Все формулы для радиуса вписанной окружности

Вычисления

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Вспомните определение биссектрисы угла.

Определение 1. Биссектриса угла – это луч, который делит угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла (рис. 1).

Существование окружности, вписанной в треугольник, является основным свойством биссектрисы угла

Рис. 1

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и прибавим к сторонам угла перпендикуляры D из точек DE и DF (рис. 1). Треугольники ADE и ADF равноправные, так как у них равные острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD общая. Поэтому,

ДФ = ДЭ,

qED

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис. 2).

Существование окружности, вписанной в треугольник, является основным свойством биссектрисы угла

Рис. 2

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и равноудаленную от сторон угла. Опустим перпендикуляры DE и DF из точки D на стороны угла (рис. 2). ADE и ADF равноправные треугольники, так как катеты DF и DE у них равны, а гипотенуза AD общая. Поэтому,

qED

Определение 2. Окружностью называется окружность, вписанная в угол, если она касается сторон этого угла.

Теорема 3. Если в угол вписана окружность, то расстояния от вершины угла до точки касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство. Пусть точка D — центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F — точки касания окружности со сторонами угла (рис. 3).

Существование окружности, вписанной в треугольник, является основным свойством биссектрисы угла

Рис.3

aDE и ADF — равноправные треугольники, так как у них равны катеты DF и DE (поскольку радиусы окружности — это радиусы окружности), а гипотенуза AD общая. Поэтому

АФ=АЭ,

qED

Комментарий. Теорему 3 можно сформулировать иначе: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Вспомните определение биссектрисы треугольника.

Определение 3. Биссектрисой треугольника называется отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведенные из вершин А и С треугольника АВС, и обозначим их точку пересечения буквой О (рис. 4).

Существование окружности, вписанной в треугольник, является основным свойством биссектрисы угла

Рис. 4

перпендикуляр O опустить из точек OD, OE и OF на стороны треугольника. Так как точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 имеет место следующее равенство:

ОД=ОЕ,

Так как точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 имеет место следующее равенство:

ОД = ВЫКЛ,

Следовательно, справедливо равенство:

ОЕ = ВЫКЛ,

отсюда, используя теорему 2, заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называется окружность, касающаяся всех сторон треугольника (рис. 5). В этом случае треугольником называется треугольник, описанный около окружности.

Существование окружности, вписанной в треугольник, является основным свойством биссектрисы угла

Рис. 5

Последствие. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Центром окружности, вписанной в треугольник, называется точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Читайте также: Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус окружности, вписанной в треугольник, легко представить в виде следующей таблицы.

Фигура Рисунок Формула Обозначение
Произвольный треугольник Формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник См вывод формулы а, б, в — стороны треугольника,
S — площадь,
r — радиус вписанной окружности,
р — полупериметр

.

См вывод формулы
Равнобедренный треугольник Формулы радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник См вывод формулы а — сторона равнобедренного треугольника,
б — база,
r — радиус вписанной окружности
Равносторонний треугольник Формулы радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник См вывод формулы а — сторона равностороннего треугольника,
r — радиус вписанной окружности
Прямоугольный треугольник Формулы радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник См вывод формулы – гипотенуза с
— катеты прямоугольного треугольника, а, b ,
r — радиус вписанной окружности
Произвольный треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник где
а, б, в — стороны треугольника,
С площадь,
r — радиус вписанной окружности,
р — полупериметр
.

См вывод формулы

где
а, б, в — стороны треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
р — полупериметр
.

См вывод формулы

Равнобедренный треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник где
а — сторона равнобедренного треугольника,
б — база,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

Равносторонний треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник где
а — сторона равностороннего треугольника,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

Прямоугольный треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник где
– гипотенуза с
— катеты прямоугольного треугольника, а, b ,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

Произвольный треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник

где
а, б, в — стороны треугольника,
С площадь,
r — радиус вписанной окружности,
р — полупериметр
.

См вывод формулы

Формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник

где
а, б, в — стороны треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
р — полупериметр
.

См вывод формулы

Равнобедренный треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

где
а — сторона равнобедренного треугольника,
б — база,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

Равносторонний треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник

где
а — сторона равностороннего треугольника,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

Прямоугольный треугольник
Формулы радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

где
– гипотенуза с
— катеты прямоугольного треугольника, а, b ,
r — радиус вписанной окружности

См вывод формулы

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен удвоенной площади треугольника, деленной на длину окружности.

Формула вычисления радиуса окружности, вписанной в треугольник

где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь.

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной окружности в треугольник

а, б, в — стороны треугольника

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Формула радиуса вписанной окружности треугольника (r):

Формула радиуса вписанной окружности треугольника

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

на стороне треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника (r):

Формула радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности, если известны: стороны и угол

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

а — равные стороны равнобедренного треугольника

б — сторона (основание)

α — угол при основании

O — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника через стороны (r) :

Формула 1 для радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r) :

Формула 2 Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника

Формула 3 радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

2. Формулы радиуса вписанной окружности, если известны: сторона и высота

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

а — равные стороны равнобедренного треугольника

б — сторона (основание)

ч — высота

O — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r) :

Формула 4 радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Формула 5 для радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

а,б — катеты треугольника

в — гипотенуза

Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника (r):

Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника

Вычисление с помощью полупериметра

Для расчета радиуса вписанной окружности треугольника необходимо учитывать следующие параметры:

  1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами а, b и с), то радиус необходимо вычислить, извлекая квадратный корень.
  2. При запуске расчетов необходимо к исходным данным добавить переменную — полупериметр (p). Его можно рассчитать, сложив все длины и разделив полученное количество на 2 p = (a+b+c)/2. Таким образом, формулу нахождения радиуса можно значительно упростить.
  3. В общем случае в формулу должен входить знак радикала, под которым стоит дробь, знаменателем этой дроби будет значение полупериметра p.
  4. Числитель этой дроби будет произведением разностей (pa)*(pb)*(pc)
  5. Таким образом, полная форма формулы будет представлена ​​следующим образом: r = √(pa)*(pb)*(pc)/p).

Окружность, вписанная в треугольник

Вычисление с учётом площади треугольника

Если мы знаем площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит нам найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

  1. Во-первых, удвоить размер области.
  2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть так: r = 2*S/(a+b+c).
  3. Если использовать значение полупериметра, то можно получить очень простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если условие задачи содержит длину одной из сторон, значение противолежащего угла и периметра, можно использовать тригонометрическую функцию — тангенс. В этом случае формула расчета будет выглядеть так:

r = (P/2-a)*tg(α/2), где r — искомый радиус, P — длина окружности, a — значение длины одной из сторон, α — значение противоположной сторона и угол.

Радиус окружности, которую необходимо вписать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Примеры задач

упражнение 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сначала вычисляем площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:

Пример расчета площади треугольника по формуле Герона

Осталось только воспользоваться правильной формулой для расчета радиуса окружности:

Пример вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности через стороны и площадь

Задача 2
Стороны равнобедренного треугольника 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус окружности, вписанной в фигуру.

Решение
Воспользуемся правильной формулой, подставив в нее известные значения:

Пример вычисления радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Оцените статью
Блог о Microsoft Word