Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения, решение дробей

Понятие дроби

Дробь — это форма представления числа в математике. Это запись, где a и b — числа или выражения. Есть два формата записи:

• простой вид — или ,
• десятичная форма — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда есть делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

Фракции бывают двух видов:

1. Числовой — состоит из цифр, например, или .
2. Алгебраический — состоит из переменных, например. При этом значение дроби зависит от заданных значений букв.

Дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя. Например и .

Неправильная дробь – это та дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Например, . Такое число смешанное и звучит как пять целых четверть, а пишется — .

Основные свойства дробей:

1. Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю.
2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
3. Их также называют равными, если a × d = b × c.
4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ему дробь.

Читайте также: Знак пересечения

Свойства вычитания при работе с дробями

Свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, применимы и к случаям вычитания обыкновенных дробей. Давайте посмотрим, как их использовать при решении примеров.

Пример 9

Найдите разницу 244-32-56.

Решение

Подобные примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала вычисляем разницу 254-32, а затем вычитаем из нее последнюю дробь:

254-32=244-64=194194-56=5712-1012=4712

Преобразуем ответ, вычитая из него целую часть. Результат 31112.

Краткое описание всего решения:

254-32-56=254-32-56=254-64-56==194-56=5712-1012=4712=31112

Если выражение содержит как дроби, так и натуральные числа, рекомендуется при расчете группировать их по типу.

Пример 10

Найдите разницу 98+1720-5+35.

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98+1720-5+35=98+1720-5-35=98-5+1720-35

Завершим вычисления: 98-5+1720-35=93+1720-1220=93+520=93+14=9314

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделено на восемь частей. Оставим на тарелке пять кусочков и возьмем два из них. Это действие можно записать так:

58-28

В итоге у нас осталось 3 восьмых, так как 5−2=3. Получается, что 58-28=38.

На этом простом примере мы увидели, как работает правило вычитания для дробей с одинаковыми знаменателями. Сформулируем.

Определение 1

Чтобы найти разницу между дробями с одинаковым знаменателем, вычтите числитель одной из числителя другой, оставив знаменатель прежним. Это правило можно записать как ab-cb=a-cb.

Мы будем использовать эту формулу в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычесть из дроби 2415 обыкновенную дробь 1715.

Решение

Мы видим, что у этих дробей одинаковые знаменатели. Итак, все, что нам нужно сделать, это вычесть 17 из 24. Получаем 7 и добавляем знаменатель, получаем 715.

Наши расчеты можно записать так: 2415-1715=24-1715=715

При необходимости можно сократить сложную дробь или отделить целую часть от неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разницу 3712-1512.

Решение

Воспользуемся формулой, описанной выше, и посчитаем: 3712-1512=37-1512=2212

Легко видеть, что числитель и знаменатель делятся на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сокращая ответ, получаем 116. Это неправильная дробь, из которой выбираем целую часть: 116=156.

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такую математическую операцию можно свести к тому, что мы уже описали выше. Для этого просто приведите нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разницу между дробями, имеющими разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разницу между числителями.

Давайте посмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите 115 из 29.

Решение

Знаменатели разные, и вы должны привести их к наименьшему общему значению. В этом случае НОК равен 45. Для первой дроби нужен дополнительный коэффициент 5, а для второй — 3.

Подсчитаем: 29=2 59 5=1045115=1 315 3=345

У нас получилось две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы можем легко найти их разницу по описанному ранее алгоритму: 1045-345=10-345=745

Краткий обзор решения выглядит так: 29-115=1045-345=10-345=745.

Не пренебрегайте уменьшением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В этом примере нам не нужно этого делать.

Пример 4

Найдите разницу 199 — 736.

Решение

Приводим указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получаем соответственно 769 и 736.

Считаем ответ: 7636-736=76-736=6936

Результат можно уменьшить на 3 и получить 2312. Числитель больше знаменателя, значит, мы можем вычесть целую часть. Окончательный ответ 11112.

Итог всего решения: 199-736=11112.

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко сводится к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем пример.

Пример 5

Найдите разницу 8321 — 3.

Решение

3 равно 31. Тогда вы можете рассчитать так: 8321-3=2021.

Если в условии необходимо из неправильной дроби вычесть целое число, то удобнее сначала извлечь из нее целое число, записав его как смешанное число. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 8321 при выборе целой части получается 8321=32021.

Теперь просто вычтите из него 3: 32021-3=2021.

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Эта операция проделывается так же, как и предыдущая: переписываем натуральное число в виде дроби, приводим оба к общему знаменателю и находим разницу. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разницу: 7-53.

Решение

Сделаем 7 дробью от 71. Вычитаем и преобразуем окончательный результат, вычитая из него целую часть: 7-53=513.

Есть и другой способ расчета. Он имеет некоторые преимущества, которые можно использовать в тех случаях, когда числители и знаменатели дробей в задаче являются большими числами.

Определение 3

Если вычитаемая дробь правильная, то натуральное число, из которого вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1. После этого нужно вычесть из единицы искомую дробь и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разницу 1065 -1362.

Решение

Вычитаемая дробь правильная, потому что числитель меньше знаменателя. Следовательно, мы должны вычесть единицу из 1065 и вычесть из нее искомую дробь: 1065-1362=(1064+1)-1362

Теперь мы должны найти ответ. Используя свойства вычитания, результирующее выражение можно записать как 1064+1-1362. Посчитаем разницу в скобках. Для этого представим единицу в виде дроби 11.

Получается, что 1-1362=11-1362=6262-1362=4962.

Теперь вспомним примерно 1064 и сформулируем ответ: 10644962.

Мы используем старый способ, чтобы доказать, что он менее практичен. Вот какие расчеты мы получим:

1065-1362=10651-1362=1065 621 62-1362=6603062-1362==66030-1362=6601762=106446

Ответ тот же, но вычисления явно более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если оно неверно, заменяем его смешанным числом и вычитаем по известным правилам.

Пример 8

Вычислите разницу 644 — 735.

Решение

Вторая дробь неуместна, и от нее нужно отделить целую часть.

735=1435

Теперь посчитаем так же, как и в предыдущем примере: 630-35=(629+1)-35=629+1-35=629+25=62925

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы правильную дробь, единица преобразуется в форму неправильной дроби, знаменатель ее равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания отдельной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7, то есть единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильные из целого числа (натурального числа):

• Переведем заданные дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получаем нормальные члены (неважно, если у них разные знаменатели), которые оцениваем по приведенным выше правилам;
• Затем вычисляем разницу между полученными дробями. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неподходящей дроби — выбираем целую часть дроби.

Вычтите из целого числа правильную дробь: мы представляем натуральное число как смешанное число. Те мы берем единицу в натуральном числе и переводим ее в форму неправильной дроби, знаменатель такой же, как и у вычитаемой дроби.

Пример дробного вычитания:

В примере мы заменили единицу на неправильную дробь 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и вычли из дроби дробь.

Как вычитать дроби с разными знаменателями

В общем случае вычитание дробей с разными знаменателями выглядит так:

ab — cd = a ∙ m1 — c ∙ m2e

где e — наименьший общий знаменатель (LCD — наименьшее число, которое делится без остатка и на b, и на d), m1 и m2 — дополнительные множители (m1 = e : b, m2 = e : d).

Пример 3:53-27

Решение:

53 — 27 = 5 ∙ 721 — 2 ∙ 321 = 3521 — 621 = 35 — 621 = 2921 = 1821

Подробнее о поиске NOZ — смотрите здесь.

Как из целого числа вычесть дробь?

Вычитание обыкновенной дроби из целого числа сводится к представлению целого числа в виде дроби, где знаменатель равен единице, а числитель — само число, например:

5 = 51, 20 = 201

Дальнейший расчет происходит по стандартному алгоритму.

Как из обыкновенной дроби вычесть целое число?

Процедура вычитания целого числа из дроби аналогична, т.е представляем целое число в виде дроби со знаменателем — 1 и находим разницу, согласно представленным выше алгоритмам вычитания.

Как вычитать смешанные дроби?

вычитание смешанных дробей сводится к приведению их к неправильному виду и дальнейшим действиям по описанным выше алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь в общем случае выглядит так:

abc = a ∙ c + bc Пример 4:324 — 35

Решение:

324 — 35 = 3 ∙ 4 + 24 — 35 = 144 — 35 = 14 ∙ 520 — 3 ∙ 420 = 7020 — 1220 = 70 — 1220 = 5820 = 2910 = 2910