Квадрат

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника справедливы и для квадрата.

Признаки квадрата

Квадрат будет квадратом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Все стороны равны и между внутренними углами есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Квадрат обладает вращательной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Свойства квадрата

Свойство 1

Диагонали квадрата равны, расположены под прямым углом друг к другу, в точке пересечения делятся надвое.

• AC = BD = d (диагональ)
• AE=EC=BE=ED
• ∠AEB = ∠AED = ∠BEC = ∠CED = 90°

Свойство 2

Диагонали квадрата — это биссектрисы углов. Для рисунка выше:

• BD — биссектриса углов ABC и ADC, поэтому ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = ∠BDC
• AC — биссектриса углов BAD и BCD, поэтому ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD

Свойство 3

Центр окружностей, описанных вокруг и вписанных в квадрат, является точкой пересечения диагоналей (в нашем случае — Е).

В этом случае радиусы окружностей можно вычислить через длину стороны или диагонали квадрата:

Здесь:

• R — радиус описанной окружности;
• r — радиус вписанной окружности;
• а — длина стороны квадрата;
• d — длина диагонали квадрата.

Один радиус также может быть выражен через другой:

Свойство 4

Зная длину стороны или диагонали квадрата, можно найти его площадь или периметр.

Периметр (P) квадрата по стороне:

П = а + а + а + а = 4 ⋅ а

Периметр (P) квадрата по диагонали:

Площадь (S) квадрата по стороне:

П = а ⋅ а = а2

Площадь (S) квадрата по диагонали:

Описанная окружность

Круг можно описать вокруг квадрата. Сторона и радиус окружности связаны соотношением:

Вписанная окружность

Круг можно вписать в квадрат. Радиус вписанной окружности и сторона квадрата связаны соотношением:

Площадь квадрата

Читайте также: Что такое кВА и почему мощность трансформаторов не указывается в кВт

Диагональ квадрата.

Диагональ квадрата — это любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ квадрата в √2 раза больше стороны этого квадрата.

Формулы для определения длины диагонали квадрата:

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

4. Сумма углов квадрата = 360°:

5. Диагонали квадрата одинаковой длины:

6. Все диагонали в квадрате делят квадрат на 2 равные фигуры, которые симметричны:

7. Угол пересечения диагоналей квадрата 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

R — радиус вписанной окружности;

D — диаметр вписанной окружности;

d — диагональ квадрата.

10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

R — радиус описанной окружности;

D — диаметр описанной окружности;

д — диагональ.

11. Формула диагонали квадрата через линию, выходящую из угла к середине стороны квадрата:

С – линия, выходящая из угла к центру стороны квадрата;

д — диагональ.

Периметр квадрата. Квадратная площадь.

Вписанная в квадрат окружность — это окружность, примыкающая к серединам сторон квадрата и имеющая центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанного круга равен стороне квадрата (половине).

Площадь круга, вписанного в квадрат, в π/4 раза меньше площади квадрата.

Окружность, описанная вокруг квадрата, — это окружность, проходящая через 4 вершины квадрата и имеющая центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, в √2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен 1/2 диагонали.

Площадь круга, описанного около квадрата, в π/2 раза больше площади того же квадрата.

Центр квадрата

Центр квадрата находится на пересечении диагоналей квадрата.

Центром правильного многоугольника является точка О, равноудаленная от всех сторон. В квадрате диагонали равны, а точка пересечения делится пополам, поэтому:

Отсюда следует, что точка O равноудалена от всех углов квадрата.

О — центр квадрата

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

На рис. 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула для вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата а=21. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса отброшенной окружности воспользуемся формулой (3). Подставив a=21 в (3), получим:

Отвечать:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) находим а. Получаем формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен r=12. Найдите сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получаем:

Отвечать:

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, описанной вокруг квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через а сторону квадрата, а через R радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Проведем диагональ BD (рис.4). Треугольник ABD прямоугольный. Итак, по теореме Пифагора имеем:

или

(5)

Из формулы (5) находим R:

(6)

или умножьте числитель и знаменатель на
, мы получаем:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата а=4,5. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг квадрата, воспользуемся формулой (7). Подставив a=4,5 в (7), получим:

Отвечать:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу для вычисления стороны квадрата через радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим ai в виде R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен
Найдите сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Заменять
в (8) получаем:

Отвечать:

Периметр квадрата

Периметр квадрата — это сумма всех сторон. Окружность обозначается латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, периметр квадрата вычисляется по формуле:

(9)

где
— сторона квадрата.

Пример 6. Сторона четырехугольника равна
. Найдите периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Заменять
в (9) получаем:

Отвечать: