Площадь параллелограмма — как ее найти по формуле

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это квадрат, противоположные стороны которого попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали – это линии, соединяющие противоположные углы.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме пересечение диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух соседних сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Полупроводник параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащие к одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.
3. Сегменты полушарниров с противоположными углами равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула имеет вид S = a2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма равен сумме длины и ширины, умноженной на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников 1-11 классов!

 

Признаки параллелограмма

Знаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других квадратов. Сформулируем три основных признака.

Первое свойство параллелограмма. Если две противоположные стороны квадрата равны и параллельны, то квадрат является параллелограммом.

Докажем 1 критерий параллелограмма:

Шаг 1. Вставьте квадрат ABCD:

• АБ || CD
• АВ=CD

Чтобы назвать этот квадрат параллелограммом, необходимо внимательно рассмотреть стороны.

Теперь мы видим пару параллельных сторон. Нам нужно доказать, что другая пара сторон также параллельна.

Шаг 2. Проведите диагональ. Получили два треугольника ABC и CDA, которые подобны по первому знаку равенства, то есть по двум сторонам и углу между ними:

1. АС — общая сторона;
2. По условию АВ = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние поперечные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD на секущей AC.

Шаг 3. Из подобия треугольников также следует:

• ∠3 = ∠4

Эти углы также являются внутренними между линиями CB и AD. А это всего лишь признак параллельных линий. Следовательно, CB || AD и ABCD — параллелограммы.

Так быстро мы доказали первый признак.

Второй знак параллелограмма. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то четырехугольник является параллелограммом.

Докажем второй признак параллелограмма:

Шаг 1. Вставьте квадрат ABCD:

• АВ=CD
• До нашей эры=объявления

Шаг 2. Проведите диагональ AC и посмотрите на треугольники ABC и CDA:

• АС — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Отсюда следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему критерию, а именно по трем сторонам.

Читайте также: Страны СНГ: список на 2023 год

Шаг 3. Из подобия треугольников следует:

• ∠DCCA = ∠BACА так как эти углы лежат поперек сторон BC и AD и диагонали AC, то стороны BC и AD параллельны.
• ∠DAC = ∠BCAЭти углы лежат между сторонами AB и CD и секущей AC. Следовательно, стороны AB и CD также параллельны. Итак, квадрат ABCD — это параллелограмм CTD.

Мы доказали второй признак.

Третий знак параллелограмма. Если диагонали четырехугольника делятся пополам точкой пересечения, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Докажем третий признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали квадрата ABCD делятся пополам точкой О, то треугольник АОВ равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• СО=ОА;
• ДО=БО;
• углы между ними равны по вертикали, то есть угол АОВ равен углу COD.

Шаг 2. Из подобия треугольника следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству поперечных углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Следовательно, ABCD является параллелограммом по первому критерию, как мы доказали ранее. КЭД

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что отличает его от других квадратов — знаков. Поскольку они похожи, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все же связано с параллелизмом противоположных сторон.

Основные свойства параллелограмма

1. Противоположные углы параллелограмма всегда равны. ∠А=∠С ; ∠В=∠Д
2. Противоположные стороны параллелограмма всегда равны. АД=БК ; АВ=DC
3. Противоположные стороны параллелограмма всегда параллельны. AD∥BC ; AB∥DC
4. Сумма всех углов параллелограмма равна 360°. ∠A+∠B+∠C+∠D=360°
5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна 180°.∠ABC+∠BCD=∠BCD+∠CDA=∠CDA+∠DAB=∠DAB+∠DAB=180°

Площадь параллелограмма

Определение

Параллелограмм – это геометрическая фигура, у которой противоположные стороны попарно параллельны.

Примеры параллелограммов: квадрат, прямоугольник, ромб.

Формулы для расчета площади параллелограмма

Существуют три основные формулы вычисления площади параллелограмма:

1. если известны длина стороны и проведенная к ней высота;
2. если известны длины сторон и углы между ними;
3. если известна длина диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов более подробно.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем в качестве примера этот параллелограмм:

Он содержит две высоты — BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, спускающийся от вершины к противоположной стороне под прямым углом.

В этом случае площадь оценивается очень просто. Вам просто нужно умножить длину высоты и длину стороны, на которой она нарисована.

И то же самое, если известны длина стороны DC и высота BF. Тогда для расчета площади их достаточно перемножить.

Кстати, у этой формулы есть очень интересное доказательство. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны, мы можем взять треугольник ABE и переложить его на сторону CD. Вот как это будет выглядеть:

В результате получаем прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма стала одной из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно вычислить, если известны длина обеих сторон и величина острого угла между ними.

По сути, этот метод следует из предыдущего. Используя только первые данные, нужно вычислить высоту параллелограмма, и только потом по ней вычислить площадь.

Согласно тригонометрии синус острого угла прямоугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем примере этот катет — высота, а гипотенуза — сторона «а». И оказывается:

Соответственно, для расчета значения высоты необходимо:

И наша окончательная формула расчета площади будет выглядеть так:

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Этот метод используется крайне редко, но знать его все же необходимо. Во всяком случае, такие примеры вполне можно встретить на экзаменах школьников.

В этом случае для вывода формулы используются очень сложные математические расчеты. И мы не будем обременять вас ими. Давайте просто покажем конечный результат:

Соответственно, здесь d1 и d2 — длины диагоналей, а y — острый угол между ними.

Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.

Примеры решения задач на вычисление площади параллелограмма

Задание 1

Дано: ABCD — параллелограмм (см рисунок). Длина стороны AD=11, длина стороны DC=21, угол ADC между этими сторонами равен 54°.

Найдите: S параллелограмм.

Решение. Воспользуемся формулой №3 из материала выше, чтобы найти площадь параллелограмма по двум сторонам и угол между ними:

S= 11×21×sin54°= 11×21×0,8090169944=186,882

Задача 2

Дано: а=12; г=5

Находка: S-ромб

Решение. По формуле №6 выше для ромба (нахождение площади параллелограмма по радиусу вписанной окружности и синусу угла):

S=2×a×r=2×12×5=120.