Знак пересечения

Вычисления

Определение

Знак креста — это символ, обозначающий пересечение линий, углов, лучей, отрезков, плоскостей и других фигур в геометрии, пересечение множеств в математике (алгебре) и информатике.

Значение символа

Крест. Математические операторы.

Символ «Пересечение» был утвержден как часть Unicode версии 1.1 в 1993 году.

Техническая информация Свойства Кодировка

Имя в Юникоде Крест
Юникод номер U+2229
HTML-код
CSS-код 2229
Мнемотехника
Части Юникода Математические операторы
Юникод версия 1.1 (1993)
Версия 1.1
Блокировать Математические операторы
Тип кронштейна парного зеркала (биди) Нет
Исключение состава Нет
Изменение регистра 2229
Простое изменение регистра 2229
UTF-8 Е2 88 А9 226 136 169 14846121 11100010 10001000 10101001
УТФ-16ВЕ 22 29 34 41 8745 00100010 00101001
UTF-16LE 29 22 41 34 10530 00101001 00100010
УТФ-32ВЕ 00 00 22 29 0 0 34 41 8745 00000000 00000000 00100010 00101001
UTF-32LE 29 22 00 00 41 34 0 0 690094080 00101001 00100010 00000000 00000000

Как пишется этот символ пересечения?

Этот знак выглядит и пишется так – ⋂

Его достаточно легко запомнить, он похож на русскую букву «П», начальную букву слова «крест».

Как быстро запомнить этот знак?

Только представьте и запомните, что этот символ похож на букву «П» и похож на перевернутую подкову.

Как применяется знак ⋂?

Он используется для обозначения пересечения прямых, углов, лучей, отрезков в геометрии, пересечения множеств в математике (алгебре) и информатике.

Пример

A ∩ C = ∅ — 2 луча или (2 прямые, 2 отрезка) A и C не пересекаются.

Читайте также: Как перевести промилле: в процент, десятичную дробь, таблица соответствия

Что обозначает знак пересечения наоборот?

Этот символ выглядит и пишется так: ∪

Обозначается термином – «ассоциация».

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемом предмете, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих собой множество отдельных чисел. В таких случаях будет достаточно использовать определение пересечения и объединения множеств.

Определение 1

Объединение двух множеств — это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств — это множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.

Из этих определений логически вытекают следующие правила:

— для составления объединения двух числовых множеств с конечным числом элементов необходимо выписать все элементы одного множества и добавить к ним недостающие элементы из другого множества;

— для пересечения двух числовых множеств необходимо поочередно проверять элементы первого множества на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими к обоим наборам, и составят крест.

В множество, полученное по первому правилу, будут входить все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е объединение этих множеств по определению.

Множество, полученное по второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т е будет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим использование полученных правил на практических примерах.

Пример 1

Исходные данные: числовые наборы A = {3, 5, 7, 12} и B = {2, 5, 8, 11, 12, 13}. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

  1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, например, в набор А: 3, 5, 7, 12. Добавим недостающие элементы в набор В: 2, 8, 11 и 13. Наконец, у нас есть числовой набор: {3, 5 , 7, 12, 2, 8, 11, 13}. Упорядочим элементы получившегося множества и получим искомое объединение: А∪B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}.
  2. Определим пересечение исходных множеств. По правилу пройдемся по всем элементам первого множества А и проверим, входят ли они в множество В. Рассмотрим первый элемент — число 3: он не принадлежит множеству В, а значит он не будет элементом в желаемом пересечении. Проверим второй элемент множества A, т.е число 5: он принадлежит множеству B, а значит, будет первым элементом искомого пересечения.
  3. Третий элемент множества A — это число 7. Он не является элементом множества B и, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A: число 1. Он также принадлежит множеству B и, следовательно, станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств есть множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12, т е. A ∩ B = {5, 12}.

Ответ: объединение исходных множеств — А∪B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}; пересечение исходных множеств — А∩В = {5, 12}.

Все сказанное относится к работе с двумя наборами. В случае нахождения пересечения и объединения трех и более множеств решение этой задачи сводится к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Чтобы определить, например, пересечение трех множеств A, B и C, можно сначала определить пересечение A и B, а затем найти пересечение полученного результата с множеством C. В примере это выглядит так: пусть даны числовые множества: A = {3, 9, 4, 3, 5, 21}, B = {2,7, 9, 21} и C = {7, 9, 1, 3}. Пересечение первых двух множеств будет: A ∩ B = {9, 21}, а пересечение полученного множества с множеством A ∩ B = {9, 21}. В результате: A∩B∩C = {9}.

Но на практике для нахождения объединения и пересечения трех и более простых числовых множеств, состоящих из ограниченного числа отдельных чисел, удобнее пользоваться правилами, подобными указанным выше.

То есть для нахождения объединения трех и более множеств заданного типа необходимо добавить недостающие элементы второго множества к элементам первого множества, затем недостающие элементы третьего множества и так далее, 3}, С = {1, 3, 4, 5}. К элементам первого множества А добавятся число 3 из множества В, а затем недостающие числа 4 и 5 из множества С. Таким образом, объединение исходных множеств примет вид: А∪В∪С = {1 , 2, 3, 4 , 5}.

При решении задачи нахождения пересечения трех и более числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, необходимо последовательно перебрать числа первого множества и шаг за шагом проверять, соответствует ли рассматриваемое число принадлежит каждому из оставшихся наборов. Для пояснения рассмотрим числовые наборы:

А = {3, 1, 7, 12, 5, 2} В = {1, 0, 2, 12} С = {7, 11, 2, 1, 6} D = {1, 7, 15, 8, 2, 6}.

Найдите пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет наименьшее количество элементов, поэтому мы проверим их, чтобы увидеть, входят ли они в остальные множества. Число 1 в наборе B является элементом другого набора и, следовательно, является первым элементом в желаемом пересечении. Второе число множества B — число 0 — не является элементом множества A и, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 в множестве B является элементом других множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B, число 12, не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, мы получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = {1, 2}.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отмечаем произвольную точку на координатной линии, например, координатой -5,4. Указанная точка разделит координатную прямую на два числовых интервала — два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и саму точку. Легко видеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (-∞, -5.4)∪ {-5.4} ∪(-5.4, +∞). Множество всех действительных чисел R = (-∞; +∞) можно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет набором всех действительных чисел.

Заметим, что данную точку можно присоединить к любому из открытых лучей, тогда это будет простой числовой луч (-∞, -5,4 или -5,4, +∞). В этом случае множество R будет описываться следующими объединениями: (-∞, -5,4 ∪ (-5,4, +∞) или (-∞, -5,4) ∪ [-5,4, +∞)..

Такое рассуждение справедливо не только по отношению к точке на координатной прямой, но и по отношению к точке на любом числовом интервале. То есть, если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного интервала, то ее можно будет представить как объединение частей, полученных после деления на данную точку, и самой точки. Например, даны полуинтервал (7, 32] и точка 13, принадлежащая этому числовому интервалу.

Тогда данный полуинтервал можно представить в виде объединения (7, 13) ∪ {13} ∪ (13, 32 и наоборот наоборот, число 13 можно включить в любой из интервалов, и тогда заданное множество (7, 32 можно представить в виде (7, 13 ∪ (13, [32] или (7, 13 ∪ (13) , 32) Можно также взять за исходные данные не внутреннюю точку данного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда данный полуинтервал можно представить как объединение интервала (7 , 32) и одноэлементное множество {32} Таким образом: (7 , 32 = (7, 32) ∪ {32}.

Другой вариант: когда на координатной прямой или числовом интервале берется не одна, а несколько точек. Эти точки будут делить координатную прямую или числовой интервал на несколько числовых интервалов, а объединение этих интервалов образует исходные множества. Например, на координатной прямой заданы точки с координатами -6, 0, 8, которые будут делить ее на интервалы: (-∞, -6), (-6,0), (0, 8), (8, +∞). В этом случае множество всех действительных чисел, олицетворением которых является координатная линия, может быть представлено как объединение полученных интервалов и заданных чисел:

(-∞, -6) ∪ {-6} ∪(-6,0) ∪ {0} ∪ (0, 8) ∪ {8} ∪ (8, +∞).

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Четко разобраться в теме нахождения пересечения и объединения множеств можно, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только мы не говорим о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, позволяющий определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Мы будем рассматривать шаги постепенно, каждый раз предоставляя следующий шаг для решения конкретного примера.

Пример 2

Исходные данные: даны числовые множества A = (7, +∞) и B = -3, +∞). Необходимо найти пересечение и объединение этих множеств.

Решение

  1. Нанесем заданные числовые наборы на координатные линии. Они должны располагаться друг над другом. Для простоты принято считать, что опорные точки заданных множеств совпадают, а положение точек относительно друг друга остается неизменным: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Также, если нас интересует объединение множеств, то координатные линии слева объединяются квадратной скобкой множества; если пересечение представляет интерес, то фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых наборов у нас есть: Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора
и Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Давайте нарисуем еще одну координатную линию и поместим ее ниже существующих. Необходимо будет показать желаемое пересечение или объединение. На этой координатной линии отмечены все граничные точки исходных числовых наборов: сначала штрихами, а в дальнейшем, после выяснения характера точек с этими координатами, штрихи будут заменены пунктирными или непунктирными точками. В нашем примере это точки с координатами -3 и 7.

Мы получаем:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора
и Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Точки, появившиеся на нижней координатной линии на предыдущем шаге алгоритма, позволяют рассматривать координатную линию как набор числовых интервалов и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере мы представляем координатную линию как набор из пяти числовых наборов: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞).

Теперь необходимо по очереди проверить, принадлежит ли каждое из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Полученные выводы поэтапно отмечают на нижней координатной линии: когда разрыв является частью креста или соединения, над ним проводят штриховку. Когда точка входит в пересечение или объединение, штрих заменяется полной точкой; если точка не является частью пересечения или объединения, она делается пунктирной. В этих действиях необходимо соблюдать следующие правила:

— разрыв становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества А и множества В (или, другими словами, если над этим разрывом есть разрыв на обеих координатных линиях, представляющих множества А и В);

— точка становится частью пересечения, если она одновременно является частью каждого из множеств А и В (другими словами, если точка не является пунктирной или внутренней точкой в ​​каком-либо интервале обоих числовых множеств А и В);

— пробел становится частью объединения, если он входит в состав хотя бы одного из множеств А или В (другими словами, если выше этого пробела есть пробел хотя бы на одной из координатных прямых, представляющих множества А и В.

— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств А и В (иными словами, точка является непунктирной или внутренней точкой в ​​любом интервале хотя бы одного из множеств А и В).

Краткое содержание: пересечение числовых множеств А и В есть пересечение всех числовых пропусков в множествах А и В, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих как множеству А, так и множеству B Объединение числовых множеств A и B — это объединение всех числовых пропусков, над которыми имеется штриховка хотя бы для одного из множеств A или B, а также всех отдельных точек без точек.

  1. Вернемся к примеру и определим пересечение заданных множеств. Для этого последовательно проверяйте множества: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞). Начнем с множества (-∞, -3) и четко обозначим его на чертеже:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Этот разрыв не будет включен в пересечение, поскольку он не является частью ни множества A, ни множества B (без заливки). Так что наш рисунок сохраняет свой первоначальный вид:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Рассмотрим следующий набор {-3}. Число -3 является частью множества B (точка без точек), но не является частью множества A, и поэтому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной линии делаем точку с координатой -3 пробитой:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Оценим следующий набор (-3, 7).

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Она является частью множества Б (на интервале есть штриховка), но не входит в множество А (на интервале нет штриховки): не войдет в искомое пересечение, а значит, и новых меток не будет на ней появится нижняя координатная линия:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Следующий набор для проверки — {7}. Он является частью множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой в ​​интервале -3, +∞)), но не является частью множества A (пунктирная точка), и поэтому рассматриваемый интервал не станет часть желаемого пересечения.. Отметьте точку с координатой 7 как выбитую:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

И, наконец, проверяем оставшийся интервал (7, +∞).

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Промежуток входит в оба набора А и В (над промежутком есть штриховка), поэтому он становится частью пересечения. Штрихуем где-то над рассматриваемым интервалом:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

В итоге на нижней координатной прямой формировался образ искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, это множество всех действительных чисел больше 7, то есть: A∩B = (7, +∞).

  1. Следующим шагом является определение объединения заданных множеств A и B. Последовательно проверяем множества (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞), чтобы определить, включены ли они в желаемую ассоциацию.

Первое множество (-∞, -3) не входит ни в одно из исходных множеств A и B (штрихов над отверстиями нет), поэтому множество (-∞, -3) не войдет в искомое объединение:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Множество {-3} входит в множество B, а значит, будет включено в искомое объединение множеств A и B:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Множество (-3, 7) является компонентом множества B (это штриховка над интервалом) и становится элементом объединения множеств A и B:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Набор 7 входит в числовой набор B, поэтому он также будет включен в нужную ассоциацию:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Множество (7, +∞), являющееся одновременно элементом обоих множеств A и B, становится другой частью искомого объединения:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

По конечному образу объединения исходных множеств A и B получаем: A ∩ B = -3, +∞).

Имея некоторый практический опыт использования правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко выполняются устно, что позволяет быстро записать окончательный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без подробных пояснений.

Пример 3

Исходные данные: установить A =(-∞,-15)∪{-5}∪0, 7)∪{12} и B =(-20,-10)∪{-5}∪(2, 3)∪ {17}. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных линиях, чтобы получить иллюстрацию искомого пересечения и объединения:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора
Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Ответ: A∩B = (-20,-15)∪{-5}∪(2, 3); А∪В = (-∞,-10)∪{-5}∪[0, 7]∪{12, 17}.

Также ясно, что при достаточном понимании процесса можно подвергнуть указанный алгоритм оптимизации. Например, в процессе нахождения пересечения нельзя тратить время на проверку всех интервалов и наборов, являющихся отдельными числами, а ограничиться рассмотрением только тех интервалов и чисел, которые составляют множество А или В. Другие интервалы не будут входит в пересечение в любом случае, т е. Til не входит в состав исходных множеств. Проиллюстрируем сказанное выше практическим примером.

Пример 4

Исходные данные: установите A = {-2}∪[1, 5] и B = [-4, 3].

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически представим числовые множества A и B:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Граничные точки исходных множеств разделят числовую прямую на несколько множеств:

(-∞, -4), {-4}, (-4, -2), {-2}, (-2, -1), {1}, (1, 3), {3}, (3 , 5), {5}, (5, +∞).

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Легко видеть, что числовое множество А можно записать, комбинируя любые из перечисленных множеств, а именно: {-2}, (1, 3), {3} и (3, 5). Достаточно будет проверить эти множества на включение их также в множество B, чтобы найти искомое пересечение. Те, которые должны быть включены в множество B и стать элементами пересечения. Давай проверим.

Ясно, что {-2} является частью множества B , поскольку точка с координатой -2 является внутренней точкой отрезка [-4, 3). Интервал (1, 3) и множество {3} также входят в множество B (над интервалом имеется разрыв, а точка с координатой 3 является граничной и не отмечена точками для множества B). Множество (3, 5) не будет элементом пересечения, так как не входит в множество B (над ним нет штриховки). Отмечаем все вышеперечисленное на чертеже:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

В результате искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое запишем следующим образом: {-2}∪(1, 3].

Ответ: А∩В = {-2}∪(1, 3.

В конце статьи мы также обсудим, как решить задачу нахождения пересечения и объединения нескольких множеств (более 2-х). Мы сводим его, как рекомендовалось ранее, к необходимости определить пересечение и объединение первых двух множеств, затем результат, полученный с третьим множеством, и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с той лишь разницей, что проверку на наличие пропусков и наборов, являющихся отдельными числами, нужно производить не на двух, а на всех заданных наборах. Давайте посмотрим на пример.

Пример 5

Исходные данные: множество A = (-∞, 12, B = (-3,25), D = (-∞, 25)ꓴ{40}. Необходимо определить пересечение и объединение данных множеств.

Решение

Показываем заданные числовые множества на координатных линиях и слева от них ставим фигурную скобку, обозначающую пересечение, а также квадратную скобку, обозначающую объединение. Ниже показаны координатные линии со штриховыми граничными точками для числовых наборов:

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора
Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Таким образом, координатная линия представлена ​​следующим набором: (-∞, -3), {-3}, (-3, 12), {12}, (12, 25), {25}, (25, 40), { 40 }, (40, +∞).

Начинаем искать пересечения, проверяя по очереди записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Все три заданных множества включают интервал (-3, 12) и множество {-12}: они станут элементами искомого пересечения. Таким образом, мы получаем: A ∩ B ∩ D = (-3, 12.

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Объединение данных множеств составит множества: (-∞, -3) — элемент множества A; {-3} — элемент множества А; (-3, 12) — элемент множества А; {12} — элемент множества А; (12, 25) элемент множества B; {25} — элемент множества B, а {40} — элемент множества D. Таким образом, мы получаем: A∪B∪D = (-∞, 25 ∪ {40}.

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Ответ: A∩B∩D = (-3, 12</a>; A∪B∪D = (-∞, 25 ∪ {40}.

Обратите также внимание, что требуемое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Это происходит в тех случаях, когда в заданные множества не входят элементы, одновременно принадлежащие всем им.

Пример 6

Исходные данные: А = [-7, 7]; В = {-15}∪[-1]2, 0)∪{5}; D = [-15, -10]∪10, +∞); Е = (0, 27). Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Покажем на координатных линиях исходные множества, а на дополнительной линии проведем граничные точки этих множеств.

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

Отмеченные точки делят числовую прямую на множества: (-∞, -15), {-15}, (-15, -12), {-12}, (-12, -10), {-10}, (-10 , -7), {-7}, (-7, 0), {0}, (0, 5), {5}, (5, 7), {7}, (7, 10), { 10} , (10, 27), {27}, (27, +∞).

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, поэтому пересечение данных множеств является пустым множеством.

Ответ: А ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Множества удобно представлять в виде окружностей, которые называются окружностями Эйлера.

Как идентифицировать пересечение и объединение с помощью изображений числового набора

На рисунке множество пересечений с множествами X и Y окрашено в оранжевый цвет.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word