Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня не дает ясности, но помнить стоит:

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:

Из определения следует, что а не может быть отрицательным числом. То есть то, что находится под корнем, обязательно является положительным числом.

Чтобы понять, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень

Здесь логично предположить, что 4, но проверим: 4*4=16 — не сходится.

Если -4, то -4 * -4 = 16 (минус, умноженный на минус, всегда дает плюс).

Оказывается, ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении в квадрат.

Числа под знаком корня должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Читайте также: Вычитание столбиком — как правильно?

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• не похоже .

Это два выражения, которые не тождественны друг другу.

• является квадратным уравнением.
• это арифметический квадратный корень.

Из выражения следует, что:

• , это означает, что , , .

Если вас смущают две вертикальные палочки рядом с x, ознакомьтесь с нашей статьей о модуле числа.

В то же время из выражения следует, что .

Если ситуация по-прежнему кажется запутанной и нелогичной, просто помните, что отрицательное число может быть только решением квадратного уравнения. Если решение «минус» — есть два варианта:

1. Пример исправленной ошибки
2. Это квадратное уравнение.

Если вы возьмете квадратный корень из числа, вы можете быть уверены, что получите «положительный» результат.

Давайте возьмем пример, чтобы наконец узнать разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число – это число, которое нельзя представить в виде правильной дроби.

Чаще всего иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и так далее

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в действии.

Дано уравнение: .

Сразу сталкиваемся с проблемой, так как очевидно, что ни одно целое не подходит.

Отрицательные числа дают тот же результат. Таким образом, результат решения не может быть целым числом.

Решение следующее:
Построим график функции y = x2.
Отметим решения на графике: .

Если вы попытаетесь извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, результат будет следующим: .

В таком виде ответ не записывается — надо оставить квадратный корень.

Извлечение корней

решать примеры с квадратными корнями намного проще, если вы помните как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей – сохраните ее себе и используйте для решения задач.

Таблица квадратов

100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
1600	1681	1764 г	1849 г	1936 г	2025	2116	2209	2304	2401
2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Вот несколько примеров извлечения корня, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Отвечать: .

• 2. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Отвечать: .

• 3. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Отвечать: .

• 4. Извлекаем рут:

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Отвечать: .

• 5. Вытащить корень

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Отвечать: .

извлечение корня называется нахождением его значения.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы было легче решать примеры.

• Корень произведения равен произведению корней
• извлечение корня из дроби — это извлечение корня из числителя и знаменателя
• Чтобы возвести корень в степень, поднимите значение под корнем степени

Давайте потренируемся и решим примеры для всех трех операций с корнями. Не забудьте посмотреть таблицу маршрутов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, и посмотрите ответы для проверки.

Понятие внесения множителя под знак корня

Начнем с определения этого преобразования.

Определение 1

Разложение под корнем — это преобразование произведения B·Cn, где B и C — числа или выражения, а n — натуральное число, в тождественное равное выражение Bn·Cn или -Bn·Cn.

Первое знакомство с этим видом преобразования обычно происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. В этом случае определение берется только для n, равного 2, т.е для выражений с квадратным корнем. Позже, когда изучаются корни n-й степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

Учитывая все вышеизложенное, несложно понять, почему это преобразование называется именно так: в результате фактор B перемещается под знаком корня. Также очевидно, что таким образом можно изменить не всякое выражение, а только конкретные произведения определенных чисел (выражений) и корней, под знаками которых также ставится определенное число или выражение. Примеры: 5 3, -0,7 x+2 y3, x-2 1-x4 и т д

В результате мы должны прийти к выражению для вполне определенной формы. Итак, приведенные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 52 3, -0,73 x+2 y3, -x-24 1-x4. Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если в этом есть необходимость.

После того, как мы определили, что представляет собой введение множителя под корневым знаком, можно перейти к теоретическим основаниям преобразования. В следующем подразделе мы объясним, когда следует заменить -Bn·Cn на Bn·Cn, а когда Bn·Cn на -Bn·Cn.

Теоретические основы внесения множителя под корень

Когда мы ранее объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, используя фундаментальные свойства корня, мы получили ряд важных результатов. Здесь нам понадобятся два из них:

Определение 2

1. Выражение A можно заменить на Ann в случае нечетного числа n. Если n четное число, то можно заменить на Ann для всех значений переменных, принадлежащих диапазону допустимых значений этого выражения и для которого A не будет отрицательным (это условие можно записать как A≥0). То есть, если n — нечетное число, то A=Ann, A≥0, -Ann, A<0.
2. Выражение An·Bn заменяется на A·Bn при условии, что n — натуральное число.

Используя эти правила, мы можем добавить множитель под знаком корня (корень) после следующих преобразований:

• для нечетных чисел n – B Cn=Bnn Cn=Bn Cn
• для четных n– B Cn=Bnn Cn=Bn Cn, B≥0,-Bnn Cn=-Bn Cn, B<0

Допустим, что B — это число больше 0, или выражение, которое будет неотрицательным для всех значений переменных из диапазона допустимых значений. Итак, B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn. А если B — отрицательное число или значения не положительны ни для одной переменной, то B·Cn=-Bnn·Cn=-Bn·Cn.

В следующем разделе мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем применять в дальнейшем для решения задач.

Основные правила внесения множителя под знак радикала

Выше мы уже говорили, что действия, которые необходимо предпринять для введения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

Определение 3

Если корневой индекс нечетное число, необходимые преобразования будут выглядеть так: B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn.

Определение 4

Если показатель степени корня — четное число, а B — выражение с неотрицательным значением (x2, 5 x4+3 y2 z2+7 и т д.) или просто положительное число, мы должны действовать следующим образом: B Cn= Bnn·Cn= Bn·Cn.

Определение 5

Если показатель степени корня является четным числом, но B будет числом меньше 0 или выражением с неположительными значениями (например, −2 x2, −(x2+y2+1) и т д.), то добавить множитель под корень нужно вот так: B·Cn=-Bnn·Cn=-Bn·Cn.

Определение 6

Если показатель степени корня четный, но по выражению B нельзя сразу сказать, какие значения он примет в диапазоне допустимых значений, нам нужно:

• решить неравенства B≥0 и B<0 в диапазоне допустимых значений исходного выражения;
• получив несколько наборов решений, выполнить преобразование B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn на первом из них, а B·Cn=-Bnn·Cn=-Bn·Cn на втором.

Теперь давайте посмотрим, как правильно использовать эти положения на практике.

Корень n-ой степени

Чтобы привести число (множитель) под знак кубического корня и высших степеней, возводим это число на заданный шаг, а затем переводим результат в подкоренное выражение.

Пример 3: Введем цифру 6 под кубическим корнем.

Пример 4: Представим произведение 25√3 под корнем 5.

Отрицательное число/множитель

Когда вы вводите отрицательное число/множитель под корнем (независимо от степени), знак минус всегда остается перед знаком корня.

Пример 5

Вынесение множителя из-под знака корня

Кажется, мы разобрались, как добавить множитель под корень. Но алгебра такая алгебра, так что теперь было бы неплохо вынести множитель под квадратный корень.

Выражение дано в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже можете легко извлечь квадратный корень из чего угодно, так что вы знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В этом выражении мы можем извлечь только квадратный корень из 4, поэтому:

Таким образом, множитель выносится под знаком корня.

Решения задач на внесение множителя под корень

Сначала рассмотрим простейший случай нечетного показателя корня.

Пример 1

Условие: Преобразуйте выражения 2 35, -0,25 -384 x y-13 y23 и x-1 x+1x-167, разложив их под квадратным корнем.

Решение

Во всех трех выражениях корни имеют нечетные степени. Тогда мы можем представить введенные множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Давайте посчитаем каждый пример отдельно.

1. 2 35=255 35=25 35. Результат можно еще больше упростить, выполнив необходимые операции под корнем: 25 35=32 35=965.
2. Здесь необходимо сначала преобразовать десятичную дробь в правильную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого прибавляем множитель под знаком корня и получаем: -0,25 -384 x y-13 y23==-14 -384 x y-13 y23==-1433 -384 x y-13 y23==-14- 384 х у-13 у23==6 х у-13 у23=6 х у-2 у23
3. Здесь мы выполняем преобразования сразу:

х-1 х+1х-167=(х-1)77 х+1(х-1)67==(х-1)7 х+1х-167

Полученному выражению можно придать еще более простой вид, если преобразовать под корень рациональное выражение, полученное после введения множителя. Давай сделаем это:

х-17 х+1х-167=х-17 х+1(х-1)67==(х-1)х+17=х2-17

Ответ: 2 35=965, -0,25 -384 х у-13 у23=6 х у-2 у23, х-1 х+1х-167=х2-17

Затем переходим к задачам, где нужно преобразовать корень с четным показателем.

Пример 2

Условие: в выражения 5·3, 12·16·q4-q4 и x2+1·1x·(x2+1) вписать подкоренной множитель, затем упростить выражения, если это возможно.

Решение

Мы уже приводили первое выражение в качестве примера в первом абзаце. Проверим результат 52 3. Так как здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним — положительное число, то нам нужно сделать следующее: 5 3=52 3=52 3. Нам осталось только упростить результат: 52 3=75.

Во втором случае индекс корня — четное число, а указанное число больше 0, а значит, сразу приступаем к преобразованиям:

12 16 q4-q4=1244 16 q4-q4==124 16 q4-q4=q4-q4=0

В третьем случае очевидно, что х2+1 будет принимать значения больше 0 при всех значениях переменной х (поскольку при добавлении неотрицательной переменной при любом значении выражения х2 и а мы получить положительные числа), то:

x2+1 1x x2+1=x2+12 1x x2+1==x2+12 1x x2+1=(x2+1)2x x2+1=x2+1x

Ответ: 5 3=75, 12 16 q4-q4=0, x2+1 1x x2+1=x2+1x.

Пример 3

Условие: преобразовать выражения -102·(0,1)7·a4 и 2·-3-y2·x, добавив множитель под знаком корня.

Решение

Первое выражение имеет четный показатель степени корня и отрицательный множитель, который необходимо ввести. Итак, для решения нам нужно использовать третье правило, сформулированное в предыдущем разделе:

-102 0,17 а4=-10244 0,17 а4==-1024 0,17 а4=-108 0,17 а4=-10 а4

Во втором выражении показатель степени корня также является четным числом. Выражение 2·(−3−y2) будет отрицательным для любого y, поскольку произведение положительного и отрицательного числа также является отрицательным числом. Итак, мы можем написать следующее:

2 -3-y2 x=-2 -3-y22 x==-2 -3-y22 x=-22 -3-y22 x==-4 y4+6 y2+ 9 x=-4 x y4+24 x y2 +36x

Ответ: -102 0,17 а4=-10 а4, 2 -3-у2 х=-4 х у4+24 х у2+36 х.

Еще одна проблема, которую нам предстоит проанализировать, — это работа с гладким показателем корня и переменными, которые могут принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования выходят за рамки школьного курса алгебры, так как это задачи повышенной сложности, но одну такую ​​задачу мы все же решим.

Пример 4

Условие: даны выражения x-2 1-x4 и x+6x-4 x2+x-2. Введите множитель под знаком корня.

Решение

Мы уже приводили первое выражение в качестве примера в первом абзаце. Давайте проверим результат и объясним процесс преобразования. Так как x-2 1-x4 имеет четный показатель степени корня (4), а выражение x−2 может иметь разные значения (больше 0, меньше 0, равно 0), мы должны использовать последнее правило из предыдущий раздел. Область допустимых значений x будет определяться условием 1−x≥0. Как узнать, когда переменная положительна, а когда отрицательна? Для этого нужно составить и решить две системы неравенств: x-2≥01-x≥0⇔x≥2x≤1⇔∅ и x-2<01-x≥0⇔x<2x≥1⇔x ≤1.

Первая система не имеет решений. Следовательно, наше выражение x−2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x≤1, совпадающего с диапазоном допустимых значений. Поэтому можно написать следующее:

х-2 1-х4=-х-244 1-х4==-(х-2)4 1-х4

Второе выражение x+6x-4 x2+x-2 имеет четный показатель степени корня, а выражение x+6x-4 на первый взгляд может иметь любое значение. Узнайте, когда они положительные, а когда отрицательные. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x+6x-4≥0x2+x-2≥0 и x+6x-4<0x2+x-2≥0.

Первая система может быть решена с помощью метода интервалов, а вторая система может быть решена с помощью любого метода решения квадратных неравенств.

x+6x-4≥0x2+x-2≥0⇔(-∞, -6∪4, +∞)(-∞, -2∪1, +∞)⇔⇔(-∞, -6∪[4, +∞)x+6x-4<0x2+x-2≥0⇔(-6, 4)(-∞, -2]∪[1, +∞)⇔⇔(-6, -2]∪[1, 4)

Следовательно, значение выражения x+6x-4 будет неотрицательным при x∈(−∞, −6]∪[4, +∞), а x+6x-4 x2+x-2=x+6x -42 х2+ х-2==х+6х-42 х2+х-2

И значение будет отрицательным для x∈(−6, −2]∪[1, 4), и x+6x-4 x2+x-2=-x+6x-42 x2+x-2==-x + 6х-42х2+х-2

Полученное выражение можно привести к рациональной дроби.

Ответ: x-2 1-x4=-(x-2)4 1-x4 и

x+6x-4 x2+x-2==x+6x-42 x2+x-2, x∈(-∞, -6]∪[4, +∞)-x+6x-42 x2+ x-2, x∈(-6, -2]∪1, 4)

В заключение отметим, что часто приходится вводить число под знаком корня в тех случаях, когда необходимо сравнить значения выражений с корнями. Советуем также прочитать материал об обратном преобразовании — выносе множителя из-под корня.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы наверняка уже познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она твоя правая рука. С ним вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже думаете о том, чтобы запомнить их.

Но, как видите, таблица заканчивается числом 9801. И это, согласитесь, не самое большое число, которое можно встретить в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которого нет в таблице Менделеева, нужно:

1. Определите «сотни», между которыми он стоит.
2. Определите «десятки», между которыми оно стоит.
3. Определите последнюю цифру этого числа.

Есть много способов извлечь корень из большого числа — вот один из них.

Возьмем корень .

Наша задача решить, между какими десятками находится число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

Мы видим, что 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это означает, что число 2116 находится между 402 и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Вспомните лайфхак по расчету всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Ни для кого не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, оканчивающееся на цифру 1.

Число 42 в квадрате даст число, оканчивающееся на цифру 4.

Число 43 в квадрате даст число, оканчивающееся на 9.

Такой шаблон позволяет нам «перебрать» все возможные варианты без ввода, кроме тех, которые не дают нужной нам цифры 6 в конце.

Это оставляет нам два варианта: 442 и 462.

Затем вычисляем: 44*44=1936.

46*46=2116.

Отвечать:

Если этот способ показался не совсем понятным, можно потратить еще немного времени и разложить число на множители. Если мы решим все правильно, мы получим тот же результат.

Другой пример. Извлечь корень из числа

Разложим число 11664 на множители:

11664: 4 = 2916

2916: 4 = 729

729: 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Отвечать:

извлекать квадратный корень из большого числа намного проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на крайний случай» точно не помешает. Например для контроля или экзамена.