- Определение
- Значение символа
- Как пишется этот символ пересечения?
- Как быстро запомнить этот знак?
- Как применяется знак ⋂?
- Пример
- Что обозначает знак пересечения наоборот?
- Простейшие случаи
- Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей
- Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств
Определение
Знак креста — это символ, обозначающий пересечение линий, углов, лучей, отрезков, плоскостей и других фигур в геометрии, пересечение множеств в математике (алгебре) и информатике.
Значение символа
Крест. Математические операторы.
Символ «Пересечение» был утвержден как часть Unicode версии 1.1 в 1993 году.
Техническая информация Свойства Кодировка
Имя в Юникоде | Крест |
Юникод номер | U+2229 |
HTML-код | ∩ |
CSS-код | 2229 |
Мнемотехника | ∩ |
Части Юникода | Математические операторы |
Юникод версия | 1.1 (1993) |
Версия | 1.1 |
Блокировать | Математические операторы |
Тип кронштейна парного зеркала (биди) | Нет |
Исключение состава | Нет |
Изменение регистра | 2229 |
Простое изменение регистра | 2229 |
UTF-8 | Е2 88 А9 | 226 136 169 | 14846121 | 11100010 10001000 10101001 |
УТФ-16ВЕ | 22 29 | 34 41 | 8745 | 00100010 00101001 |
UTF-16LE | 29 22 | 41 34 | 10530 | 00101001 00100010 |
УТФ-32ВЕ | 00 00 22 29 | 0 0 34 41 | 8745 | 00000000 00000000 00100010 00101001 |
UTF-32LE | 29 22 00 00 | 41 34 0 0 | 690094080 | 00101001 00100010 00000000 00000000 |
Как пишется этот символ пересечения?
Этот знак выглядит и пишется так – ⋂
Его достаточно легко запомнить, он похож на русскую букву «П», начальную букву слова «крест».
Как быстро запомнить этот знак?
Только представьте и запомните, что этот символ похож на букву «П» и похож на перевернутую подкову.
Как применяется знак ⋂?
Он используется для обозначения пересечения прямых, углов, лучей, отрезков в геометрии, пересечения множеств в математике (алгебре) и информатике.
Пример
A ∩ C = ∅ — 2 луча или (2 прямые, 2 отрезка) A и C не пересекаются.
Читайте также: Как перевести промилле: в процент, десятичную дробь, таблица соответствия
Что обозначает знак пересечения наоборот?
Этот символ выглядит и пишется так: ∪
Обозначается термином – «ассоциация».
Простейшие случаи
Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемом предмете, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих собой множество отдельных чисел. В таких случаях будет достаточно использовать определение пересечения и объединения множеств.
Определение 1
Объединение двух множеств — это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.
Пересечение множеств — это множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.
Из этих определений логически вытекают следующие правила:
— для составления объединения двух числовых множеств с конечным числом элементов необходимо выписать все элементы одного множества и добавить к ним недостающие элементы из другого множества;
— для пересечения двух числовых множеств необходимо поочередно проверять элементы первого множества на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими к обоим наборам, и составят крест.
В множество, полученное по первому правилу, будут входить все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е объединение этих множеств по определению.
Множество, полученное по второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т е будет пересечением исходных множеств.
Рассмотрим использование полученных правил на практических примерах.
Пример 1
Исходные данные: числовые наборы A = {3, 5, 7, 12} и B = {2, 5, 8, 11, 12, 13}. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.
Решение
- Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, например, в набор А: 3, 5, 7, 12. Добавим недостающие элементы в набор В: 2, 8, 11 и 13. Наконец, у нас есть числовой набор: {3, 5 , 7, 12, 2, 8, 11, 13}. Упорядочим элементы получившегося множества и получим искомое объединение: А∪B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}.
- Определим пересечение исходных множеств. По правилу пройдемся по всем элементам первого множества А и проверим, входят ли они в множество В. Рассмотрим первый элемент — число 3: он не принадлежит множеству В, а значит он не будет элементом в желаемом пересечении. Проверим второй элемент множества A, т.е число 5: он принадлежит множеству B, а значит, будет первым элементом искомого пересечения.
- Третий элемент множества A — это число 7. Он не является элементом множества B и, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A: число 1. Он также принадлежит множеству B и, следовательно, станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств есть множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12, т е. A ∩ B = {5, 12}.
Ответ: объединение исходных множеств — А∪B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}; пересечение исходных множеств — А∩В = {5, 12}.
Все сказанное относится к работе с двумя наборами. В случае нахождения пересечения и объединения трех и более множеств решение этой задачи сводится к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Чтобы определить, например, пересечение трех множеств A, B и C, можно сначала определить пересечение A и B, а затем найти пересечение полученного результата с множеством C. В примере это выглядит так: пусть даны числовые множества: A = {3, 9, 4, 3, 5, 21}, B = {2,7, 9, 21} и C = {7, 9, 1, 3}. Пересечение первых двух множеств будет: A ∩ B = {9, 21}, а пересечение полученного множества с множеством A ∩ B = {9, 21}. В результате: A∩B∩C = {9}.
Но на практике для нахождения объединения и пересечения трех и более простых числовых множеств, состоящих из ограниченного числа отдельных чисел, удобнее пользоваться правилами, подобными указанным выше.
То есть для нахождения объединения трех и более множеств заданного типа необходимо добавить недостающие элементы второго множества к элементам первого множества, затем недостающие элементы третьего множества и так далее, 3}, С = {1, 3, 4, 5}. К элементам первого множества А добавятся число 3 из множества В, а затем недостающие числа 4 и 5 из множества С. Таким образом, объединение исходных множеств примет вид: А∪В∪С = {1 , 2, 3, 4 , 5}.
При решении задачи нахождения пересечения трех и более числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, необходимо последовательно перебрать числа первого множества и шаг за шагом проверять, соответствует ли рассматриваемое число принадлежит каждому из оставшихся наборов. Для пояснения рассмотрим числовые наборы:
А = {3, 1, 7, 12, 5, 2} В = {1, 0, 2, 12} С = {7, 11, 2, 1, 6} D = {1, 7, 15, 8, 2, 6}.
Найдите пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет наименьшее количество элементов, поэтому мы проверим их, чтобы увидеть, входят ли они в остальные множества. Число 1 в наборе B является элементом другого набора и, следовательно, является первым элементом в желаемом пересечении. Второе число множества B — число 0 — не является элементом множества A и, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 в множестве B является элементом других множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B, число 12, не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, мы получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = {1, 2}.
Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей
Отмечаем произвольную точку на координатной линии, например, координатой -5,4. Указанная точка разделит координатную прямую на два числовых интервала — два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и саму точку. Легко видеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (-∞, -5.4)∪ {-5.4} ∪(-5.4, +∞). Множество всех действительных чисел R = (-∞; +∞) можно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет набором всех действительных чисел.
Заметим, что данную точку можно присоединить к любому из открытых лучей, тогда это будет простой числовой луч (-∞, -5,4 или -5,4, +∞). В этом случае множество R будет описываться следующими объединениями: (-∞, -5,4 ∪ (-5,4, +∞) или (-∞, -5,4) ∪ [-5,4, +∞)..
Такое рассуждение справедливо не только по отношению к точке на координатной прямой, но и по отношению к точке на любом числовом интервале. То есть, если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного интервала, то ее можно будет представить как объединение частей, полученных после деления на данную точку, и самой точки. Например, даны полуинтервал (7, 32] и точка 13, принадлежащая этому числовому интервалу.
Тогда данный полуинтервал можно представить в виде объединения (7, 13) ∪ {13} ∪ (13, 32 и наоборот наоборот, число 13 можно включить в любой из интервалов, и тогда заданное множество (7, 32 можно представить в виде (7, 13 ∪ (13, [32] или (7, 13 ∪ (13) , 32) Можно также взять за исходные данные не внутреннюю точку данного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда данный полуинтервал можно представить как объединение интервала (7 , 32) и одноэлементное множество {32} Таким образом: (7 , 32 = (7, 32) ∪ {32}.
Другой вариант: когда на координатной прямой или числовом интервале берется не одна, а несколько точек. Эти точки будут делить координатную прямую или числовой интервал на несколько числовых интервалов, а объединение этих интервалов образует исходные множества. Например, на координатной прямой заданы точки с координатами -6, 0, 8, которые будут делить ее на интервалы: (-∞, -6), (-6,0), (0, 8), (8, +∞). В этом случае множество всех действительных чисел, олицетворением которых является координатная линия, может быть представлено как объединение полученных интервалов и заданных чисел:
(-∞, -6) ∪ {-6} ∪(-6,0) ∪ {0} ∪ (0, 8) ∪ {8} ∪ (8, +∞).
Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств
Четко разобраться в теме нахождения пересечения и объединения множеств можно, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только мы не говорим о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).
Мы рассмотрим общий подход, позволяющий определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Мы будем рассматривать шаги постепенно, каждый раз предоставляя следующий шаг для решения конкретного примера.
Пример 2
Исходные данные: даны числовые множества A = (7, +∞) и B = -3, +∞). Необходимо найти пересечение и объединение этих множеств.
Решение
- Нанесем заданные числовые наборы на координатные линии. Они должны располагаться друг над другом. Для простоты принято считать, что опорные точки заданных множеств совпадают, а положение точек относительно друг друга остается неизменным: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Также, если нас интересует объединение множеств, то координатные линии слева объединяются квадратной скобкой множества; если пересечение представляет интерес, то фигурной скобкой системы.
В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых наборов у нас есть:
и
Давайте нарисуем еще одну координатную линию и поместим ее ниже существующих. Необходимо будет показать желаемое пересечение или объединение. На этой координатной линии отмечены все граничные точки исходных числовых наборов: сначала штрихами, а в дальнейшем, после выяснения характера точек с этими координатами, штрихи будут заменены пунктирными или непунктирными точками. В нашем примере это точки с координатами -3 и 7.
Мы получаем:
и
Точки, появившиеся на нижней координатной линии на предыдущем шаге алгоритма, позволяют рассматривать координатную линию как набор числовых интервалов и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере мы представляем координатную линию как набор из пяти числовых наборов: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞).
Теперь необходимо по очереди проверить, принадлежит ли каждое из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Полученные выводы поэтапно отмечают на нижней координатной линии: когда разрыв является частью креста или соединения, над ним проводят штриховку. Когда точка входит в пересечение или объединение, штрих заменяется полной точкой; если точка не является частью пересечения или объединения, она делается пунктирной. В этих действиях необходимо соблюдать следующие правила:
— разрыв становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества А и множества В (или, другими словами, если над этим разрывом есть разрыв на обеих координатных линиях, представляющих множества А и В);
— точка становится частью пересечения, если она одновременно является частью каждого из множеств А и В (другими словами, если точка не является пунктирной или внутренней точкой в каком-либо интервале обоих числовых множеств А и В);
— пробел становится частью объединения, если он входит в состав хотя бы одного из множеств А или В (другими словами, если выше этого пробела есть пробел хотя бы на одной из координатных прямых, представляющих множества А и В.
— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств А и В (иными словами, точка является непунктирной или внутренней точкой в любом интервале хотя бы одного из множеств А и В).
Краткое содержание: пересечение числовых множеств А и В есть пересечение всех числовых пропусков в множествах А и В, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих как множеству А, так и множеству B Объединение числовых множеств A и B — это объединение всех числовых пропусков, над которыми имеется штриховка хотя бы для одного из множеств A или B, а также всех отдельных точек без точек.
- Вернемся к примеру и определим пересечение заданных множеств. Для этого последовательно проверяйте множества: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞). Начнем с множества (-∞, -3) и четко обозначим его на чертеже:
Этот разрыв не будет включен в пересечение, поскольку он не является частью ни множества A, ни множества B (без заливки). Так что наш рисунок сохраняет свой первоначальный вид:
Рассмотрим следующий набор {-3}. Число -3 является частью множества B (точка без точек), но не является частью множества A, и поэтому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной линии делаем точку с координатой -3 пробитой:
Оценим следующий набор (-3, 7).
Она является частью множества Б (на интервале есть штриховка), но не входит в множество А (на интервале нет штриховки): не войдет в искомое пересечение, а значит, и новых меток не будет на ней появится нижняя координатная линия:
Следующий набор для проверки — {7}. Он является частью множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой в интервале -3, +∞)), но не является частью множества A (пунктирная точка), и поэтому рассматриваемый интервал не станет часть желаемого пересечения.. Отметьте точку с координатой 7 как выбитую:
И, наконец, проверяем оставшийся интервал (7, +∞).
Промежуток входит в оба набора А и В (над промежутком есть штриховка), поэтому он становится частью пересечения. Штрихуем где-то над рассматриваемым интервалом:
В итоге на нижней координатной прямой формировался образ искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, это множество всех действительных чисел больше 7, то есть: A∩B = (7, +∞).
- Следующим шагом является определение объединения заданных множеств A и B. Последовательно проверяем множества (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞), чтобы определить, включены ли они в желаемую ассоциацию.
Первое множество (-∞, -3) не входит ни в одно из исходных множеств A и B (штрихов над отверстиями нет), поэтому множество (-∞, -3) не войдет в искомое объединение:
Множество {-3} входит в множество B, а значит, будет включено в искомое объединение множеств A и B:
Множество (-3, 7) является компонентом множества B (это штриховка над интервалом) и становится элементом объединения множеств A и B:
Набор 7 входит в числовой набор B, поэтому он также будет включен в нужную ассоциацию:
Множество (7, +∞), являющееся одновременно элементом обоих множеств A и B, становится другой частью искомого объединения:
По конечному образу объединения исходных множеств A и B получаем: A ∩ B = -3, +∞).
Имея некоторый практический опыт использования правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко выполняются устно, что позволяет быстро записать окончательный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без подробных пояснений.
Пример 3
Исходные данные: установить A =(-∞,-15)∪{-5}∪0, 7)∪{12} и B =(-20,-10)∪{-5}∪(2, 3)∪ {17}. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.
Решение
Отметим заданные числовые множества на координатных линиях, чтобы получить иллюстрацию искомого пересечения и объединения:
Ответ: A∩B = (-20,-15)∪{-5}∪(2, 3); А∪В = (-∞,-10)∪{-5}∪[0, 7]∪{12, 17}.
Также ясно, что при достаточном понимании процесса можно подвергнуть указанный алгоритм оптимизации. Например, в процессе нахождения пересечения нельзя тратить время на проверку всех интервалов и наборов, являющихся отдельными числами, а ограничиться рассмотрением только тех интервалов и чисел, которые составляют множество А или В. Другие интервалы не будут входит в пересечение в любом случае, т е. Til не входит в состав исходных множеств. Проиллюстрируем сказанное выше практическим примером.
Пример 4
Исходные данные: установите A = {-2}∪[1, 5] и B = [-4, 3].
Необходимо определить пересечение исходных множеств.
Решение
Геометрически представим числовые множества A и B:
Граничные точки исходных множеств разделят числовую прямую на несколько множеств:
(-∞, -4), {-4}, (-4, -2), {-2}, (-2, -1), {1}, (1, 3), {3}, (3 , 5), {5}, (5, +∞).
Легко видеть, что числовое множество А можно записать, комбинируя любые из перечисленных множеств, а именно: {-2}, (1, 3), {3} и (3, 5). Достаточно будет проверить эти множества на включение их также в множество B, чтобы найти искомое пересечение. Те, которые должны быть включены в множество B и стать элементами пересечения. Давай проверим.
Ясно, что {-2} является частью множества B , поскольку точка с координатой -2 является внутренней точкой отрезка [-4, 3). Интервал (1, 3) и множество {3} также входят в множество B (над интервалом имеется разрыв, а точка с координатой 3 является граничной и не отмечена точками для множества B). Множество (3, 5) не будет элементом пересечения, так как не входит в множество B (над ним нет штриховки). Отмечаем все вышеперечисленное на чертеже:
В результате искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое запишем следующим образом: {-2}∪(1, 3].
Ответ: А∩В = {-2}∪(1, 3.
В конце статьи мы также обсудим, как решить задачу нахождения пересечения и объединения нескольких множеств (более 2-х). Мы сводим его, как рекомендовалось ранее, к необходимости определить пересечение и объединение первых двух множеств, затем результат, полученный с третьим множеством, и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с той лишь разницей, что проверку на наличие пропусков и наборов, являющихся отдельными числами, нужно производить не на двух, а на всех заданных наборах. Давайте посмотрим на пример.
Пример 5
Исходные данные: множество A = (-∞, 12, B = (-3,25), D = (-∞, 25)ꓴ{40}. Необходимо определить пересечение и объединение данных множеств.
Решение
Показываем заданные числовые множества на координатных линиях и слева от них ставим фигурную скобку, обозначающую пересечение, а также квадратную скобку, обозначающую объединение. Ниже показаны координатные линии со штриховыми граничными точками для числовых наборов:
Таким образом, координатная линия представлена следующим набором: (-∞, -3), {-3}, (-3, 12), {12}, (12, 25), {25}, (25, 40), { 40 }, (40, +∞).
Начинаем искать пересечения, проверяя по очереди записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Все три заданных множества включают интервал (-3, 12) и множество {-12}: они станут элементами искомого пересечения. Таким образом, мы получаем: A ∩ B ∩ D = (-3, 12.
Объединение данных множеств составит множества: (-∞, -3) — элемент множества A; {-3} — элемент множества А; (-3, 12) — элемент множества А; {12} — элемент множества А; (12, 25) элемент множества B; {25} — элемент множества B, а {40} — элемент множества D. Таким образом, мы получаем: A∪B∪D = (-∞, 25 ∪ {40}.
Ответ: A∩B∩D = (-3, 12</a>; A∪B∪D = (-∞, 25 ∪ {40}.
Обратите также внимание, что требуемое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Это происходит в тех случаях, когда в заданные множества не входят элементы, одновременно принадлежащие всем им.
Пример 6
Исходные данные: А = [-7, 7]; В = {-15}∪[-1]2, 0)∪{5}; D = [-15, -10]∪10, +∞); Е = (0, 27). Определить пересечение заданных множеств.
Решение
Покажем на координатных линиях исходные множества, а на дополнительной линии проведем граничные точки этих множеств.
Отмеченные точки делят числовую прямую на множества: (-∞, -15), {-15}, (-15, -12), {-12}, (-12, -10), {-10}, (-10 , -7), {-7}, (-7, 0), {0}, (0, 5), {5}, (5, 7), {7}, (7, 10), { 10} , (10, 27), {27}, (27, +∞).
Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, поэтому пересечение данных множеств является пустым множеством.
Ответ: А ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.
Множества удобно представлять в виде окружностей, которые называются окружностями Эйлера.
На рисунке множество пересечений с множествами X и Y окрашено в оранжевый цвет.