Формулы степеней и корней

Основные понятия

Степень числа с натуральным показателем является результатом умножения числа само на себя. Само число называется основанием степени, а количество операций умножения – показателем степени.

• an = a × a × … × a, где a — основание степени,
• n — натуральный показатель.

Запись читается как «а» в степени «n».

Вот пример для ясности:

• 35 = 3 х 3 х 3 х 3 х 3 = 243

Эту запись можно прочитать тремя способами:

• от 3 до 5 мощности;
• пятая степень трех;
• возведите число три в пятую степень.

Читайте также: 28 дециметров кубических в литры, калькулятор онлайн, конвертер

Правила операций с показателями степени

№1. Умножение полномочий (те же основания)

ан ⋅ ам = ан+м

Пример: 22 ⋅ 23 = 22+3 = 25 = 32

№ 2. Класс продукта

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn

Пример: (2 ⋅ 3)4 = 24 ⋅ 34 = 1296

№3. Распределение мощности (те же основания)

ан / ам = ан-м

Пример: 25 ⋅ 23 = 25-3 = 22 = 4

№ 4. Степень частного

(а/б)п = ан/бн

Пример: (12/4)3 = 123/43 = 27

№ 5. Возведение в степень

(а) м = а м

Пример: (52)3 = 52 3 = 3125

№ 6. Мощность возведена в степень

анм = а(нм)

Пример: 242 = 2(42) = 2(4 4) = 2(16) = 65536

№ 7. Чтобы извлечь степень из числа в степень

м √ (ан) = ан / м

Пример: 3√(26) = 26/3 = 22 = 2⋅2 = 4

№8. Возведение в отрицательную степень

млрд = 1 / миллиард

Пример: 2-4 = 1/24 = 1/(2⋅2⋅2⋅2) = 1/16 = 0,0625

№ 9. Числа в нулевой степени

а0 = 1

Пример: 100 = 1

№10. Возводит ноль в степень

0n = 0, при n>0

Пример: 07 = 0

#одиннадцать. Число в первой степени

а1 = а

Пример: 151 = 15

№ 12. Единица степени (любая)

1п = 1

Пример: 120 = 1

№1. 3. Минус один к мощности

(-1)n = 1, если n четное число

(-1)n = -1, если n нечетное число

Пример: (-1)6 = 1

№ 14. Возведение числа в дробную степень (в числителе — единица)

а1/п = п√а

Пример: 271/3 = 3√27 = 3

Формулы степеней.

1.а0 = 1; (а ≠ 0);

2 ал = а;

3 ан · ам = ан + т — произведение степеней;

4. (an)m = anm — возведение в степень;

5 anbn = (ab)n — произведение степеней;

6 один =
— деление степеней;

7.
— деление степеней;

8 а1/н = <br>;

Формулы преобразования корней.

Свойства степеней

Текущие свойства часто используются для сокращения или упрощения сложных примеров. Удобно использовать вместе с таблицей мощности и таблицей умножения.

а1 = а а0 = 1 (а ≠ 0) а-п = 1 : ан ам × ан = ам+п am : an = am-n (а × b)n = ан × bn (ам) п = ам × п (a : b)n = an : миллиард

Свойства степеней с натуральным показателем

• Основное свойство степени, или свойство произведения степеней, используется при умножении двух степеней m и n, имеющих одно и то же основание а. Это свойство можно применить и к произведению трех и более степеней. То есть, если, например, мы хотим возвести число 5 в степень 2 и умножить его на число 5 в степени 6, то нам нужно только сложить степени, и мы получим 5 в степени 8.

а ^ м ⋅ а ^ п = а ^ (м + п)

Пример: 5^2⋅5^6=5^8

• Свойство частичных степеней используется при делении степеней m и n на одно и то же основание а. В результате основание остается прежним, а показатель степени в знаменателе вычитается из показателя степени в числителе. Например, возьмем число 15 в девятой степени и разделим его на 15 в третьей степени. Чтобы не заниматься долгими вычислениями, воспользуемся свойством частного и вычтем из степени 9 степень 3, так что получим 15 в шестой степени.

а ^ м: а ^ п = а ^ (м-п)

Пример: 15^9:15^3=15^6

• Свойство возведения степени в степень заключается в умножении степеней при неизменном основании. Здесь все просто и логично: у нас есть некое число, возведенное в 4-ю степень, и нам нужно все это возвести в третью степень. Используя свойство, получаем единицу в двенадцатой степени.

(а^м)^п=а^(м⋅п)

Пример: (а^4)^3=а^12

РекламаРеклама

Не каждый студент может позволить себе платить 100 000 ₽ за семестр в вузе. Но здорово, что есть стипендии на учебу. Грант-в-университет.рф – это возможность учиться на желаемой специальности. По ссылке все желающие получат бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽-грант вуза рф

• При использовании свойства степени произведения каждый множитель возводится в степень и результаты перемножаются между собой. Это свойство также можно использовать справа налево.

(аб)^п = а^пб^п

Пример: (3 4)^5=3^5 4^5

• Используя свойство натуральной степени, и делимое, и делитель возводятся в степень, а полученный числитель делится на знаменатель.

(а : б) ^ п = а ^ п : б ^ п

Пример: (2 : 7)^6=2^6 : 7^6

• Свойства для сравнения степени с нулем:

1. если a>0, то для любого натурального n a^n>0. Возьмем a равным 6 и n равным натуральному числу 2, поэтому 6 в степени 2 будет больше нуля;
2. для а=0, а^п=0;
3. если a<0, а показатель степени — четное число 2·m, то a^(2⋅m)>0. Например, а = 3, m = 1, из степени делаем четное число (умножаем 2 на 1). По этому свойству мы получаем, что 3 в степени 2 больше нуля;
4. если a <0, а показатель степени — нечетное число 2⋅m−1, то a^(2⋅m−1)>0.

Степень с отрицательным показателем

Если нам нужно возвести число а в отрицательную степень n, мы делим 1 на число той же степени, только положительной. Если знаменатель дроби стоит в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени. Другими словами, когда показатель степени отрицательный, выражение меняется на противоположное.

Свойства степеней с целыми показателями

Здесь все просто: для степеней с целыми положительными показателями свойства будут такими же, как и перечисленные выше, так как эти показатели будут натуральными. Те же свойства применимы к отрицательным и нулевым показателям. Важное замечание: основание не должно быть равно 0.

Свойства степеней с рациональными и иррациональными показателями

Они будут такими же, как свойства для степеней с целыми показателями. Но здесь нужно соблюдать одно правило: основание таких степеней должно быть больше нуля.

 

Таблица степеней от 1 до 10

Power table — это список чисел от 1 до 10, возведенных в степень от 1 до 10. Ниже приведены два типа таблиц: выберите ту, которая лучше всего подходит для вас, загрузите ее на свой телефон или распечатайте и положите в свою учебник.

Вот как найти нужные значения в этой таблице:

• В первом столбце находим число, обозначающее степень. Давайте запомним этот номер строки.
• В первой строке находим показатель степени. Давайте вспомним найденный столбец.
• На пересечении строки и столбца находится ответ.

В этой табличке мы просто ищем нужную нам цифру в степени и получаем ответ.

А если вам нужен ответ как можно быстрее, вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором градусов.

Решение задач

Упражнение 1. Упростите и решите выражение 52 × 53.

Как мы решаем:

52 × 53 = 52+3 = 55 = 3125

Упражнение 2. Упростите и решите выражение 24 × 33 × 25.

Как мы решаем:

24 х 33 х 25 = 24+5 х 33 = 29 х 33 = 512 х 27 = 13824

Упражнение 3. Найдите 364.

Как мы решаем:

Предполагая, что у нас есть таблица только до 10, мы учитываем основу степени:

364 = 64 х 64 = 1296 х 1296 = 1679616

364 = 64 × 64 = 68 = 1679616