Шар, вписанный в конус
Рассмотрим некоторые соотношения, полезные для решения задач о шаре, вписанном в конус.
Сфера может быть вписана в любой конус. Шар, вписанный в конус (или шар, вписанный в конус), касается основания конуса в центре и боковой поверхности по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.
При решении задач для шара, вписанного в конус, удобнее всего рассматривать часть комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.
Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, стороны которого являются образующими конуса, а основание — диаметром конуса. Окружность, вписанная в этот треугольник, является большой окружностью сферы (то есть окружностью, радиус которой равен радиусу сферы).
Для этой фигуры образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанной сферы OO1=O1F=R. Так как центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрисы треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:
frac{{SB}}{{S{O_1}}} = frac{{OB}}{{O{O_1}}}, Rightarrow frac{l}{{H — R}} = гидроразрыв {г} {R}» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31d1ac2e86741f331f685033f149efea_l3.png» width=»224″ height=»40″>
lR = (H — R)r, lR = Hr — Rr,» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a795307ec2f9d99f1b863e51eb229db8_l3.png» width=»238″ height=»18″>
lR + Rr = Hr,R(l + r) = Hr,» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92eabe874b42dd72e3b8536767053e05_l3.png» width=»233″ height=»18″>
![[R = frac{{Hr}}{{I + r}}.]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27425d65a46f280636153170a2c6f5a1_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
По теореме Пифагора
![[SB = sqrt {S{O^2} + O{B^2}} , Стрелка вправо l = sqrt {{H^2} + {r^2}} ]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5aff050309c1c7422660fb4e1dc0f25d_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
Отсюда
![[ frac {{ sqrt {{H ^ 2} + {r ^ 2}}}} {{H - R}} = frac {r} {R}.]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f75896a1c7c7dbf8a2aed272575ab7c_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.
![[O{O_1} = OB cdot tgугол OB{O_1}]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae88b12e21f2e08557e929ffbfdc0aec_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
Если ∠ОБС=α, то ∠ОБО1=α/2. Отсюда
![[R = r cdot tgfrac{alpha}{2}.]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83eb075b8ea84f7cd4eb5cfd31352dfd_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
Если мы сначала выразим радиус конуса через его высоту из прямоугольного треугольника SOB
![[OB = SO cdot ctgalpha , Стрелка вправо r = H cdot ctgalpha ,]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f97653eb6e9140f154d5ff3a3b80734e_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
поэтому из треугольника OO1B выразим радиус шара через высоту конуса:
![[r = H cdot ctgalpha cdot tgfrac{alpha} {2}.]](/images/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7e98b3ed8095ec493f7c093ec4fcf80_l3.png "Сделано QuickLaTeX.com")
Читайте также: Формулы сокращенного умножения: четыре степени
Сфера, вписанная в конус
Определение 1. Сферой, вписанной в конус, называется сфера, касающаяся плоскости основания конуса, причем каждая из образующих конуса касается сферы (рис. 1).
Рисунок 1
Определение 2. Если сфера вписана в конус, то говорят, что конус описан вблизи сферы.
Заявление. Сфера может быть вписана в любой конус.
Доказательство. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение конуса). Сечение представляет собой равнобедренный треугольник ASB со сторонами AS и BS и высотой SO, опущенной от вершины S к основанию AB (рис. 2).
Рис.2
Отрезки AS и BS являются образующими конуса. Центр O’ окружности, вписанной в треугольник ASB, лежит на оси конуса SO, а радиус этой окружности будет равен радиусу сферы с центром O’, вписанной в этот конус.
Доказательство утверждения завершено.
Отношение объемов шара и конуса, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Сфера вписана в конус с радиусом основания R и образующей 1. Найти отношение объемов сферы и конуса, описанного вокруг сферы, ограничивающей эту сферу.
Решение. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник ASB, стороны которого AS и BS равны l, а основание AB равно 2R (рис. 3).
Рис.3
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ASB, воспользуемся следующей формулой, следующей формулой, следующей формулой
Следовательно, объем сферы ограничен вписанной сферой
и объем конуса
Нахождение радиуса шара/сферы
Шар (шар) можно вписать в любой конус. Другими словами, вокруг любого шара можно описать конус.
Чтобы найти радиус сферы (сферы), вписанной в конус, чертим осевое сечение конуса. Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник (в нашем случае ABC), в который вписана окружность радиуса r.
Радиус основания конуса (R) равен половине основания данного треугольника (AC), а образующие (l) — стороны (AB и BC).
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, также является радиусом сферы, вписанной в конус. Существует по формуле:
Формулы площади и объема шара/сферы
Зная радиус (r), можно найти площадь поверхности (S) сферы и объем (V) сферы, ограниченной этой сферой:
Примечание: π округляется до 3,14.
