- Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
- Произвольный треугольник
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
- Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
- Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
- Вычисление с помощью полупериметра
- Вычисление с учётом площади треугольника
- Расчёт с помощью тригонометрических функций
- Примеры задач
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Вспомните определение биссектрисы угла.
Определение 1. Биссектриса угла – это луч, который делит угол на две равные части.
Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла (рис. 1).
Рис. 1
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и прибавим к сторонам угла перпендикуляры D из точек DE и DF (рис. 1). Треугольники ADE и ADF равноправные, так как у них равные острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD общая. Поэтому,
ДФ = ДЭ,
qED
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис. 2).
Рис. 2
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и равноудаленную от сторон угла. Опустим перпендикуляры DE и DF из точки D на стороны угла (рис. 2). ADE и ADF равноправные треугольники, так как катеты DF и DE у них равны, а гипотенуза AD общая. Поэтому,
qED
Определение 2. Окружностью называется окружность, вписанная в угол, если она касается сторон этого угла.
Теорема 3. Если в угол вписана окружность, то расстояния от вершины угла до точки касания окружности со сторонами угла равны.
Доказательство. Пусть точка D — центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F — точки касания окружности со сторонами угла (рис. 3).
Рис.3
aDE и ADF — равноправные треугольники, так как у них равны катеты DF и DE (поскольку радиусы окружности — это радиусы окружности), а гипотенуза AD общая. Поэтому
АФ=АЭ,
qED
Комментарий. Теорему 3 можно сформулировать иначе: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Вспомните определение биссектрисы треугольника.
Определение 3. Биссектрисой треугольника называется отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведенные из вершин А и С треугольника АВС, и обозначим их точку пересечения буквой О (рис. 4).
Рис. 4
перпендикуляр O опустить из точек OD, OE и OF на стороны треугольника. Так как точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 имеет место следующее равенство:
ОД=ОЕ,
Так как точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 имеет место следующее равенство:
ОД = ВЫКЛ,
Следовательно, справедливо равенство:
ОЕ = ВЫКЛ,
отсюда, используя теорему 2, заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называется окружность, касающаяся всех сторон треугольника (рис. 5). В этом случае треугольником называется треугольник, описанный около окружности.
Рис. 5
Последствие. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Центром окружности, вписанной в треугольник, называется точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Читайте также: Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус окружности, вписанной в треугольник, легко представить в виде следующей таблицы.
Фигура | Рисунок | Формула | Обозначение |
Произвольный треугольник | См вывод формулы | а, б, в — стороны треугольника, S — площадь, r — радиус вписанной окружности, р — полупериметр . |
|
См вывод формулы | |||
Равнобедренный треугольник | См вывод формулы | а — сторона равнобедренного треугольника, б — база, r — радиус вписанной окружности |
|
Равносторонний треугольник | См вывод формулы | а — сторона равностороннего треугольника, r — радиус вписанной окружности |
|
Прямоугольный треугольник | См вывод формулы | – гипотенуза с — катеты прямоугольного треугольника, а, b , r — радиус вписанной окружности |
Произвольный треугольник | |
где а, б, в — стороны треугольника, С площадь, r — радиус вписанной окружности, р — полупериметр . См вывод формулы |
|
где а, б, в — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности, р — полупериметр . См вывод формулы |
|
Равнобедренный треугольник | |
где а — сторона равнобедренного треугольника, б — база, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы |
|
Равносторонний треугольник | |
где а — сторона равностороннего треугольника, r — радиус вписанной окружности См вывод формулы |
|
Прямоугольный треугольник | |
где – гипотенуза с — катеты прямоугольного треугольника, а, b , r — радиус вписанной окружности См вывод формулы |
Произвольный треугольник |
где См вывод формулы |
где См вывод формулы |
Равнобедренный треугольник |
где См вывод формулы |
Равносторонний треугольник |
где См вывод формулы |
Прямоугольный треугольник |
где См вывод формулы |
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен удвоенной площади треугольника, деленной на длину окружности.
где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь.
Радиус вписанной окружности в треугольник
а, б, в — стороны треугольника
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
Формула радиуса вписанной окружности треугольника (r):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
на стороне треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника (r):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности, если известны: стороны и угол
а — равные стороны равнобедренного треугольника
б — сторона (основание)
α — угол при основании
O — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника через стороны (r) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности, если известны: сторона и высота
а — равные стороны равнобедренного треугольника
б — сторона (основание)
ч — высота
O — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r) :
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
а,б — катеты треугольника
в — гипотенуза
Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника (r):
Вычисление с помощью полупериметра
Для расчета радиуса вписанной окружности треугольника необходимо учитывать следующие параметры:
- Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами а, b и с), то радиус необходимо вычислить, извлекая квадратный корень.
- При запуске расчетов необходимо к исходным данным добавить переменную — полупериметр (p). Его можно рассчитать, сложив все длины и разделив полученное количество на 2 p = (a+b+c)/2. Таким образом, формулу нахождения радиуса можно значительно упростить.
- В общем случае в формулу должен входить знак радикала, под которым стоит дробь, знаменателем этой дроби будет значение полупериметра p.
- Числитель этой дроби будет произведением разностей (pa)*(pb)*(pc)
- Таким образом, полная форма формулы будет представлена следующим образом: r = √(pa)*(pb)*(pc)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если мы знаем площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит нам найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
- Во-первых, удвоить размер области.
- Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть так: r = 2*S/(a+b+c).
- Если использовать значение полупериметра, то можно получить очень простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если условие задачи содержит длину одной из сторон, значение противолежащего угла и периметра, можно использовать тригонометрическую функцию — тангенс. В этом случае формула расчета будет выглядеть так:
r = (P/2-a)*tg(α/2), где r — искомый радиус, P — длина окружности, a — значение длины одной из сторон, α — значение противоположной сторона и угол.
Радиус окружности, которую необходимо вписать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Примеры задач
упражнение 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сначала вычисляем площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:
Осталось только воспользоваться правильной формулой для расчета радиуса окружности:
Задача 2
Стороны равнобедренного треугольника 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус окружности, вписанной в фигуру.
Решение
Воспользуемся правильной формулой, подставив в нее известные значения: