Вписанный в конус шар (сфера): как найти радиус, объем, площадь

Вычисления

Шар, вписанный в конус

Рассмотрим некоторые соотношения, полезные для решения задач о шаре, вписанном в конус.

мяч в конусе

Сфера может быть вписана в любой конус. Шар, вписанный в конус (или шар, вписанный в конус), касается основания конуса в центре и боковой поверхности по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.

При решении задач для шара, вписанного в конус, удобнее всего рассматривать часть комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.

комбинированное осевое сечение
Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, стороны которого являются образующими конуса, а основание — диаметром конуса. Окружность, вписанная в этот треугольник, является большой окружностью сферы (то есть окружностью, радиус которой равен радиусу сферы).

Для этой фигуры образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанной сферы OO1=O1F=R. Так как центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрисы треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

<a href=frac{{SB}}{{S{O_1}}} = frac{{OB}}{{O{O_1}}}, Rightarrow frac{l}{{H — R}} = гидроразрыв {г} {R}» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31d1ac2e86741f331f685033f149efea_l3.png» width=»224″ height=»40″>

<a href=lR = (H — R)r, lR = Hr — Rr,» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a795307ec2f9d99f1b863e51eb229db8_l3.png» width=»238″ height=»18″>

<a href=lR + Rr = Hr,R(l + r) = Hr,» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92eabe874b42dd72e3b8536767053e05_l3.png» width=»233″ height=»18″>

[R = frac{{Hr}}{{I + r}}.]

По теореме Пифагора

[SB = sqrt {S{O^2} + O{B^2}} , Стрелка вправо l = sqrt {{H^2} + {r^2}} ]

Отсюда

[ frac {{ sqrt {{H ^ 2} + {r ^ 2}}}} {{H - R}} = frac {r} {R}.]

Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

[O{O_1} = OB cdot tgугол OB{O_1}]

Если ∠ОБС=α, то ∠ОБО1=α/2. Отсюда

[R = r cdot tgfrac{alpha}{2}.]

Если мы сначала выразим радиус конуса через его высоту из прямоугольного треугольника SOB

[OB = SO cdot ctgalpha , Стрелка вправо r = H cdot ctgalpha ,]

поэтому из треугольника OO1B выразим радиус шара через высоту конуса:

[r = H cdot ctgalpha cdot tgfrac{alpha} {2}.]

Читайте также: Формулы сокращенного умножения: четыре степени

Сфера, вписанная в конус

Определение 1. Сферой, вписанной в конус, называется сфера, касающаяся плоскости основания конуса, причем каждая из образующих конуса касается сферы (рис. 1).

сфера, вписанная в конус конус, описанный вокруг сферы
сфера, вписанная в конус конус, описанный вокруг сферы

Рисунок 1

Определение 2. Если сфера вписана в конус, то говорят, что конус описан вблизи сферы.

Заявление. Сфера может быть вписана в любой конус.

Доказательство. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение конуса). Сечение представляет собой равнобедренный треугольник ASB со сторонами AS и BS и высотой SO, опущенной от вершины S к основанию AB (рис. 2).

сфера, вписанная в конус конус, описанный вокруг сферы
сфера, вписанная в конус конус, описанный вокруг сферы

Рис.2

Отрезки AS и BS являются образующими конуса. Центр O’ окружности, вписанной в треугольник ASB, лежит на оси конуса SO, а радиус этой окружности будет равен радиусу сферы с центром O’, вписанной в этот конус.

Доказательство утверждения завершено.

Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Сфера вписана в конус с радиусом основания R и образующей 1. Найти отношение объемов сферы и конуса, описанного вокруг сферы, ограничивающей эту сферу.

Решение. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник ASB, стороны которого AS и BS равны l, а основание AB равно 2R (рис. 3).

отношение объемов сферы сферы к описанному вокруг нее конусу
отношение объемов сферы сферы к описанному вокруг нее конусу

Рис.3

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ASB, воспользуемся следующей формулой, следующей формулой, следующей формулой

Следовательно, объем сферы ограничен вписанной сферой

и объем конуса

Нахождение радиуса шара/сферы

Шар (шар) можно вписать в любой конус. Другими словами, вокруг любого шара можно описать конус.

Чтобы найти радиус сферы (сферы), вписанной в конус, чертим осевое сечение конуса. Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник (в нашем случае ABC), в который вписана окружность радиуса r.

Радиус основания конуса (R) равен половине основания данного треугольника (AC), а образующие (l) — стороны (AB и BC).

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, также является радиусом сферы, вписанной в конус. Существует по формуле:

Формула нахождения радиуса сферы (сферы), вписанной в конус

Формулы площади и объема шара/сферы

Зная радиус (r), можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) сферы, ограниченной этой сферой:

Формула нахождения площади поверхности шара, вписанного в конус (сферу)

Формула нахождения объема шара (шара), вписанного в конус

Примечание: π округляется до 3,14.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word