Внешний угол треугольника – определение и свойство

Вычисления

Определение внешнего угла треугольника

Определение

Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними.

Например, для $angle A$ внешними вершинами будут $angle 1$ и $angle 2$

Внешний угол

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом. В треугольнике три внутренних угла, а их сумма равна 180 градусам. Смежные углы называются углами, одна из сторон каждого из которых лежит на прямой, а другая является общей.

Что нужно сделать, чтобы увидеть внешний угол треугольника? Для этого нужно выполнить некоторые дополнительные построения. Чтобы увидеть внешний угол треугольника, вы должны продолжить страницу вниз. В каждой вершине соответственно две стороны, можно продолжить две прямые и будет два смежных угла.

В треугольнике 6 внешних вершин.

Нежелательно на рисунке строить два внешних угла в одной вершине одновременно. Это усложнит конструкцию и чаще всего не даст никакого положительного результата.

Как обозначается внешний угол?

Углы треугольника указывают по вершинам, в которых они расположены, или по трем точкам.

Например, в треугольнике $bigtriangleup{ABC}$ угол при вершине $B$ обозначается как $angle{B}$ или как $angle{ABC}$. Но что, если вершина $B$ тоже имеет внешний угол? Должен ли он также обозначаться как $angle{B}$?

Или лучше указать дополнительный пункт на продолжении страницы? Вопрос отличный. Чтобы избежать такой путаницы, в геометрии используется термин «внутренний угол».

Например, в ходе решения задачи или доказательства вы используете внешний угол при определенной вершине. Скажем снова в вершине $B$ треугольника $bigtriangleup{ABC}$. Говоря о внутреннем углу треугольника, вы можете уточнить: «Внутренний угол $угол{B}$».

Метод с уточнениями «внутренний угол», «внешний угол» проще и не требует дополнительных точек. Кроме того, такое обозначение облегчает понимание того, где в треугольнике расположен угол. Ведь вы сосредотачиваетесь только на вершине.
Это особенно полезно, когда решения или чертежи проблем громоздки. Бывает, что при одной вершине необходимо учитывать два внешних угла. Они все такие же вертикальные, но все же… Мало ли. Здесь удобнее обозначить углы в стиле «$angle{1}$» или, например, «$angle{x}$».

Теорема о сумме углов треугольника

Понятие внешнего угла в треугольнике можно найти в сумме углов в теореме треугольника, которая гласит:

Теорема 1

Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$.

«Внешний угол треугольника: определение и свойство» Готовые курсовые и рефераты Купить от 250 ₽ Тематический материал Консультации специалиста Найти эксперта Помощь в написании курсовой Получить предложение

Приводим доказательство.

Пусть дан произвольный $треугольник ABC$. Нам нужно доказать, что $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$.

Теорема о сумме углов треугольника. Author24 - онлайн-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Author24 — онлайн-биржа студенческих работ

Через вершину $B$ проведите прямую $b$, которая будет параллельна стороне $AC$.

Читайте также: Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса и Перельмана, формулы, правила расчета и полное доказательство теоремы

Теорема о сумме углов треугольника. Author24 - онлайн-биржа студенческих работ

Рис. 3. Теорема о сумме углов треугольника. Author24 — онлайн-биржа студенческих работ

Мы видим, что углы 1 и 5 пересекаются при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ с секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются пересекающимися углами, когда они пересекают одну и ту же секущую параллель $BC$. Делаем вывод, что: $угол 5 = угол 1, угол 4 = угол 3$.

Глядя на рисунок, видно, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{circ}$. Отсюда следует, что $угол 1 +угол 2 +угол 3 = 180^{circ}$ или $угол A + угол B + угол C=180^{circ}$. Ч и т.д.

Формулировка теоремы о внешнем угле треугольника

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:

$$угол gamma=угол alpha+угол beta$

Внешний угол треугольника при данной вершине – это угол, примыкающий к углу треугольника при этой вершине (внутренний угол) (рис. 2).

Последствие

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не прилежащего к нему.

Свойства внешних углов

Для внешних углов треугольника не так много свойств, и все они связаны с определением внешнего угла.

Фундаментальное свойство гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Свойство доказывается довольно просто. Сумма смежных углов равна 180. Сумма углов в треугольнике по-прежнему равна 180. Итак, если обозначить внутренние углы a, b, c, внешний угол d, то:

а+б+с=180

а+г=180

Вычтем из первого выражения второе и получим:

а+б+с-(а+г)=180-180

б+кд=0

d=b+c — вот и все доказательство.

Рисунок для доказательства
Рис. 2. Рисунок для доказательства.

Есть несколько дополнительных свойств внешних углов:

  • Если для решения задачи требуется одновременное существование двух внешних углов в одной вершине на чертеже, то можно увидеть, что эти внешние углы будут равны, как вертикальные.
  • Сумма трех внешних углов, по одному в каждом углу, равна 360 градусов.
  • Так как внутренний и внешний углы треугольника смежные, то их сумма равна 180 градусам.

Внешние углы особенно важны при решении тупоугольных треугольников. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике одна из высот всегда внешняя. Вы можете найти эту высоту, используя тригонометрические функции. Для этого нужно знать угол, который будет внешним для тупоугольного треугольника, а внутренним для завершенного прямоугольного треугольника.

Внешний угол тупоугольного треугольника
Рис. 3. Внешний угол тупоугольного треугольника.Заключение

1 вариант доказательства через свойство внешних углов треугольника

Рассмотрим треугольник ABC с внешним углом 4.

Из соотношения между внешним углом треугольника и внутренними углами следует:

Отсюда:

Таким образом показано, что внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Имущество доказано.

Значение внешнего угла. 1 вариант доказательства

2 вариант доказательства

Шаг 1

Рассмотрим треугольник ABC с внешним углом 4.

Докажем, что:

Доказательство свойства величины внешнего угла треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Нарисуем медиану AM.

Доказательство свойства величины внешнего угла треугольника. Шаг 2

Шаг 3

На прямой АМ из точки М откладываем отрезок МК равный АМ (АМ = МК)

Доказательство свойства величины внешнего угла треугольника. Шаг 3

Шаг 4

Рассмотрим треугольники AMB и KMS.

АМ = МК — после постройки;

VM = MC — так как AM является медианой;

∠ВМА = ∠КМС — по вертикали;

ΔВМА = ΔКМС – по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует:

Потому что:

Что

Поэтому,

Доказательство свойства величины внешнего угла треугольника. Шаг 4

Шаг 5

Аналогично доказывается, что

Нарисуем медиану ВО.

На продолжении выставляем отрезок ОН, равный VO (VO = OH).

Рассмотрим треугольники BOA и SON:

ВО = ОН — по построению;

АО = ОС — так как ВО медиана;

∠BOA = ∠SON — как вертикаль;

Δ БОА = Δ СОН – по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует:

Поскольку ∠5 = ∠OSN + ∠NST

Итак, ∠5 = ∠1 + ∠NST.

Следовательно, ∠5 > ∠1.

∠5=∠4 — по вертикали. Фонды:

Имущество доказано.

Примеры решения задач

Пример

Упражнение. В треугольнике $Delta MNK$ внешний угол $angle M$ равен $120^{circ}$, а угол $angle N=65^{circ}$. Найдите угол $угол K$.

Решение. По теореме о внешнем угле $angle M=angle N+angle K$. Подставив в это равенство первые данные, получим

$$120^{circ}=65^{circ}+угол K$

Выражение $угол K : угол K=120^{circ}-65^{circ} Rightarrow angle K=55^{circ}$

Отвечать. $угол К=55^{circ}$

Пример

Упражнение. Внешние углы при двух углах треугольника равны $70^{circ}$ и $150^{circ}$. Найдите внутренний угол при третьей вершине.

Решение. Обозначим внешние углы как $угол 1, угол 2, угол 3$, а соответствующие внутренние углы как $alpha, beta, gamma$.

По условию $angle 1=150^{circ}$ и $angle 2=70^{circ}$. По свойству внешних углов их сумма, взятая по единице в каждой вершине, равна $360^{circ}$. Это

$$угол 1+угол 2+угол 3=360^{circ}$

Выразим из этого равенства неизвестный угол $angle 3$

$$угол 3=360^{circ}-угол 1-угол 2$

$$угол 3=360^{circ}-150^{circ}-70^{circ}$

$$угол 3=140^{circ}$

Тогда искомый внутренний угол можно найти из условия, что сумма внутреннего и внешнего углов равна $180^{circ}$, т.е. $gamma+angle 3=180^{circ}$, поэтому:

$$gamma=180^{circ}-угол 3$

$$gamma=180^{circ}-140^{circ}=40^{circ}$

Отвечать. $gamma=40^{circ}$

Оцените статью
Блог о Microsoft Word