Наименьшее общее кратное (НОК) — что это, как найти, примеры нахождения

Кратное число — это…

Деление — это математическая операция, с помощью которой можно узнать, сколько частей одной вещи содержится в другой. Или, другими словами, замена многократного вычитания из одного числа другим.

Операция деления в математике может обозначаться разными значками. Это двоеточие (:), косая черта (/), горизонтальная черта (-) или специальный значок под названием «обелус» (÷).

А номера, участвующие в разделении, имеют определенные названия:

1. Делимое — это число, которое нужно разделить;
2. Делитель – это число, на которое нужно разделить делимое. Следовательно, делитель часто меньше делимого. Хотя не исключен и другой вариант. Единственное число, которое не может быть делителем, это ноль.
3. Частное – это результат деления, то есть число, полученное в результате выполнения математической операции.

Частное, которое получается полным или неполным. Первый вариант — это когда число делимого было полностью разделено на делитель. Например, 12/3=4. Но есть варианты с неполным частным, когда появляется определенный остаток. Например, 14/3 = 4 (2), где 4 — неполное частное, а 2 — остаток.

Почему мы так подробно говорим об обмене? Это имеет прямое отношение к теме статьи.

Число называется кратным другому, если оно делится на него без остатка.

Но мы говорим только о натуральных числах. То есть те, которые мы используем для счета в повседневной жизни. Например 1, 2, 5, 10, 35, 100 и так далее. В то же время дробные числа (например, 2/5 или 0,5) не относятся к натуральным числам, а значит, к ним не применяется понятие «кратность.

Например, возьмем число 12. Оно может быть кратно нескольким числам одновременно.

12/3 = 4
12/4 = 3
12/6 = 2
12/2 = 6

Таким образом, мы можем сказать, что 12 кратно 2, 3, 4 и 6. Точно так же вы можете разложить любое число по кратности.

Внимательный читатель может возразить, что есть еще два числа, на которые 12 можно разделить без остатка. Во-первых, это сами 12. А во-вторых, это единица. Что ж, это абсолютно верно, и это можно даже записать в виде математического правила:

Каждое натуральное число всегда кратно самому себе и единице. В первом случае получается единица, а во втором — само число.

Делимость

Прежде чем мы начнем анализировать эти две аббревиатуры, сначала рассмотрим понятие делимости. Что означает выражение «число А делится на число В»? Например, 24 делится на 6. А что значит «не делится»? Например, 27 не делится на 2.

Когда мы говорим о делимости, мы говорим о целочисленном делении целых чисел. А делимость означает, что число делится на делитель полностью, без остатка.

24 делится на 6, частное равно 4, а остаток равен нулю.

27 не делится на 2, частное равно 13, а остаток равен единице.

Апельсин делится на количество долек Апельсин делится на количество долек

Читайте также: Калькулятор перевода кВт в л

Признаки делимости

Вы можете проверить, делится ли число на заданное число, просто выполнив деление. А если число большое, а сам результат деления нам не так уж и нужен? Можно ли определить, делится ли число, не находя частного?

Существует несколько признаков делимости, когда по внешнему виду числа мы можем определить, делится ли оно на данное число. Рассмотрим лишь некоторые из них, те, которые легко проверить.

После последней цифры

Число делится на 2, если последняя цифра четная.

Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.

Число делится на 10, если последняя цифра 0.

Например, 234 делится на 2, потому что 4 — четное число.

235 делится на 5, потому что последняя цифра 5.

190 делится на 10 и 5, потому что последняя цифра 0.

По сумме цифр

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например, 393 делится на 3, потому что сумма цифр 3+9+3=15 делится на 3.

180 делится на 9, потому что сумма цифр 1+8+0=9 делится на 9.

Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3 одновременно.

Например, 36 делится на 2 (6 четно) и на 3 (3+6=9 делится на 3), поэтому оно делится на 6.

Простые и составные числа

Среди натуральных чисел есть такие числа, которые делятся только на 1 и сами на себя. Такие числа называются простыми числами. Другие числа, имеющие более двух делителей, называются составными числами. Присвойте 1 отдельно, у него всего один делитель.

Примером простого числа является 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. Существуют специальные таблицы простых чисел, но многие проблемы с простыми числами до сих пор не решены.

Простые множители

Для составных чисел можно найти такие множители, которые будут только простыми числами, а произведение этих множителей будет равно исходному числу.

Например, 24=2*2*2*3.

Это произведение называется простой факторизацией. Если факторы отсортированы по возрастанию, это разложение будет уникальным для каждого конкретного числа.

Существует четкий алгоритм построения такой декомпозиции.

1. Пишем исходное число в левый столбец, проводим вертикальную черту, отделяем правый столбец.
2. Проверяем, делится ли число на 2. Если да, то в правом столбце пишем 2, в левом столбце в следующей строке пишем кратное исходному числу и 2.
3. Проверяем, делится ли полученное число на 2, и в этом случае поступаем, как в п. 2.
4. Если нет, то проверяем, делится ли наше число на 3. Если да, то в правый столбец пишем 3, а в левый столбец пишем кратное делению на 3 в левый столбец и переходим к шагу 3.
5. Если число не делится на 3, перейти к следующему числу в списке простых чисел — 5.
6. Каждый раз мы начинаем проверку делимости с 2 и постепенно переходим ко все большим и большим простым числам, если это необходимо.
7. Так мы торгуем до тех пор, пока число в левом столбце не станет равным 1. Затем мы останавливаемся.
8. В правом столбце мы записали все простые множители числа.

Блок-схема алгоритма Пример разложения на простые множители. 84 делится на 2, в правую колонку пишем 2, в левую пишем кратное — 42. Проверяем, делится ли 42 на 2. И так далее, пока в левой колонке не получим 1.

Самые большие общие части

НОД, или наибольший общий делитель кратных чисел, — это наибольшее число, на которое делятся все эти числа.

Например, gcd(12, 18)=6.

Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОД. Выводим совпадающие множители, их произведение даст нам НОД.

Наименьший общий множитель

НОК, или наименьшее общее кратное нескольких чисел, — это наименьшее число, которое делится на все эти числа.

Например, НОК(4, 6)=12.

Когда вы знаете разложение чисел на простые множители, найти их НОК несложно. Добавляем множители, не совпадающие с множителями меньшего числа. Этот продукт даст нам NOC.

Найти НОД и НОК чисел 60 и 75, узнать их факторизацию Найти НОД и НОК чисел 60 и 75, узнать их факторизацию

Взаимопростые числа

Если два составных числа не имеют общего простого числа, то такие числа называются взаимно простыми. НОК таких чисел равен их произведению, а НОД равен 1.

5313

Таблицы чисел кратных 2,3,4,5,6,7,9

Сначала рассмотрим самый простой вариант. Это числа, кратные двум. Определить их довольно легко, так как к ним относятся все четные числа. Вот, например, как выглядит таблица от 1 до 100.

А вот так будет выглядеть таблица чисел, кратных трем. Обратите внимание, что все они заканчиваются по диагонали. Получается очень красиво.

Теперь покажем таблицу чисел, которые можно разделить без остатка на 4. Как видите, это только четные числа.

А вот так выглядит таблица чисел, кратных пяти. Их очень легко запомнить. Числа, кратные пяти, должны оканчиваться либо на 5, либо на 0. Других вариантов быть просто не может.

А если посмотреть на таблицу чисел, кратных 6, то можно сделать интересный вывод. Есть числа, которые никогда не попадут в эту категорию. Они заканчиваются на 1, 3, 5, 7 и 9. Другими словами, только четные числа могут быть кратны 6. Но не все четные числа кратны.

Интересно будет посмотреть на таблицу чисел, кратных 7. Чтобы их определить, нужно спуститься по таблице, как шахматная фигура коня. В народе это называется «буква Г», в нашем случае это «шаг влево и два шага вниз».

И, наконец, интересно рассматривать числа, кратные 9. Их очень легко определить, это своего рода математический лайфхак.

Вам просто нужно сложить все числа в числе, и если сумма равна 9, число кратно девяти.

Да, здесь тоже фигурируют числа 18 и 27. Но при их повторном сложении они тоже дадут девятку.

Определение наименьшего общего кратного

Число b кратно а, если b делится без остатка на а. Произносится как «b кратно а». Обозначается буквой К.

Примеры кратных:

• кратно 3 или K(3): 6, 9, 12,15, 18 и т д
• кратно 7 или K(7): 14, 21, 28, 35, 42 и т д

Может быть бесконечное количество кратных.

Общее кратное двух натуральных чисел — это число, которое без остатка делится на оба этих числа.

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел есть наименьшее общее кратное этих чисел. Называется НОК.

Например, НОК (5, 9) — это наименьшее общее кратное 5 и 9.

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если одно число делится на другое без остатка, оно называется кратным этому числу.

Оказывается, кратное может быть общим для нескольких чисел. А сейчас нас будет интересовать число, кратное двум, и оно должно быть как можно меньше.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, кратное числам a и b, другими словами, это число настолько мало, что делится без остатка на число a и число b.

В определении есть две переменные a и b, заменим этими переменными два произвольных числа. Например, вместо переменной a подставляем число 9, а вместо переменной b подставляем число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, кратное 9 и 12. Другими словами, это число настолько мало, что делится без остатка на 9 и 12.

Из определения видно, что наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и 12. Это наименьшее общее кратное из существующих.

Есть три способа найти наименьшее общее кратное (НОК). Первый способ заключается в том, что вы можете записать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных число, которое будет общим как для чисел, так и для маленьких. Воспользуемся этим методом.

Прежде всего, мы собираемся найти первые кратные числа 9. Чтобы найти кратные 9, вам нужно умножить эти девятки на числа от 1 до 9. Ответы, которые вы получите, будут кратны числу 9.

Итак, начнем. Множественные будут выделены синим цветом:

Теперь находим кратные числа 12. Для этого умножаем число 12 на все числа от 1 до 12 по очереди:

Теперь запишите кратные обоих чисел:

Теперь найдем общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнем их:

Общие кратные 9 и 12 равны 36 и 72. Наименьшее из них равно 36.

Таким образом, наименьшим общим кратным чисел 9 и 12 является число 36. Это число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Как найти НОК?

Есть несколько способов найти NOC. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК путем разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть так:

1. разложить оба числа на простые множители;
2. выбрать одну группу множителей;
3. добавить факторы из второй группы, которых нет в выделенной;
4. найти их работу.

Для двух/небольших чисел

Когда мы имеем дело с двумя числами (или маленькими), процесс нахождения НОК состоит из следующих шагов:

1. Запишем кратные каждого числа в порядке возрастания.
2. Находим первое совпадение в полученном числовом ряду. Это НОК.

Пример
Найдем наименьшее общее кратное чисел 6 и 14.

Решение
Кратные 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 и т д
Кратные 14: 28, 42, 56 и т д

Итак, НОК(6; 14) = 42.

Для нескольких/больших чисел

Этот метод подходит, если мы имеем дело с большими числами или когда нам нужно найти НОК трех и более чисел.

1. Сначала разложим числа на простые числа — простые числа, которые делят число на целое число (их числа у разных чисел тоже могут быть разными). Для простоты начнем с наименьшего значения и закончим наибольшим.
2. Среди факторов меньшего числа находим тот, который не вошел в большее число. Мы делаем то же самое со следующим возрастающим числом/числами.
3. Умножаем большее число на найденные дополнительные множители и получаем НОК.

Пример
Найдем НОК (12, 28, 32).

Решение
Разложим эти числа на простые множители.

Среди множителей меньшего числа (12) число 3 не входит в большее число (32), среди множителей среднего числа (28) число 7 не входит.

Следовательно, НОК равен (12, 28, 32) = 32 ⋅ 3 ⋅ 7 = 672.

Иные случаи

1. Если одно из чисел, для которого требуется найти наименьшее общее кратное, полностью делится на другие числа, то это число НОК.

Например: NOK (20, 40, 80) = 80.

2. НОК относительно простых чисел является произведением этих чисел, поскольку они не имеют общих простых делителей.

Например: НОК (3, 5) = 3 ⋅ 5 = 15.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, затем из этих разложений взять каждый простой множитель с наибольшим показателем и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

99 = 3 3 11 = 32 11,

54 = 2 3 3 3 = 2 33.

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, что означает, что оно должно включать все делители числа 99. Кроме того, НОК также должно делиться на 54, то есть оно также должно включать делители этого числа.

Мы печатаем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем и перемножаем эти множители друг с другом. Получаем следующий продукт:

2 33 11 = 594.

Это наименьшее общее кратное этих чисел. Никакое другое число, меньшее 594, не делится без остатка на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Поскольку взаимно простые числа не имеют одинаковых простых делителей, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 2 3 = 22 3,

49 = 7 7 = 72.

Применив правило к этому случаю, придем к выводу, что взаимно простые числа нужно просто перемножать:

22 3 72 = 12 49 = 588.

Ответ: НОК (12, 49) = 588.

То же самое следует сделать при нахождении наименьшего общего кратного простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение: так как эти числа простые, мы просто их перемножаем:

5 7 13 = 45.

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если наибольшее из заданных чисел делится на все остальные числа, то это число будет наименьшим общим кратным этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 2 2 3 = 23 3,

12 = 2 2 3 = 22 3,

4 = 2 2 = 22.

Видно, что разложение большего числа содержит все делители остальных чисел, а это означает, что наибольшее из этих чисел делится на все остальные числа (включая само себя) и является наименьшим общим кратным:

23 3 = 24.

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равен произведению этих чисел, деленному на их НОД.

Правило в целом:

НОК (m, n) = mn : GCM (m, n)

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение: сначала найти наибольший общий делитель:

НОД (99, 54) = 9.

Теперь мы можем рассчитать НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК из трех и более чисел, используется следующая процедура:

1. Найдите НОК двух заданных чисел.
2. Затем найти наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т.д.
3. Таким образом, поиск LCM продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение: сначала найдите наибольший общий делитель двух из этих чисел, например 12 и 8:

НОД(12, 8) = 4.

Рассчитываем их LCM по формуле:

НОК (12, 8) = 12 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.

Теперь найдем НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

НОД(24, 9) = 3.

Рассчитываем NOC по формуле:

НОК (24, 9) = 24 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа, для которых ищется наименьшее общее кратное, разлагаются на простые множители. Затем выписываются факторы, входящие в первое разложение, и добавляются недостающие факторы из второго разложения. Полученные множители умножаются и получается LCM.

Давайте воспользуемся этим методом для предыдущей задачи. Найдите НОК чисел 9 и 12.

Фактор номер 9

Фактор число 12

Напишем первое расширение:

Теперь добавим факторы из второго расширения, которых нет в первом расширении. В первом расширении нет двух двоек. Добавим их:

Теперь умножаем эти факторы:

Мы получили ответ 36. Значит, наименьшим общим кратным чисел 9 и 12 является число 36. Это число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Проще говоря, речь идет об организации новой декомпозиции, включающей обе декомпозиции одновременно. Расширением первого числа 9 были множители 3 и 3, а расширением второго числа 12 были множители 2, 2 и 3.

Нашей задачей было организовать новую пристройку, которая включала бы в себя пристройку №9 и пристройку №12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и добавили множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В итоге мы получили новое разложение 3×3×2×2. Нетрудно увидеть своими глазами, что оно одновременно включает в себя расширение числа 9 и расширение числа 12

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Фактор номер 50

Фактор число 180

Напишем первое расширение:

Теперь добавим факторы из второго расширения, которых нет в первом расширении. В первом дополнении больше нет двух и двух троек. Добавим их:

Теперь умножаем эти факторы:

Мы получили ответ 900. Значит, наименьшим общим кратным чисел 50 и 180 является число 900. Это число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

NOK (50 и 180) = 900

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Фактор номер 8

Фактор число 15

Фактор число 33

Напишем первое расширение:

Теперь добавим факторы из второго и третьего расширений, которых нет в первом расширении. Добавим множители 3 и 5 из второго расширения и множитель 11 из третьего расширения:

Теперь умножаем эти факторы:

Мы получили ответ 1320. Значит, наименьшим общим кратным чисел 8, 15 и 33 является число 1320. Это число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320:8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320

Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ найти наименьшее общее кратное. Он работает при условии, что ищется два числа и при условии, что наибольший общий делитель этих чисел уже найден.

Этот метод имеет смысл использовать, когда вам нужно найти НОД и НОК двух чисел одновременно.

Например, предположим, что вы хотите найти НОД и НОД чисел 24 и 12. Сначала найдите НОД этих чисел:

Теперь, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 24 и 12, нужно умножить эти два числа и разделить результат на их наибольший общий делитель.

Итак, давайте умножим числа 24 и 12

Разделите полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Мы получили ответ 24. Значит, наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24

Пример 2. Найти НОД и НОД чисел 36 и 48

Найдите НОД чисел 36 и 48

Умножьте числа 36 и 48

Разделите 1728 на общий делитель чисел 36 и 48

У нас получилось 144. Значит, наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти ЛКМ обычным вторым способом, который мы использовали ранее. Если мы все сделали правильно, то должно получиться 144

Не расстраивайтесь, если вы сразу не научитесь находить GCD и NOC. Самое главное — понять, что это такое и как это работает. И ошибки в начале вполне естественны. Как говорится: «На ошибках учатся».

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти LCM 4 и 6

1. Разложим 6 и 4 на простые множители:

6 = 23;

6	2
3	3
1

4 = 22;

4	2
2	2
1

2. Возьмем первую группу факторов: 2 3.

3. Смотрим на вторую группу (2 2) и видим, что из двух двоек одна присутствует в первом разложении. Таким образом, мы берем только одного участника, занявшего второе место. Складываем первое разложение и получаем: 2 3 2

4. Вычислить произведение: 2 3 2 = 12.

Ответ: НОК (6; 4) = 12

Пример 2: найти LCM 32 и 20

1. Разложим числа 32 и 20 на простые множители:

32 = 2 2 2 2 2;

32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
1

20 = 2 2 5;

20	2
10	2
5	5
1

2. Возьмем первую группу множителей: 2 2 2 2 2.

3. Смотрим на вторую группу (2 2 5) и видим, что из двух двоек и пятерок обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, мы берем только пять. Складываем первое разложение и получаем: 2 3 2

4. Вычислите произведение: 2 2 2 2 2 5 = 160.

Ответ: НЦМ (32; 20) = 160