Таблица производных и правила дифференцирования функций

Что такое производная функции

Например, когда мы используем производную в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени есть скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая скорость изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости есть не что иное, как ускорение, так как ускорение есть величина, характеризующая скорость изменения скорости.
Так как производная находится по формуле:

, то бесконечное число различных функций усложняет задачу дифференцирования, поскольку дифференцировать функцию, которую можно представить из разных элементарных функций, удобно на основе уже полученных выражений для производных этих элементарных функций.

Характеристики производной и ее значение Производная характеризует скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательства, так как доказательство выходит за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная произведения числа и функции) справедливое равенство

(ср(х))’ = ср'(х) ,

где с — любое число.

Другими словами, производная произведения числа и функции равна произведению этого числа и производной функции.

Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x),

то есть производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная функциональной разницы). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) — g (x))’ = f’ (x) — g’ (x),

то есть производная разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f(x)g(x))’ =
=f'(x)g(x) + f(x)g'(x),

Другими словами, производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.

Правило 5 (производная от частного двух функций). Производная дроби (частное двух функций) вычисляется по формуле

Определение. Рассмотрим функции f(x) и g(x) . Сложная функция или «функция из функции» — это функция вида

е (г (х))

В этом случае функция f(x) называется внешней функцией, а функция g(x) внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

f(g(x))’ = f'(g(x)) g'(x)

Другими словами, чтобы найти производную комплексной функции f(g(x)) в точке x, надо умножить производную внешней функции, вычисленной в точке g(x), на производную внутренней функции , рассчитанный в точке x .

Читайте также: Чем отличается рост от прироста в экономике?

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для классов 10 и 11 может содержать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому мы приводим стандартную таблицу производных.

Функция F(x

Производная f'(x)

C (т.е константа, любое число)

0

икс

1

хп

nxn-1

√х

1/(2√х)

жаль х

потому что х

потому что х

-грех х

тг х

1/cos2(х)

кТГ х

-1/sin2x

например

например

топор

топор* пер

инкс

1/х

логакс

1/(х * ln а)

Элементарные функции можно складывать, перемножать друг с другом, находить их разность или частное — словом, производить все математические операции. Но для этого есть определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование запомните (или запишите в шпаргалку) пять простых формул:

(с ⋅ е)′ = с ⋅ е′

(и + v)′ = и′ + v′

(и — v)’ = и’ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

При этом u, v, f — функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. В частности, вам нужно только запомнить формулы, где нужно разделить одну функцию на другую или умножить их и найти производную результата.

Например: вы хотите найти производную функции y = (5 ⋅ x3).

у′ = (5 ⋅ x3)′

Помните, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ x3-1 = 15×2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, не все функции выглядят так, как в таблице выше. Как быть с дифференцированием, например, таких функций: у = (3 + 2х2)4?

Сложная функция — это выражение, в котором одна функция вложена в другую. Производную комплексной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, вы должны умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2×2)4.

Заменим 3 + 2×2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций получаем:

y = y’u ⋅ u’x = 4u3 ⋅ u’x

Теперь сделаем обратную подстановку и заменим исходное выражение:

4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2×2)3 ⋅ (3 + 2×2)′ = 16 (3 + 2×2)3 ⋅ x

Пример 2

Найдем производную функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x ′ = 3×2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3×2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ грех х

Таблица производных

Поэтому для работы с производными нужна таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную любой функции. Но прежде чем работать с таблицей, нужно знать, как взять производную от функции, есть определенные правила дифференцирования, которые мы представим в таблице.

Правила дифференцирования

номер правила	Название правила	Правило дифференциации
1	Производная постоянного значения	, С постоянная
2	Получено из суммы	.
3	Производная произведения константы и функции	, С — постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Он получен из разделения двух функций
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и сложных функций.

Номер формулы	Производное имя	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Основание производной логарифмической функции
3	Получено относительно степени xi числа n
4	Производная квадратного корня
5	Производная ai в степени x
6	Производная e в степени x
7	Синусоидальная производная
8	Производная косинуса
9	Касательная производная
10	Производная котангенса
одиннадцать	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
1. 3	Производная арктангенса
14	Производная арктангенса

Производные суммы, разности, произведения и деления функций.

Производные степенной, показательной и логарифмической сложных функций.

Производные сложных тригонометрических функций.

Примеры нахождения производных

Пример 1

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2, чтобы дифференцировать сумму. Теперь найдем производную каждого члена:

По формуле 3 «производная по xi степени n» (имеем в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

Согласно первому правилу дифференцирования «производная постоянной равна нулю”

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь у нас уже есть не простая функция, а сложная функция, и мы возьмем производную по формуле 8 в таблице производных для сложных функций.

Отвечать:

Пример 5

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдите производную функции

Решение: Имеем сложную функцию, сторона под корнем не просто, а квадратичная функция.

То есть у нас есть функция вида .

Возьмем производную этой функции:

Отвечать:

Пример 6

Найти скорость тела, если путь его движения задается уравнением m

Решение: скорость тела есть первая производная пути: м/с.

Находим скорость тела:

Ответ: 3 м/с.

Таким образом, таблица производных и правила дифференцирования позволяют легко брать производные как от простых, так и от сложных функций.

Производная частного

При делении производных формула преобразования имеет вид разности производной от числителя, умноженной на знаменатель, и производной от знаменателя, умноженной на числитель и деленной на квадрат знаменателя. При этом необходимо учитывать, что значение внизу дроби не должно быть равно нулю. При решении первых примеров часто возникает проблема с преобразованием производной от частного, поэтому лучше всего держать перед глазами эту формулу:

Благодаря этой формуле можно привести к более простому виду пример, который можно разбить на табличные функции производных, после чего решить эту задачу не составит труда.

Пример решения

В качестве примера, демонстрирующего ход решения, в котором осуществляется деление производных, стоит рассмотреть следующее:

Согласно задаче необходимо найти производную от этого выражения. Используя формулу, упрощающую деление производных, преобразуем исходный пример к следующему виду:

В результате счетчик содержит две производные табличной формы, значения которых можно вычислить без дальнейших преобразований. В первом случае результат будет один, во втором – два. Подставляя расчетные данные в пример, получаем дробь, где остается только произвести несложные вычисления в счетчике, и получить окончательный результат:

Маленькие хитрости

Прежде чем использовать формулу, следует внимательно посмотреть на деление производных. В некоторых случаях дробь можно упростить, так что приведенная в начале формула может оказаться ненужной или более простой. Упрощение дроби можно осуществить несколькими способами, в том числе делением числителя на знаменатель для определения целой части, а также умножением обеих частей дроби на одно и то же ненулевое число — этот прием часто используется при наличии иррациональности под производный знак.

Стоит отметить, что прежде чем сначала нужно проверить пример на наличие решения. Для этого нужно найти диапазон допустимых значений (РТС), и если он существует, не создавая неопределенности разного рода, можно переходить к расчетам.