Вычитание десятичных дробей: правила, примеры, решения, как вычесть из десятичной дроби обыкновенную дробь

Понятие десятичной дроби

Прежде чем мы перейдем к тому, как складывать и вычитать десятичные дроби, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это число в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный дисплей — 1/2 или a/b,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Оно пишется в строке через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Как это:

• 0,8
• 7,42
• 9932

Конечный десятичный знак — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21.10200000 = 21.102

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в правильной форме, если знаменатель правильной дроби равен 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т д. То есть 1 цифра является делителем 10, 4 цифры — это делитель 10000.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целого числа и дроби. Добавляя десятичные дроби, добавляйте каждую часть отдельно.

Рассмотрим пример добавления 3.2 и 5.3. Для простоты воспользуемся столбцовым методом.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть меньше целой части другой. В школе это называется «запятая под запятой». Как это:

Складываем дроби: 2+3=5. Запишем пятерку в дроби ответа:

Теперь целые части равны: 3 + 5 = 8. Запишем число восемь в целой части ответа:

Целую часть от дробной отделить запятой так, чтобы запятая была ниже запятой:

Мы получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Читайте также: Округление Десятичных Дробей: как сделать

Основные правила вычитания десятичных дробей

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности обыкновенных дробей. Ранее мы говорили о том, как можно записать десятичные дроби в виде правильных дробей. На основе этого правила разберем несколько примеров нахождения разницы.

Пример 1

Найдите разницу 3,7-0,31.

Решение

Перепишем десятичные дроби в виде правильных: 3,7=3710 и 0,31=31100.

Что делать дальше, мы уже изучили. Получили ответ, который переводим обратно в десятичную форму: 339100=3,39.

Вычисления, связанные с десятичными дробями, удобно делать в столбик. Как использовать этот метод? Покажем, решив задачу.

Пример 2

Вычислите разницу между периодической дробью 0, (4) и периодической десятичной дробью 0,41(6).

Решение

Переведем записи периодических дробей в правильные и посчитаем.

0,4(4)=0,4+0,004+…=0,41-0,1=0,40,9=49,0,41(6)=0,41+(0,006+0,0006 +..)=41100+0,0060,9==41000+690 = 41100+1150=123300+2300=125300=512

Итого: 0,41(6)=49-512=1636-1536=136

При необходимости мы можем выразить ответ в виде десятичной дроби:

Ответ: 0,(4) −0,41(6) = 0,02(7).

Далее разберем, как найти разность, если у нас в соотношениях бесконечные непериодические дроби. Этот случай также можно свести к нахождению разницы между конечными десятичными дробями, для чего нужно округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно наименьшего возможного).

Пример 3

Найдите разницу 2, 77369…-0,52.

Решение

Вторая дробь в условии конечна, а первая бесконечно непериодична. Мы можем округлить его до четырех знаков после запятой: 2,77369…≈2,7737. После этого можно выполнить вычитание: 2,77369… -0,52≈2,7737 — 0,52.

Ответ: 2,2537.

Как вычитать десятичные дроби в столбик

В процессе вычитания десятичных дробей, как и при сложении, необходимо соблюдать правила, по которым вычитаются натуральные числа в столбик. Последовательность действий:

1. Уравнение на количество знаков после запятой путем добавления необходимого количества нулей.
2. Десятичные дроби записывайте столбиком, то есть одна под другой — запятая под запятой.
3. Вычитание десятичных дробей без учета запятых, основанное на правилах, по которым в столбце вычитаются натуральные числа.
4. Поставьте запятую под запятой в ответе.

Альтернативный способ

Есть еще один способ вычитания десятичных дробей. В этом случае их не обязательно записывать в столбик, а выполнять действия, исходя из следующих правил:

1. Вычитание десятичных дробей необходимо производить справа налево, то есть началом будет самая дальняя справа цифра после запятой.
2. Вычитание производится по разрядам цифр. Из целых чисел вычитаются целые числа, из десятых вычитаются десятые, из сотых вычитаются сотые и так далее.
3. Если вы хотите вычесть большую цифру из меньшей, вы должны взять десятку из следующей цифры слева.

Пример 2

Вы можете понять этот метод на примере:

15.21 — 8.31 =

Выполняем вычитание, двигаясь с правой стороны на левую. Самая правая цифра в обеих дробях — сотые. 1 в первом числе, 1 во втором. Найдем их отличие:

1 — 1 = 0

В результате получается 0, который следует записать вместо сотых в разнице:

15.21 — 8.31 =… 0

Затем вычтите десятые из десятых. 2 в первой цифре, 3 во второй. Учтите, что 3 (большее) нельзя вычесть из 2 (меньшего), поэтому для 2 необходимо одолжить десять у соседа слева. В данном случае это 5. Получается, что 3 вычитается из 12:

12 — 3 = 9

В десятых долях нового числа можно написать 9. Важно не забыть вычесть из 5 единицу, так как из 5 было взято десять.

15.21 — 8.31 =… 90

Переходим к вычитанию целых частей. В первой цифре 14, во второй цифре 8.

14 — 8 = 6

15,21 — 8,31 = 6,90

Правило 2

Десятки можно вычесть только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее. Когда одна из десятичных дробей не имеет нужной цифры, ее можно заменить нулем.

Пример 3

Рассмотрим вычитание десятичных дробей:

6,9 — 2,52 =

Второе крайнее правое число имеет 2 (сотых), а первое число не имеет сотых. В этом случае необходимо к первому числу справа от 9 прибавить ноль и вычесть по стандартному алгоритму.

6,9 = 6,90

6,90 — 2,52 = 4,38

Вычитание десятичных дробей с разными знаками

Чтобы вычесть обыкновенные дроби с разными знаками, следуйте правилам:

1. Разница между дробями есть дробь.
2. В процессе вычитания дробей разность необходимо заменить сложением уменьшаемого и числа, стоящего напротив вычитаемого.

6,90 — (-2,52) = 6,90 + 2,52 = 9,42

Как считать разность десятичных дробей столбиком

Вычитание столбцов — это быстрый и наглядный способ найти разницу между последними десятичными знаками. Процесс счета очень похож на процесс счета натуральных чисел.

Определение 1

Для вычисления разницы между десятичными дробями в столбце необходимо:

1. если в данных десятичных дробях количество знаков после запятой разное, мы его выровняем. Для этого к нужной дроби нужно добавить нули;
2. дробь, подлежащую вычитанию, запишите ниже уменьшаемой, располагая значения цифр строго друг под другом, а запятую – за запятой;
3. счет столбцов будем выполнять так же, как и для натуральных чисел, при этом игнорируя запятую;
4. в ответе необходимое количество цифр отделяем запятой, чтобы она ставилась на прежнее место.

Рассмотрим конкретный пример использования этого метода на практике.

Пример 4

Найдите разницу 4452.294-10.30501.

Решение

Для начала сделаем первый шаг — округлим количество знаков после запятой. Добавляем к первой дроби два нуля и получаем дробь вида 4 452,29400, значение которой идентично исходному.

Запишем получившиеся числа друг под другом в правильном порядке, чтобы получился столбец:

Считаем как обычно и игнорируем запятые:

В полученном ответе поставьте запятую в нужном месте:

Расчеты закончились.

Наш результат: 4452,294−10,30501=4441,98899.

Как вычесть натуральное число из десятичной дроби и наоборот

находить отличие конечной десятичной дроби от натурального числа проще всего вышеописанным способом — столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, нужно записать в виде десятичной дроби, в дроби которой есть нули.

Пример 5

Вычислите 15-7,32.

Запишем сокращенное число 15 как дробь 15,00, так как дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два десятичных знака. Затем выполняем счет в столбик, как обычно:

Таким образом, 15−7,32=7,68.

Если нам нужно вычесть из натурального числа бесконечную периодическую дробь, мы снова сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменим периодическую десятичную дробь на правильную.

Пример 6

Вычислить разницу 1-0, (6).

Решение

Указанная в условии периодическая десятичная дробь соответствует обычной 23.

Считаем: 1−0,(6)=1−23=13.

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0, (3).

Если дробь, данная в условии, непериодическая, поступаем аналогично, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Пример 7

Вычтите 4274. из 5.

Решение

Округляем указанную бесконечную дробь до сотых и получаем 4,274… ≈ 4,27.

После этого вычисляем 5−4,274…≈5−4,27.

Преобразуйте 5 в 5,00 и запишите столбец:

В итоге 5−4,274…≈0,73.

Если перед нами стоит обратная задача — вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы вычитаем из целой части дроби, а дробную часть вообще не трогаем. Мы делаем это как с конечными, так и с бесконечными дробями.

Пример 8

Найдите разницу 37,505 — 17.

Решение

Отделяем от дроби целую часть 37 и отнимаем от нее нужное число. Получаем 37,505−17=20,505.

Как вычесть десятичную дробь из смешанного числа или обыкновенной дроби и наоборот

Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей — как в случае смешанных чисел, так и десятичных дробей.

Пример 9

Рассчитайте разницу 0,25-45.

Решение

Представим 0,25 в виде правильной дроби — 0,25=25100=14.

Теперь нам нужно найти разницу между 14 и 45.

Считаем: 45−0,25=45−14=1620−520=1120.

Запишем ответ в десятичной системе счисления: 0,55.

Если в условии есть смешанное число, из которого необходимо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, поступаем аналогично.

Пример 10

Условие: вычесть 0,(18) из 8411.

Решение

Перепишем периодическую дробь в виде правильной дроби. 0.(18)=0,18+0,0018+0,000018+…=0,181-0,01=0,180,99=1899=211

Получается, что 8411-0,(18)=8411-211=8211.

В десятичной форме ответ можно записать как 8, (18).

Точно так же мы поступаем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.

Пример 11

Вычислите 940-0,03.

Решение

Заменяем дробь 0,03 на обычные 3100.

Получаем: 940−0,03=940−3100=90400−12400=78400=39200

Ответ можно оставить как есть или преобразовать в десятичную дробь 0,195.

Если нам нужно выполнить вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, мы должны свести их к конечным. То же самое делаем со смешанными числами. Для этого запишем правильную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:

Пример 12

Вычтите 4,38475603… из 1027.

Решение

Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

1027=107+27=727

Кроме того, запишем эту дробь в десятичной форме и получим 10, (285714).

В результате 1027-4,38475603…=10.(285714)-4,38475603….

Теперь округляем вычитаемые числа до седьмого знака после запятой: 10, (285714) = 10,285714285714…≈10,2857143 и 4,38475603…≈4,3847560

Затем 10, (285714) −4,38475603…≈10,2857143−4,3847560.

Осталось только вычесть один последний десятичный знак из другого. Давайте сделаем подсчет столбцов:

Ответ: 1027-4,38475603…≈5,9009583

Примеры решения задач для 5 класса

Первое задание

Необходимо рассчитать:

7,353 — 3,1

Решение

В этом случае количество цифр после запятой разное. Поэтому к 3.1 после единицы нужно добавить пару нулей: 3.100. Затем необходимо записать выражение в столбик и выполнить вычисления:

Ответ: 4253

Вторая задача

Нам нужно найти разницу:

3,46 — 2,39

Решение

Запишем выражение в столбик:

Начать следует с вычитания независимых сотых: 6-9. В этом случае необходимо взять единицу из соседнего разряда:

16 — 9 = 7

Полученный ответ нужно записать вместо сотой части:

Затем вы можете начать вычитание десятых. Следует помнить, что блок ранее был занят. Таким образом, в десятых долях остается число 3, а не 4. Выполним вычисления в десятых долях:

3 — 3 = 0

Полученный результат нужно записать через десятые доли:

Затем вы можете вычесть целые части:

3 — 2 = 1

Полученную единицу следует записать в целой части ответа:

Целая часть должна быть отделена от дробной части:

Ответ: 1,07

Третья задача

Требуется решить выражение:

3 — 1,2

Решение

Выражение должно быть записано в столбик:

Вы должны сравнить количество цифр после запятой, поставив запятую после 3 и написав ноль:

Затем можно приступать к вычитанию десятых: 0 — 2. В этом случае нужно отнять единицу от соседней цифры:

Затем нужно вычесть целые части с учетом того, что блок был занят, а дробную часть отделить запятой:

Ответ: 1,8

Четвертая задача

Определить разницу:

37 505 — 17

Решение:

Необходимо отделить целую часть от дробной части и вычесть из нее заданное число:

37 505 — 17 = 20 505

Ответ: 20 505