Натуральный логарифм, функция ln x

Определение

Натуральный логарифм — это функция y = ln x, обратная показателю степени, x = ey, и являющаяся логарифмом по основанию e: ln x = logex x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет простейший вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число e:
е≅ 2,718281828459045…;
.

Обозначение натурального логарифма

Существует несколько способов обозначения натурального логарифма:

• п
• лодж

Также можно писать заглавными буквами.

Что такое натуральный логарифм

Понятие натурального логарифма лучше проиллюстрировать на примере. Например, натуральный логарифм числа 2 равен 0,693147180, потому что

е0,693147180 = 2

Здесь e — основание натурального логарифма.

е=2,718281828

Таким образом, натуральный логарифм — это степень, в которую нужно возвести число e, чтобы получить исходное число, тот логарифм, который мы ищем. Вычислить натуральный логарифм несложно, и наш калькулятор поможет вам с расчетом.

Натурального логарифма нуля не существует. Для чисел меньше единицы натуральный логарифм отрицателен.

Таблица натуральных логарифмов некоторых чисел

икс	инкс
1	0
2	0,693147
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.94591
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
100	4.60517
1000	6.907755
10 000	9.21034
100 000	11.51293

Связь с экспоненциальной функцией

Логарифмическая функция ln(x) является обратной экспоненциальной функции, т.е.

Для х > 0,

f (f -1(x)) = eln(x) = x

или

f-1(f(x)) = ln(ex) = x

Читайте также: 12 вольт и 12 ампер: сколько это ватт

Десятичный, натуральный и другие логарифмы

Число А, возведенное в определенную степень, называется основанием логарифма. Самые популярные среди математиков логарифмы — десятичные и натуральные.

Десятичный логарифм — это когда основанием логарифма является число 10. Наша задача в данном случае — найти степень возведения 10, чтобы получить искомое число. Обозначается как lg:

Натуральный логарифм имеет аналогичную структуру, но вместо десяти основанием логарифма является число e, которое приблизительно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число е играет такую ​​же важную роль, как число пи в геометрии, поэтому логарифмирование числа по основанию е часто встречается во многих математических расчетах и ​​доказательствах.

Натуральный логарифм обозначается следующим образом — ln:

Логарифмическая шкала

Если мы возьмем прямую и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то получим арифметическую шкалу. Арифметика — потому что каждая новая отметка считается арифметической операцией — сложением шага и предыдущего значения:

Но если вместо сложения взять логарифм, скажем, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно используется в финансах и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости продукта. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одинаковой — 1 балл.

Но при этом в первом случае цена увеличилась в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае всего на 10%. При логарифмическом масштабе рост цены будет выглядеть логичнее:

График натурального логарифма ln x

График функции y = ln x.

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика показателя степени при зеркальном отражении относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определяется для положительных значений x. Он монотонно возрастает в своей области определения.

При x → 0 предел натурального логарифма равен минус бесконечности (– ∞).

При x → + ∞ предел натурального логарифма равен плюс бесконечности (+ ∞). При больших x логарифм растет довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем a растет быстрее, чем логарифм.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому не имеет экстремумов. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Домен	0 < х + ∞
Диапазон значений	– ∞ < у < + ∞
Монотонный	монотонно возрастает
Ноль, у=0	х=1
Точки пересечения с осью Y, x = 0	нет
	+ ∞
	– ∞

Значения ln x

журнал 1 = 0

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в повседневной жизни мы сталкиваемся с гораздо большим количеством логарифмов, чем кажется. Вот некоторые примеры.

Децибелы, где измеряется относительная громкость любого звука, рассчитываются с использованием десятичного логарифма. Относительный — потому что рассчитывается от минимального порога громкости, который человек может только слышать. Например, если громкость звука 20 децибел, это значит, что он в 100 раз громче самого тихого, а если 30 децибел, то в 1000 раз.

В химии активность ионов водорода также оценивают по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже изменяются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определенное количество раз.

В ракетостроении уравнение Циолковского используется для расчета скорости ракеты. Это уравнение основано на логарифмической зависимости массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Большинство логарифмов можно найти в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы хотим нарисовать это уравнение, оно будет выглядеть так:

Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнухах и капусте. С капустой все же связана еще одна интересная тема — фракталы, но о них мы поговорим в другой раз.

Даже рога горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Что дальше

Теперь мы достаточно знаем о логарифмах, чтобы понять, как они работают. В следующей статье мы напишем простую двухконтурную программу, которая вычислит для нас почти любой логарифм по любому основанию.