Одним из тех, кто рецензировал оригинальную рукопись Уайлса с решением теоремы, был Ник Кац. В ходе своей рецензии он задал британцу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлса признать, что в его работе явно есть пробел. В критической части доказательства была допущена ошибка, давшая оценку порядка конкретной группы: система Эйлера, используемая для расширения метода Колывагина и Флаха, была неполной. Однако ошибка не сделала его работу бесполезной — каждая часть работы Уайлса была в высшей степени значимой и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, созданные им в ходе работы, которые затрагивали только одну часть работы рукопись работы. Однако эта оригинальная работа, опубликованная в 1993 году, не содержала доказательства Великой теоремы Ферма.

Уайлс за доской

Уайлс потратил почти год, пытаясь заново найти решение теоремы, сначала самостоятельно, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором, но все, казалось, были тщетны. К концу 1993 года ходили слухи, что доказательство Уайла не удалось проверить, но серьезность этой ошибки была неизвестна. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл детали его работы, независимо от того, была она сделана или нет, чтобы более широкое сообщество математиков могло исследовать и использовать то, чего он смог достичь. Вместо того, чтобы быстро исправить свою ошибку, Уайлс только обнаружил более сложные моменты в доказательстве Великой теоремы Ферма и, наконец, понял, насколько это было сложно.

Уайлс утверждает, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы сдаться и сдаться, почти сдался из-за неудачи. Он был готов опубликовать свою незавершенную работу, чтобы другие могли дополнить ее и выяснить, где он ошибся. Английский математик решил дать себе последний шанс и в последний раз проанализировал теорему, чтобы попытаться понять основные причины, почему его подход не работает, как вдруг понял, что подход Колывагина-Флака не будет работать, пока он не соединит все больше и больше к процессу доказательства теории Ивасавы, заставляя ее работать.

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Фултина) рецензировать его новую работу, а 24 октября 1994 г он представил две рукописи — «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма» и «Теоретические свойства кольца некоторых алгебр Гекке». » , второе, что Уайлс в соавторстве с Тейлором доказал, что были соблюдены определенные условия для оправдания исправленного шага в основной статье.

Эти две статьи были рассмотрены и в конечном итоге опубликованы в виде полнотекстового выпуска в «Анналах математики» за май 1995 года. Новые расчеты Эндрю были широко проанализированы и в конечном итоге приняты научным сообществом. В этих работах была установлена ​​теорема модулярности для полустабильных эллиптических кривых — последний шаг к доказательству Великой теоремы Ферма через 358 лет после ее создания.

История великой проблемы

решение этой теоремы считалось величайшей задачей математики на протяжении многих веков. В 1816 и 1850 годах Французская академия наук предложила премию за общее доказательство последней теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила Куммеру 3000 франков и золотую медаль за его исследования идеальных чисел, хотя он не претендовал на эту премию. Еще одна премия была предложена ему в 1883 году Брюссельской академией.

Премия Вольфскеля

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал Геттингенской академии наук 100 000 золотых марок (крупная сумма по тем временам) в качестве приза за полное доказательство Великой теоремы Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил призов. Эти правила требовали, среди прочего, публикации доказательств в рецензируемом журнале.

Премия должна была быть вручена только через два года после публикации. Конкурс должен был истечь 13 сентября 2007 года — примерно через столетие после его начала. 27 июня 1997 года Уайлс получил призовой фонд Вольфшеля, а затем еще 50 000 долларов. В марте 2016 года он получил 600 000 евро от правительства Норвегии в рамках Абелевской премии за «потрясающее доказательство последней теоремы Ферма с использованием гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, которое открывает новую эру в теории чисел». Это был мировой триумф скромного англичанина.

Молодая ферма.

До доказательства Уайла теорема Ферма, как упоминалось ранее, столетиями считалась абсолютно неразрешимой. Комитету Вольфскелла в разное время были представлены тысячи неверных доказательств, что составило около 3 метров корреспонденции. Только за первый год существования премии (1907–1908) была подана 621 заявка на решение теоремы, хотя к 1970-м годам их число упало примерно до 3–4 заявок в месяц. По словам Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфшеля, большая часть доказательств была основана на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялась как «люди с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Авеса, последняя теорема Ферма поставила своего рода рекорд — это теорема с самыми неверными доказательствами.

Лавры Ферма достались японцам

Как обсуждалось ранее, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно разными разделами математики — эллиптическими кривыми и модулярными формами. Полученная в результате теорема о модульности (известная тогда как гипотеза Таниямы-Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, а это означает, что она может быть связана с уникальной модульной формой.

Первоначально эта теория была отвергнута как маловероятная или весьма спекулятивная, но к ней отнеслись более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие выводы японцев. В результате эту гипотезу часто называют гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Она стала частью программы Ленглендса, представляющей собой список важных гипотез, которые необходимо доказать в будущем.

Даже после серьезного изучения современные математики признали эту гипотезу чрезвычайно сложной или, возможно, недоступной для доказательства. Теперь эта теорема ждет Эндрю Уайлса, который может удивить своим решением весь мир.

Григорий Перельман

Теорема Ферма: доказательство Перельмана

Вопреки распространенному мифу, русский математик Григорий Перельман при всей своей гениальности не имеет никакого отношения к теореме Ферма. Однако это не умаляет его многочисленных преимуществ для научного сообщества.

Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного

Толковый словарь математических терминов определяет доказательство от противного теоремы, противоположной обратной теореме.

«Доказательство от противного — это способ доказательства теоремы (предложения), заключающийся в доказательстве не самой теоремы, а эквивалентной (эквивалентной), противоположной обратной (обратной противоположной) теоремы. Доказательство от противного применяется, когда прямая теорема трудно доказать, но легче обратное, при доказательстве от противного заключение теоремы заменяют ее отрицанием, а рассуждениями приходят к отрицанию условия, т е к противоречию, к противоположному (противоположному того, что дано; это доведение до абсурда доказывает теорему».

Доказательство противоречия очень часто используется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключенного третьего, заключающемся в том, что из двух утверждений (утверждений) А и А (опровержение А) одно истинно, а другое ложно. / Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителя / О.В. Мантуров и др.</a>; изд. В.А. Диткина.- М.: Опплиснинг, 1965.- 539 с.: ил.-С.112/.

Не лучше было бы открыто заявить, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя он и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит к логике. Можно ли сказать, что доказательство от противного «используется, когда прямую теорему трудно доказать», когда на самом деле оно используется тогда и только тогда, когда его нельзя заменить.

Особого внимания заслуживает также характеристика связи между прямой и обратной теоремами. «Обратная теорема к данной теореме (или к данной теореме) — это теорема, где условие является заключением, а заключение — условием данной теоремы. Эта теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной).В то же время обратная теорема обратной теоремы является данной теоремой, поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимными обратными.Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна.

Например, если квадрат является ромбом, его диагонали перпендикулярны друг другу (прямая теорема).Если диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то квадрат является ромбом — это неверно, т е обратная теорема не соответствует действительности./ Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В.Мантуров и др. под ред.В.А.Диткина.- М.: Опплиснинг, 1965.- 539 с.: ил.-С.261 /.

Эта характеристика связи между прямой и обратной теоремами не учитывает того факта, что состояние прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что ее правильность не гарантируется. Условие обратной теоремы не принимается за данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность подтверждается доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие между условиями прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе о том, какие теоремы могут и какие не могут быть доказаны логическим методом из обратной.

Предположим, что имеется в виду прямая теорема, которую можно доказать обычным математическим методом, но это трудно. Сформулируем его в общем виде в краткой форме так: из А следует Е. Символ А имеет смысл данного условия теоремы, принятой без доказательства. Символ Е имеет смысл заключения доказываемой теоремы.

Прямую теорему будем доказывать от противного, логическим методом. Логический метод доказывает теорему, имеющую не математическое, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует из Е, дополненное противоположным условием из А, из которого Е не следует.

В результате было получено логически противоречивое условие новой теоремы, включающее две части: из А следует Е, а из А не следует Е. Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключенного третьего и соответствует к доказательству теоремы от противного.

По закону одна часть противоречащего условия ложна, другая часть истинна, а третья исключается. Доказательство от противного имеет свою задачу и цель установить, какая именно часть из двух частей условия теоремы ложна. Как только ложная часть условия будет определена, вторая часть будет определена как истинная часть, а третья будет исключена.

Согласно Толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в котором устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, положения, теоремы)». Доказательством от противного называется рассуждение, в котором устанавливается ложность (абсурдность) вывода, следующего из ложного условия доказываемой теоремы.

Учитывая, что А подразумевает Е, а А не подразумевает Е.

Доказательство: E следует из A.

Доказательство. Логическое условие теоремы содержит противоречие, которое необходимо разрешить. Противоречие условия должно найти свое решение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным, если рассуждения безупречны и непогрешимы. Причиной ложного вывода при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е, а из А не следует Е.

Нет и тени сомнения, что одна часть условия ложна, а другая в данном случае истинна. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, принимаются как данные, предполагаемые, равновозможные, равно допустимые и т д. В ходе логических рассуждений не обнаружено ни одного логического признака, отличающего одну часть условия от другой. Следовательно, в равной степени из А следует Е, и может быть так, что А не следует из Е. Утверждение из А следует за Е может быть ложным, тогда утверждение из А не следует из Е будет истинным. Утверждение из А не следует за Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует за Е будет истинным.

Поэтому доказать прямую теорему методом от противного невозможно.

Теперь докажем ту же прямую теорему обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказательство: E следует из A.

Доказательство.

1. Из А следует В (по ранее доказанной теореме).

2. Из В следует С (согласно ранее доказанной теореме)).

3. Из C следует Γ (по ранее доказанной теореме).

4. D следует из Γ (по ранее доказанной теореме).

5. E следует из D (по ранее доказанной теореме).

Из закона транзитивности следует А. Е. Прямая теорема доказывается обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А.

Докажем это обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы может быть выражено в символической форме как алгоритм математических операций.

Дано: Е

Доказательство: А следует из Е.

Доказательство.

1. Из E следует D (по ранее доказанной обратной теореме).

2. Из D следует Γ (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из Γ следует C (по ранее доказанной обратной теореме).

4. B не следует из C (обратная теорема неверна). Следовательно, А не следует и из В.

В этой ситуации нет смысла продолжать математическое доказательство обратной теоремы. Причина ситуации логична. Нельзя ничем заменить неверную обратную теорему. Поэтому эту обратную теорему нельзя доказать обычным математическим методом. Вся надежда состоит в том, чтобы доказать эту обратную теорему от противного.

Чтобы доказать его от противного, необходимо заменить его математическое условие логически противоречивым условием, которое по своему смыслу содержит две части — ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А. Ее условие Е, из которого следует вывод А, есть результат доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением, что из Е следует А. В результате добавления получается противоречивое условие для новой обратной теоремы: из Е следует А, а из Е не следует А. На основании этого логически противоречивого при условии, обратная теорема может быть доказана только правильными логическими рассуждениями и только логическим методом от противного. При доказательстве от противного все математические действия и операции подчинены логическим и поэтому не учитываются.

В первой части противоречащего утверждения из Е следует А. Условие Е доказано доказательством прямой теоремы. Во второй части оно не следует из Е. А условие Е предполагалось и принималось без доказательства. Одно из них ложно, а другое истинно. Требуется доказать, какое из них ложно.

Мы доказываем правильными логическими рассуждениями и находим, что результатом является ложный, абсурдный вывод. Причиной ложного логического вывода является противоречивое логическое состояние теоремы, содержащей две части — ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение, что Е не следует из А, где Е было принято без доказательств. Именно этим оно отличается от Е в утверждении из Е, что А следует из Е, что и доказывается доказательством прямой теоремы.

Следовательно, верно утверждение: А следует из Е, что и требовалось доказать.

Вывод: только обратная теорема доказывается логическим методом из обратной, которая имеет прямую теорему, доказываемую математическим методом, и которая не может быть доказана математическим методом.

Полученный вывод приобретает исключительное значение в отношении метода доказательства в отличие от великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток доказать это основано не на обычном математическом методе, а на логическом методе доказательства от противного. Доказательство великой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Дмитрий Абраров в своей статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству Великой теоремы Ферма, проведенному Уайлсом. Согласно Абрарову, Уайлс доказывает Великую теорему Ферма, используя замечательное открытие немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма xn + yn = zn, где n > 2, с другим, совершенно другим уравнение. Это новое уравнение задается специальной кривой (называемой эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задается очень простым уравнением:
у2 + х (х — ан) (у + Ьп) = 0.

«Именно Фрей сопоставил любому решению (a, b, c) уравнения Ферма, т е числам, удовлетворяющим соотношению an + bn = cn, указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы последняя теорема Ферма»)

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение последней теоремы Ферма xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах. Эти же решения, по предположению Фрея, являются решениями его уравнения
у2 + х (х — ап) (у + Ьп) = 0, что задается его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс взял это замечательное открытие Фрея и с его помощью математическим методом доказал, что этого открытия, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Следовательно, не существует уравнения и его решений, заданных несуществующей эллиптической кривой, поэтому Уайлс должен был заключить, что не существует уравнения для последней теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако он делает более скромный вывод, что уравнение последней теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Возможно, неоспоримым фактом является то, что Уайлс принял допущение, прямо противоположное по смыслу тому, что сформулировано Великой теоремой Ферма. Это обязывает Уайлса доказывать Великую теорему Ферма от противного. Давайте последуем его примеру и посмотрим, что получится из этого примера.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в натуральных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, а затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах.

Гипотетическое утверждение также принимается как данность без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, одинаково допустимы, равноправны и равновозможны. Правильное рассуждение требует определения того, какое из них ложно, чтобы определить, истинно ли другое утверждение.

Правильное рассуждение заканчивается ложным, нелепым выводом, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказуемой теоремы, содержащее две части прямо противоположного значения. Они были логической причиной абсурдного вывода, результатом доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильных рассуждений не было найдено ни одного признака, по которому можно было бы определить, какое именно суждение является ложным. Это может быть утверждение: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах. На том же основании можно утверждать: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в натуральных числах.

В результате рассуждений может быть только один вывод: невозможно доказать последнюю теорему Ферма от противного.

В результате рассуждений может быть только один вывод: невозможно доказать последнюю теорему Ферма от противного.

Совсем другое дело, если бы последняя теорема Ферма была обратной теоремой, к которой имеется прямая теорема, доказываемая обычным математическим методом. В этом случае его можно доказать от противного. А так как это прямая теорема, то и доказательство должно основываться не на логическом методе доказательства от противного, а на обычном математическом методе.

По словам Д. Абрарова, академик В. И. Арнольд, самый известный современный русский математик, отнесся к доказательству Уайла «активно скептически». Академик заявил: «Это не настоящая математика — настоящая математика геометрическая и имеет тесные связи с физикой.

Напротив, невозможно доказать ни то, что уравнение последней теоремы Ферма не имеет решений, ни то, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и не доказывает Великую теорему Ферма.

Последняя теорема Ферма также не доказывается обычным математическим методом, если дано: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в натуральных числах, и если требуется доказать: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в натуральных числах. В таком виде это не теорема, а тавтология, лишенная смысла.

Примечание. Мое доказательство BTF обсуждалось на одном из форумов. Один из участников Тротиля, специалист по теории чисел, сделал следующее авторитетное заявление, озаглавленное: «Краткий пересказ того, что сделал Миргородский». Цитирую дословно:

А. Он доказал, что если z2 = x2 + y , то zn > xn + y n. Это известный и вполне очевидный факт.

В. Он взял две тройки — пифагорейскую и непифагорейскую и простым перебором показал, что для конкретного, конкретного семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для нее).

S. И тут автор упустил то, что из < в последующей степени может оказаться = , и не только >. Простым контрпримером является переход от n = 1 к n = 2 в пифагорейской тройке.

D. Этот раздел не вносит ничего существенного в сертификат BTF. Вывод: БТФ не доказан».

Я рассмотрю его заключение по пунктам.

А. В ней доказана БТФ для всего бесконечного множества троек пифагорейских чисел. Доказано геометрическим методом, который, как я полагаю, не был открыт мной, а открыт заново. А открыл его, как я полагаю, сам П. Ферма. Возможно, Ферма имел это в виду, когда писал:

«Я обнаружил поистине ошеломляющее доказательство этого, но эти поля слишком узки для этого». Это мое предположение основано на том факте, что в диофантовой задаче, против которой Ферма написал на полях книги, речь идет о решениях диофантова уравнения, тройного пифагорейского числа.

Бесконечное множество троек пифагорейских чисел являются решениями диофатического уравнения, а в теореме Ферма, наоборот, ни одно из решений не может быть решением уравнения теоремы Ферма. И действительно чудесное доказательство Ферма имеет прямое отношение к этому факту. Позже Ферма смог распространить свою теорему на множество всех натуральных чисел. На множестве всех натуральных чисел БТФ не принадлежит к «множеству необычайно красивых теорем». Это мое предположение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Его можно как принять, так и отвергнуть.

Вопросы. В этом параграфе я докажу, что удовлетворяются как семейство произвольно взятой пифагорейской тройки чисел, так и семейство произвольно взятой непифагоровой тройки чисел BTF. Это необходимое, но недостаточное промежуточное звено в моем доказательстве BTF. Приведенные мною примеры семейства тройки пифагорейских чисел и семейства тройки непифагорейских чисел имеют смысл конкретных примеров, которые предполагают, а не исключают существование подобных других примеров.

Утверждение Тротила, что я «показал простым перечислением, что для конкретного, конкретного семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для этого), не имеет под собой никаких оснований. Он не может опровергнуть того, что я мог с тем же успехом взять другие примеры пифагорейских и непифагорейских троек для получения определенного семейства на одной и на другой тройке.

Какую бы пару троек я ни взял, проверку их пригодности для решения задачи можно выполнить, на мой взгляд, только методом «простого перебора». Любой другой способ мне не известен и не нужен. Если ему не нравился Тротил, то он должен был предложить другой метод, который ему не нравится. Не предлагая ничего взамен, неправильно осуждать «простое перечисление», которое в данном случае незаменимо.

C. Я опустил = между < и < на том основании, что доказательство BTF рассматривает уравнение z2 = x2 + y (1), где степень n > 2 является положительным целым числом. Из равенства между неравенствами следует, что необходимо вычислять уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2. Тротиль, считающий необходимым вычисление равенства между неравенствами, фактически считает это необходимым в доказательстве БТФ для вычисления уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2. Я сделал это для себя и обнаружил, что уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2 имеет решение тройки числа: z, (z-1), (z-1) с нецелым показателем:

Бином Ньютона — формула

Определение 1

При натуральном n биномиальная формула Ньютона имеет вид a+bn=Cn0 an+Cn1 an-1 b+Cn2 an-2 b2+…+Cnn-1 a bn-1+Cnn bn, где Cnk=(n) !(k)!(nk)!=n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))(k)!- биномиальные коэффициенты, где n при k, k= 0,1,2,…,n и «!» является знаком фактора.

В приведенной формуле умножения a+b2=C20 a2+C21 a1 b+C22 b2=a2+2ab+b2
видна биномиальная формула Ньютона, так как при n=2 это ее частный случай.

Первая часть бинома называется разложением (a+b)n, а Сnk an-k bk является (k+1)-м членом разложения, где k=0,1,2, …,n.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n выполняется с помощью таблицы, называемой арифметическим треугольником Паскаля. Общий вид таблицы:

Экспонента Биномиальные коэффициенты
0 С00
1 С10 С11
2 С20 С21 С22
3 С30 С31 С32 С33
н Cn0 Сп1 Си-эн-эн-1 Cnn

При натуральном n такой треугольник Паскаля состоит из значений биномиальных коэффициентов:

Экспонента Биномиальные коэффициенты
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
н Cn0 Сп1 Си-эн-эн-1 Cnn

Стороны треугольника имеют единичное значение. Внутри находятся числа, полученные сложением двух чисел соседних сторон. Значения, выделенные красным цветом, получаются как сумма четвёрок, а синим — шестерок. Правило распространяется на все внутренние числа, входящие в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются с помощью бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Для биномиальных коэффициентов Ньютона справедливы равенства:

  • коэффициенты расставлены равноудаленно от начала и конца и равны, как видно из формулы Cnp=Cnn-p, где p=0, 1, 2,…, n;
  • Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени биномиального показателя, то есть Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n;
  • при четном расположении биномиальных коэффициентов их сумма равна сумме биномиальных коэффициентов, поставленных на нечетные места.

Справедливым считается равенство вида a+bn=Cn0 an+Cn1 an-1 b+Cn2 an-2 b2+…+Cnn-1 a bn-1+Cnn bn. Докажем его существование.

Для этого необходимо использовать метод математической индукции.

Чтобы доказать это, вам нужно сделать несколько вещей:

  1. Проверяет справедливость разложения для n=3. У нас есть это
    a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+ b3 =C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
  2. Если неравенство верно для n-1, то такое выражение, как a+bn-1=Cn-10 an-1 Cn-11 an-2 b Cn-12 an-3 b2+…+Cn- 1n-2 bn-2+Cn-ln-1 bn-1

считается справедливым.

  1. Доказательство равенства a+bn-1=Cn-10 an-1 Cn-11 an-2 b Cn-12 an-3 b2+…+Cn-1n-2 a bn-2 +Cn-1n-1·bn -1, на основе шага 2.

Доказательство 1

Выражение

a+bn=a+ba+bn-1==(a+b)Cn-10 an-1 Cn-11 an-2 b Cn-12 an-3 b2+…+Cn -1n-2 a bn- 2+Cn-ln-1 бн-1

Нужно раскрыть скобки, тогда получим a+bn=Cn-10 an+Cn-11 an-1 b+Cn-12 an-2 b2+…+Cn-1n-2 a2 bn-2+ + Cn -1n-1 a bn-1+Cn-10 an-1 b+Cn-11 an-2 b2+Cn-12 an-3 b3+…+Cn-1n- 2 a bn-1+Cn-1n — 1 миллиард

Создаем группировку понятий

a+bn==Cn-10 an+Cn-11+Cn-10 an-1 b+Cn-12+Cn-11 an-2 b2+…++Cn-1n-1+Cn-1n-2 a bn-1+Cn-1n-1 bn

У нас есть Cn-10=1 и Cn0=1, поэтому Cn-10=Cn0. Если Cn-1n-1=1 и Cnn=1, то Cn-1n-1=Cnn. Используя свойство комбинаций Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1, получаем выражение вида

Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2⋮Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

Сделаем замену в полученном равенстве. Мы понимаем, что

a+bn==Cn-10 an+Cn-11+Cn-10 an-1 b+Cn-12+Cn-11 an-2 b2+…++Cn-1n-1+Cn-1n-2 a bn-1=Cn-ln-1 bn

После этого вы можете перейти к биному Ньютона, тогда a+bn=Cn0 an+Cn1 an-1 b+Cn2 an-2 b2+…+Cnn-1 a bn-1+Cnn bn.

Биномиальная формула доказана.

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач

Для полного понимания использования формулы рассмотрим примеры.

Пример 1

Разверните выражение (a+b)5, используя биномиальную формулу Ньютона.

Решение

Треугольник Паскаля пятой степени показывает, что биномиальные коэффициенты равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. То есть мы получаем, что a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 и есть искомое разложение.

Ответ: а+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Пример 2

Найдите биномиальные коэффициенты Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a+b10.

Решение

В качестве условия имеем, что n=10, k=6-1=5. Затем можно перейти к расчету биномиального коэффициента:

Cnk=C105=(10)!(5)! 10-5!=(10)!(5)!(5)!==10 9 8 7 6(5)!=10 9 8 7 61 2 3 4 5 =252

Ответ: Cnk=C105=252

Ниже приведен пример, где двучлен используется для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Пример 3

Докажите, что значение выражения 5n+28 n-1, когда n — натуральное число, без остатка делится на 16.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5n=4+1n и использовать бином Ньютона. Тогда мы получим это

5n+28 n-1=4+1n+28 n-1==Cn0 4n+Cn1 4n-1 1+…+Cnn-2 42 1n-2+Cnn-1 4 1n-1+Cnn 1n+28 n-1==4n+Cn1 4n-1+…+Cnn-2 42+n 4+1+28 n-1==4n+Cn1 4n-1+…+Cnn-2 42+32 n ==16 (4n-2+Cn1 4n-3+…+Cnn-2+2 n)

Ответ: Из полученного выражения видно, что исходное выражение делится на 16.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word