Вычитание столбиком — как правильно?

Основные понятия

Во всем мире для записи чисел принято использовать эти десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью создается любое натуральное число.

Название номера напрямую зависит от количества символов. Уникальный — состоит из одного символа. Две цифры — из двух. Три цифры — из трех и так далее.

Цифра — это позиция, в которой цифра появляется в записи. Обычно их считают с конца.

• Разряд единиц — это то место, где заканчивается любое число.
• Место яруса — это место слева от юнитов.
• Разряд сотен — это разряд слева от десятков.

Вычитание — это арифметическая операция, при которой меньшее число вычитается из большего числа. Большее число называется уменьшаемым, меньшее вычитается. Результат вычитания и есть разница.

Свойства вычитания

1. Если вы вычтете ноль из числа, вы получите число, которое вы вычли.а — 0 = а
2. Если это число вычесть из числа, разница будет равна нулю.а — а = 0
3. Чтобы вычесть сумму из числа, вы можете вычесть одно слагаемое из этого числа, а другое слагаемое из полученной разницы.а — (б + с) = а — б — с
4. Чтобы вычесть число из суммы, вы можете вычесть это число из одного члена и добавить полученную разницу к другому члену.(а + Ь) — с = (а — с) + Ь = а + (Ь — с)
5. Чтобы добавить разность к числу, вы добавляете к нему уменьшаемое и вычитаете вычитаемое из полученной суммы.а + (б — с) = а + б — с

Читайте также: Таблица интегралов

Разбор метода вычитания столбиком

Самое главное на первом этапе правильно записать исходные данные. Сначала запишем первое число, из которого будем вычитать. Под ним помещаем вычитаемое. Числа должны располагаться строго друг под другом с учетом разряда: десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы под единицами. Запись читается справа налево. Затем поставьте минус в левой части столбца и проведите черту под обеими цифрами. Окончательный результат будет написан под ним.

Пример 1

Давайте используем пример, чтобы показать, какая запись подсчета является правильной:

С помощью первого мы можем найти, сколько будет 56-9, с помощью второго — 3004-1670, третьего — 203604500-56777.

Как видите, с помощью этого метода можно выполнять расчеты различной сложности.

Затем рассмотрим процесс нахождения разницы. Для этого поочередно вычитаем значения цифр: сначала из единиц вычитаем единицы, затем из десятков десятки, затем из сотен сотни и так далее. Пишем значения ниже линии, которая отделяет исходные данные от результата. В результате мы должны получить число, которое и будет правильным ответом на задачу, т.е разность между исходными числами.

Как именно выполняются расчеты, можно увидеть на этой диаграмме:

Мы выяснили общую картину регистрации и подсчета. Однако в методе есть некоторые моменты, требующие уточнения. Для этого мы приведем конкретные примеры и поясним их. Начнем с самых простых задач и постепенно усложняем, пока окончательно не разберемся во всех нюансах.

Советуем внимательно прочитать все примеры, ведь каждый из них иллюстрирует отдельные непонятные моменты. Если вы дойдете до конца и запомните все пояснения, вычисление разности натуральных чисел в дальнейшем не доставит вам ни малейшего затруднения.

Пример 2

Условие: найти разницу 74 805 — 24 003 с помощью вычитания столбцов.

Решение:

Запишем эти числа друг под другом, располагая цифры правильно друг под другом и подчеркивая их:

Вычитание начинается справа налево, то есть с единиц. Считаем: 5-3=2 (при необходимости повторить таблицы сложения натуральных чисел). Запишем сумму ниже строки, где указаны единицы:

Вычесть десятки. Оба значения в нашем столбце равны нулю, и вычитание нуля из нуля всегда возвращает ноль (помните, мы упоминали, что это свойство вычитания нам понадобится позже). Результат написан в нужном месте:

Затем считаем значения разницы в сотнях: : 8−0=8. Заносим полученный результат со следующими цифрами в наш будущий результат:

Следующим шагом является нахождение значения разницы в тысячах: 4−4=0. Полученный ноль записывается в нужное место, и в результате получаем:

Нам осталось вычислить разницу между числами, т.е десятки тысяч. Пишем последнюю цифру под чертой и смотрим, что у нас получилось:

Мы получили 50 802, что было бы правильным ответом для приведенного выше примера. На этом расчеты закончены.

Ответ: 50 802.

Возьмем другой пример:

Пример 3

Условие: вычислить сколько будет 5777 — 5751 методом нахождения разницы по столбцу.

Решение:

Шаги, которые нам нужно предпринять, уже описаны выше. Запускаем их последовательно для новых номеров, и в результате получаем:

Результату предшествуют два нуля. Поскольку они первые, их можно смело отбросить и получить 26. Это число и будет правильным ответом в нашем примере.

Ответ: 26.

Если вы посмотрите на условия в двух приведенных выше примерах, то легко увидеть, что до сих пор мы брали только числа, равные по количеству символов. Но метод столбца также можно использовать, когда уменьшаемое содержит больше символов, чем вычитаемое.

Пример 4

Условие: найти разницу 502 864 числа 2 330.

Решение

Пишем цифры друг под другом, и соблюдаем нужное соотношение цифр. Это будет выглядеть так:

Теперь вычисляем значения по одному:

– единицы: 4−0=4;

– десятки: 6−3=3;

– сотни: 8−3=5;

– тысяча: 2−2=0.

Запишем, что имеем:

Вычитаемое имеет значения вместо десятков и сотен тысяч, а уменьшаемое — нет. Что делать? Помните, что пустота в математических примерах равна нулю. Поэтому нам нужно вычесть нули из исходных значений. Вычитание нуля из натурального числа всегда дает ноль, поэтому остается только переписать исходные значения битов в области ответа:

Наши расчеты завершены. Итого у нас получилось: 502 864 — 2 330 = 500 534.

Ответ: 500 534.

В наших примерах значения цифр вычитаемого всегда оказывались меньше значений уменьшаемого, так что это не вызывало никаких сложностей при вычислении. Что делать, если невозможно вычесть значение нижней строки из значения верхней строки, не становясь отрицательным? Затем мы должны «позаимствовать» значения более высокого порядка. Возьмем конкретный пример.

Пример 5

Условие: найти разницу 534-71.

Записываем уже известный нам столбец и делаем первый шаг вычислений: 4-1=3. Мы получаем:

Затем мы должны перейти к счету десятков. Для этого нам нужно вычесть 7 из 3. Эту операцию нельзя выполнить с натуральными числами, потому что она имеет смысл только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Следовательно, в данном примере мы должны «одолжить» сущность высшего порядка и, таким образом, «обменять» ее. То есть мы как бы меняем 100 на 10 десятков и берем один из них. Чтобы не забыть об этом, отмечаем нужную цифру точкой, а в десятках пишем 10 другим цветом. У нас есть такая запись:

Далее нам нужно прибавить полученные 10 десятков к уже имеющимся трем: 3 + 10 = 13, а затем из 13 вычесть 7:

13−7=6.

Результат записывается в нужном месте под строкой:

Нам осталось завершить счет, вычислив сотни. У нас есть точка над цифрой 5: это значит, что мы взяли отсюда десятку за предыдущую цифру. Итак, 5−1=4. Ничего не нужно вычитать из четверки, так как вычитаемое в конце сотни значений не имеет смысла. Пишем вместо 4 и получаем ответ:

Ответ: 463.

Часто вам нужно выполнить действие «переключить» несколько раз в одном экземпляре. Давайте посмотрим на эту проблему.

Пример 6

Условие: сколько стоит 1632 — 947?

Решение

На первом этапе расчета необходимо из семерки вычесть двойку, поэтому мы сразу «занимаем» десятку для обмена на 10 единиц. Отмечаем это действие точкой и считаем 10+2-7=5. Вот как выглядит наш вклад с тегами:

Тогда мы должны считать десятки. Указанная точка означает, что для вычислений мы берем число на единицу меньшее в этом разряде: 3−1=2. Из двух надо вычесть четыре, так мы «обменяем» сотни. Получаем (10+2)−4=12−4=8.

Переходим к счету сотен. Один из шести мы уже заняли, значит, 6−1=5. От пяти отнимаем девять, для чего берем имеющуюся у нас тысячу и «размениваем» ее на 10 сотен. Таким образом, (10+5)−9=15−9=6. Теперь запись нашей заметки выглядит так:

Нам осталось сделать расчеты с точностью до тысячных. Мы уже заняли одну единицу отсюда, поэтому 1−1=0. Записываем результат ниже последней строки и смотрим, что получится:

На этом расчеты закончены. Ведущие нули можно отбросить. Итак, 1632−947=685.

Ответ: 685.

Возьмем еще более сложный пример.

Пример 7

Условие: из 8002 вычесть 907.

Решение

На первом шаге, как и прежде, мы должны вычесть два из семи. Едем в десятки на «обмен». Но у нас их нет, как нет сотен: вместо этих цифр в уменьшаемом конце стоят нули. Поэтому сразу идем на тысячу. Это 10 сотен, поэтому:

После этого сотня представляется как 10 десятков:

Последнее действие в «обмене» — десятка на 10 единиц. Мы получаем:

Только на этом этапе мы можем окончательно вычислить сумму 10+2=12 и вычесть число 7. В результате у нас будет 5. Поместите результат в нужное место:

Теперь переходим к другим цифрам, отмеченным точками. Видим точку над десятками — считаем: 10−1=9. Складываем значение разряда десятков уменьшенного (0): 9+0=9. Из результата необходимо вычесть значения разряда десятков вычитаемого (0): 9−0=9. У нас есть:

Кроме того, над сотнями мы также видим точку. Считаем: 10−1=9. Складываем сотни 8002 и вычитаем из результата сотни 907. Получаем: (9+0)−9=9−9=0. Теперь наш пост выглядит так:

У нас есть последний шаг. Оставшуюся восьмерку мы видим с точкой, значит, ее надо уменьшить на единицу. Рассмотрим число 8−1=7:

Ответ: 7095.

Это были все сложные моменты, которые мы хотели прояснить. Они полезны для быстрых расчетов на практике. Закончим статью еще одним примером, но без комментариев:

Пример 8

Вычислить: 51 038 628 — 999 531.

Решение

Ответ: 50039097

Правила вычитания в столбик

Чтобы найти разницу между двумя или более числами с любым количеством цифр, вы можете выполнить вычитание столбца. Для этого:

1. Пишем сокращенное в верхней строке.
2. Под ним пишем первое вычитаемое — таким образом, чтобы одинаковые цифры в обоих числах были ниже друг друга (десятки ниже десятков, сотни ниже сотен и так далее)
3. Аналогично добавляем другие вычитаемые, если они есть. В результате образуются столбцы с разными цифрами.
4. Под написанными числами проведите горизонтальную черту, которая будет отделять уменьшаемое и вычитаемое из разницы.
5. Перейдем к вычитанию чисел. Эту процедуру проводят справа налево, отдельно для каждого столбца, а результат записывают под чертой в том же столбце. Здесь есть пара нюансов:
   • Если числа в вычитаемом нельзя вычесть из цифры в уменьшаемом, то из старшего разряда отнимаем десятку, а затем должны учитывать это в дальнейших действиях (см пример 2).
   • Если в уменьшаемом конце стоит ноль, это автоматически означает, что для выполнения вычитания необходимо заимствовать из следующей цифры (см пример 3).
   • Иногда в результате «заимствования» в старшем разряде может не остаться цифр (см пример 4).
   • В редких случаях, когда отчислений много, необходимо брать не один, а сразу два и более десятка (см пример 5).

Алгоритм вычитания в столбик

вычитать столбиками проще, чем считать в уме, особенно при работе с большими числами. Этот метод наглядный — он помогает запомнить каждый шаг.

Рассмотрим алгоритм вычитания в столбик на примере: 4312 — 901.

Шаг 1. При вычитании в столбик самое главное правильно записать исходные данные, чтобы единицы вычитаемого были ниже единиц уменьшаемого.

Наибольшее число (убывающее) пишется вверху. Поставьте знак минус между цифрами слева. Как это:

Шаг 2. Начинаем вычитание столбиком с самой правой цифры. Вычесть единицы. Результат записывается в единицах разницы (под чертой).

Шаг 3. Далее вычитаем десятки: 1 десяток минус 0 десятков.

Шаг 4. Вычтите сотни. Из 3 сотен вычесть 9 сотен. Это невозможно. Возьмем десять сотен из 4 тысяч. Поставим точку над тысячами. Прибавьте 10 сотрудников к 3: 10 + 3 = 13 (сотни).

Вычтите девять из «13»: 13 − 9 = 4.

Поскольку мы взяли десять из «4», четверка уменьшилась на единицу. Об этом нам напоминает точка над «4»: 4 − 1 = 3. Вот как это выглядит:

Рассмотрим пример вычитания в столбце чисел с нулями: 1009 — 423.

Шаг 1. Запишем цифры в столбик. Поставьте самое большое число сверху.

Рисуем справа налево цифрами.

Шаг 2. Поскольку «2» нельзя вычесть из нуля, заимствуем из соседней слева цифры (нуля). Поставим точку над «0». С нуля брать нельзя, поэтому смотрим на следующий рисунок. Заимствуем от «1» и ставим над ним точку. Теперь двойку вычитаем не из нуля, а из «10». Как это:

Помнить! Если при вычитании есть точка над нулем, ноль становится «9».

Шаг 3. Над нулем стоит точка, поэтому ноль становится «9». Вычтите четыре из «9»: 9 − 4 = 5.

Над «1» стоит точка. Единица уменьшается на «1»: 1 – 1 = 0. Если в результате разности слева от всех цифр окажется ноль, записывать его не нужно.

Так выглядит алгоритм вычитания в столбце. Во 2 классе учащиеся могут придумать подсказку в виде таблички. А потом алгоритм запомнится и будет работать автоматически, типа «дважды два четыре».

Вычитание двух натуральных чисел столбиком

Разберем вычитание двух натуральных чисел в столбик на примере. Вычесть 258 из 139

• 1) Напишите числа так, чтобы соответствующие цифры находились друг под другом. 9 до 8, 3 до 5, 1 до 2
  

  2	5	8
  1	3	9

   

• 2) Слева пишем знак — и проводим черту под вычитаемым.
  

  —	2	5	8
  1	3	9

   

• 3) Вычитание по крупицам справа налево.
  Сначала единицы, так как 8<9, то из десятков 18-9=9 берём десятку. В ответе под единицами напишите 9.
  Потом десятки, т.к мы взяли десять и тогда 4-3=1. Напишите 1 под десятками.
  Тогда сотни 2-1=1. Напишем 1 под сотнями.
  Результат 119.

  —	2	5	8
  1	3	9
  	1	1	9

Вычитание двузначных, трёхзначных и многозначных чисел столбиком

Вы должны вычитать двузначные, трехзначные и многозначные числа по описанному выше алгоритму. Различий нет.

Вычитание столбиком из чисел, содержащих нули.

Опять же, давайте посмотрим на пример:

Пишем цифры в столбик. Что больше — сверху. Мы начинаем вычитать справа налево, по одной цифре за раз. 9 — 3 = 6.

вычитание 2 из нуля не сработает, поэтому снова заимствуем из числа слева. Это ноль. Ставим точку выше нуля. И снова с нуля взять взаймы не получится, поэтому переходим к следующей цифре. Мы одалживаем единицу. Наносим на него завершающий штрих.

Обратите внимание, что когда при вычитании над 0 есть точка, ноль становится девяткой.

Это на одну точку выше нашей нулевой точки, что означает, что она стала девяткой. Вычитаем 4. 9 — 4 = 5. Над единицей стоит точка, то есть она уменьшается на 1. 1 — 1 = 0. Полученный ноль записывать не нужно.

Вычитание десятичных дробей в столбик

Разберем вычитание двух десятичных дробей в столбик на примере. Вычтите 23,5 из 36,96.

• 1) Для удобства вычитания прибавьте к вычитаемому справа 0, чтобы количество знаков после запятой было одинаковым 23,5 = 23,50.
• 2) Запишем десятичные дроби так, чтобы соответствующие цифры были ниже друг друга. 0 до 6, 5 до 9, 3 до 6, 2 до 3.
  

  3	6	.	9	6
  2	3	.	5	0

   

• 3) Слева пишем знак — и проводим черту под вычитаемым.
  

  —	3	6	.	9	6
  2	3	.	5	0

   

• 4) Вычитание по крупицам справа налево.
  Первые сотые 6-0=6. Пишем 6 под сотыми.
  Тогда десятые 9-5=4. В ответе под десятками пишем 4.
  Тогда единицы 6-3=3. Под единицами пишем 3.
  Тогда десятки 3-2=1. Напишем 1 под десятками.

  —	3	6	.	9	6
  2	3	.	5	0
  	1	3	.	4	6

Вычитание трёх и более чисел столбиком

Алгоритм вычитания трех и более чисел такой же, как и алгоритм сложения двух чисел, отличий нет.

Примеры вычитания в столбик

Пример 1

Вычтите 25 из 68.

Пример 2

Подсчитаем разницу между числами: 35 и 17.

Объяснение:

Так как из числа 5 нельзя вычесть 7, берем десятку из старшей цифры. Получается 5+10=15, а 15-7=8. И не забудьте вычесть занятые десятки из соответствующей категории, т.е. 3-1=2-1=1.

Пример 3

Вычтите из 70 число 46.

Объяснение:

Поскольку 6 нельзя вычесть из нуля, мы берем десятку. Следовательно, 0+10=10 и 10-6=4. Затем учитываем занятые десятки после вычитания следующей цифры, т.е. 7-4-1=2.

Пример 4

Найдем разницу между двузначными и трехзначными числами: 182 и 96.

Объяснение:

вычесть 6 из числа 2 не получится, поэтому берем десятку. Получаем 2+10=12, 12-6=6. В десятках остается 8-1=7, но 9 нельзя вычесть из 7, поэтому мы заимствуем десять из сотен: 7+10=17, 17-9=8. Таким образом, в сотнях ничего не остается четным, потому что 1-1=0.

Пример 5

Вычтите из 1465 числа 357, 214 и 78.

Объяснение:

В этом случае проделываем те же действия, что и в предыдущих примерах. Отличие только в том, что при вычитании в столбик единиц надо брать не один, а сразу два десятка, т.е. 5+20=25, 25-7-4-8=6. При этом 4 (6-2) на десятом месте).