- Пирамиды
- Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
- Связь пирамиды со сферой
- Связь пирамиды с конусом
- Связь пирамиды с цилиндром
- Тетраэдры. Правильные тетраэдры
- Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Объем правильной треугольной пирамиды
- 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
- Объём правильной пирамиды с многоугольником в основании
- Примеры задач
Пирамиды
Рассмотрим произвольную плоскость α, произвольный выпуклый прямоугольник n A1A2… An, расположенный в этой плоскости, и точку S, не лежащую в плоскости α .
Определение 1. Пирамида (n-угольная пирамида) – это фигура, образованная отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A1A2… An (рис. 1) .
Примечание 1. Напомним, что многоугольник A1A2… An состоит из замкнутой штриховой линии A1A2… An и ограниченной ею части плоскости.
Рисунок 1
Определение 2.
| Точка S называется вершиной пирамиды. | |
| Многоугольник A1A2… An называется основанием пирамиды. | |
| Точки A1, A2,.., An называются вершинами основания пирамиды. | |
| Точки A1, A2, .., An, S часто называют просто вершинами пирамиды. | |
| до плоскости S Расстояние от точки до плоскости S Расстояние от точки α называется высотой пирамиды. | |
| Отрезки SA1, SA2, .., SAn называются боковыми ребрами пирамиды. | |
| Стороны многоугольника A1A2… An называются ребрами основания пирамиды. | |
| Боковые и базовые ребра пирамиды часто называют ребрами пирамиды. | |
| Треугольники SA1A2 , SA2A3 ,.., SAnA1 называются сторонами пирамиды. | |
| Совокупность всех боковых граней пирамиды составляет боковую грань пирамиды. | |
| Стороны и основание пирамиды часто называют гранями пирамиды. | |
| Вся поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности. |
Теорема Эйлера. Для любой пирамиды верно равенство:
|
+ |
|
– |
|
= | 2 |
|
+ |
|
– |
|
= | 2 |
|
+ |
|
– |
| – |
|
= | 2 |
Доказательство. Обратите внимание, что n-углеродная пирамида (n+1) имеет вершину, n граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, n-углеродная пирамида (n+1) имеет одну грань и 2n ребер.
Потому что
(n + 1) + (n + 1) – 2n = 2
то теорема Эйлера доказана.
Читайте также: Что такое Прямоугольный Параллелепипед?
Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Определение 3. Правильной n — углеродной пирамидой (правильной пирамидой) называется такая углеродная пирамида n — основанием которой является квадрат n — правильный A1A2… An, а основанием перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α, является квадрат n — центр общего A1A2… An (рис. 2).
Рис.2
Примечание 2. Если центр основания A1A2… An правильной пирамиды SA1A2… An обозначить буквой O, то длина отрезка SO будет равна высоте пирамиды. Часто сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной от вершины S .
Определение 4. Высота боковой поверхности правильной пирамиды, опущенная из вершины S, называется апофемой.
Рис.3
На рис. 3 отрезок SB является апофемой поверхности SAnAn-1, а отрезок SC — апофемой поверхности SA2A1.
Замечание 3. Любая правильная n-углеродная пирамида может иметь n апофем.
Свойства правильной пирамиды:
| Все стороны правильной пирамиды равны. | |
| Все стороны правильной пирамиды представляют собой равные равнобедренные треугольники. | |
| В любой правильной пирамиде все апофемы равны. | |
| Все боковые ребра правильной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания пирамиды. | |
| Все боковые грани правильной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания пирамиды. |
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу, когда в основании пирамиды лежит многогранник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет пересечение плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу. 
Сферу можно вписать в пирамиду, если биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны друг другу. Вокруг пирамиды описан конус, если их углы совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.Конус можно описать вокруг пирамиды, если все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одном основании цилиндра, а основание пирамиды вписано в другое основание цилиндра. Цилиндр можно описать вокруг пирамиды, если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Определение: Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который расположен между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной основанию. Таким образом, пирамида имеет большое основание и меньшее основание, подобное большему. Боковые грани — трапеции. 
Определение Треугольная пирамида (тетраэдр) – это пирамида, у которой три грани и основание представляют собой произвольные треугольники. Тетраэдр имеет четыре грани, четыре вершины и шесть ребер, причем два ребра не имеют общих вершин, но не касаются друг друга. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, образующих трехгранный угол. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром противоположной грани, называется медианой тетраэдра (GM) Бимедиана – это отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, не соприкасающихся (KL) Все бимедианы и медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (S). В этом случае бимедианы делятся пополам, а медианы в соотношении 3:1 сверху.
Определение Наклонная пирамида — это пирамида, одна из граней которой образует тупой угол (β) с основанием.
Определение Прямоугольной пирамидой называется пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию.
Определение: Острая пирамида – это пирамида, у которой апофема составляет более половины длины стороны основания.
Определение Тупой пирамидой называется пирамида, у которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение: Правильный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Это один из пяти правильных многоугольников. В правильном тетраэдре все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение: Прямоугольным тетраэдром называется тетраэдр с прямым углом между тремя ребрами в вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол, причем грани — прямоугольные треугольники, а основание — произвольный треугольник. Апофема любой грани равна половине стороны основания, на которое падает апофема.
Определение: Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, у которого боковые грани равны между собой, а основание представляет собой правильный треугольник. Гранями такого тетраэдра являются равнобедренные треугольники.
Определение Ортоцентрический тетраэдр – это тетраэдр, у которого все высоты (перпендикуляры), опущенные от вершины к противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение Звездчатая пирамида – это многогранник, основанием которого является звезда.
Определение Бипирамида – это многогранник, состоящий из двух различных пирамид (пирамиды также могут быть отсечены), имеющих общее основание, а вершины находятся по разные стороны от плоскости основания.
Тетраэдры. Правильные тетраэдры
Определение 5. Произвольная треугольная пирамида называется тетраэдром.
Заявление. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, таких как AC и BS. Обозначим через D середину ребра AC. Так как отрезки BD и SD являются медианами равнобедренных треугольников ABC и ASC, то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).
Рис.4
По критерию перпендикулярности к прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS, что и требовалось доказать.
Определение 6. Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется правильным тетраэдром (рис. 5).
Рис.5
Задача. Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром а .
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC. Пусть точка O — основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC — правильная пирамида, точка O — это пересечение медиан равностороннего треугольника ABC. Поэтому,
где буква D обозначает середину ребра AC (рис. 6).
Рис. 6
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды
Введем следующие обозначения
| В | объем пирамиды |
| Страница | боковая поверхность пирамиды |
| Полный | общая площадь поверхности пирамиды |
| Сосн | площадь основания пирамиды |
| Хвалить | окружность основания пирамиды |
Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности пирамиды:
| Пирамида | Рисунок | Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности |
| Случайная пирамида |  |
,
где |
| – угольная пирамидаПравильно |  |
(см раздел «правильные многоугольники»),
где |
| Правильный тетраэдр |  |
(см раздел «правильные многоугольники»),
высота правильного тетраэдра где |
| Случайная пирамида |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , где h — высота пирамиды. |
| – угольная пирамидаПравильно |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: (см раздел «правильные многоугольники»), где |
| Правильный тетраэдр |
|
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: (см раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра где |
1. Общая формула
Объем (V) пирамиды равен одной трети произведения высоты на площадь основания.
- АВСD — основание;
- Е — пик;
- h — высота, перпендикулярная основанию.
2. Объем правильной треугольной пирамиды
Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (АВС), площадь которого вычисляется следующим образом (а — сторона треугольника):
Подставляем это выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Основанием правильной квадратной пирамиды является квадрат, площадь которого вычисляется следующим образом: S = a2, где a — длина стороны.
Следовательно, формулу объема можно представить в виде:
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а — сторона основания):
С учетом этого рассчитайте объем фигуры следующим образом:
Объём правильной пирамиды с многоугольником в основании
Расчет объема правильной пирамиды, в основании которой находится многоугольник с $n$ гранями, осуществляется по формуле:
$V = frac13 cdot S cdot h$, где
$S$ — площадь многоугольника;
$h$ — высота пирамиды.
В этом случае площадь многоугольника можно найти по формуле:
$S = large frac{n cdot b^2}{4 cdot mathrm{tg}(frac{360}{2 cdot n})}$, где
$b$ — сторона многоугольника в основании;
$n$ — количество граней многоугольника в основании.
Замените формулу площади на формулу расчета объема пирамиды и получите:
$V = large frac{n cdot b^2 cdot h} {12 cdot mathrm{tg}(frac{180}{n})}$
Примеры задач
упражнение 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота 16 см, а длина стороны основания 8 см.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:
Задача 2
Высота правильной квадратной пирамиды 12 см, а сторона основания 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Площадь квадрата, являющегося основанием пирамиды, равна 9 см2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем:
