Умножение вектора на число

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, где указано, какая из граничных точек считается началом, а какая концом. В некоторых учебниках вектор может называться направленным отрезком.

Вектор обозначается строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными буквами со стрелкой (в некоторых случаях прямой линией) сверху.

Интересно, что порядок букв в имени вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за конец. Поэтому и являются совершенно разными векторами.

Виды векторов

Во-первых, есть коллинеарные и неколлинеарные векторы.

Коллинеарные векторы — это те, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке и и коллинеарны, а и относительно друг друга нет.

Векторы также различаются по направлению. Если векторы уже коллинеарны, они могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: Если они направлены в противоположные стороны, мы можем записать это следующим образом:

Равны те векторы, которые одновременно коллинеарны и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — это вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрию вводят дополнительные понятия, рассмотрим их:

• Неподвижный вектор — это отрезок с упорядоченными концами: если С — начальная точка вектора, а Е — конечная, то (именно это мы понимаем под правильным вектором в школьной геометрии).
• Свободный вектор — это вектор, начало и конец которого не фиксированы. Его можно перемещать как вдоль линии, на которой он стоит, так и параллельно этой линии. Фактически под свободным вектором понимается множество фиксированных векторов.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных операций с векторами нам нужно поместить их в такую ​​систему координат, чтобы мы могли определить их положение относительно друг друга. Для этого используется декартова система координат, которую можно использовать как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Итак, если он находится на плоскости, его координаты могут быть выражены как в пространстве —

Базисные векторы – это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси, в трехмерном пространстве они обозначаются

Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на три базисных вектора.

Читайте также: Самые длинные улицы мира

Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В плоской задаче произведение вектора a = {ax ; ay}, а число k можно найти по следующей формуле:

ка = {к топор; к ау}

Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В пространственной задаче произведение вектора a = {ax ; да; az} и число k можно найти по следующей формуле:

ка = {к топор; к ай; к аз}

Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; а2;… ; an}, а число k можно найти по следующей формуле:

ка = {ка1; к а2;… ; к ан}

Как умножить вектор на число

умножение вектора на число изменяет его длину.

Как изменится длина вектора

Длина вектора увеличивается, когда число превышает единицу (по модулю).
Если, с другой стороны, число меньше единицы (по модулю), длина вектора уменьшается.

Когда:
является положительным числом, результат сонаправлен с начальным вектором.
— число отрицательное, результат развернется в обратную сторону.

Рис. 1. Вектор и результаты его умножения на числа 2,5; -2,5; и 0,5; -0,5

Примечание:
Операция умножения вектора на число не поворачивает вектор ни на какой угол относительно его начального положения. То есть начальный и конечный векторы останутся параллельными.

Когда известны координаты вектора

Зная координаты вектора, вы можете умножить его на число, умножив каждую координату на это число.

​(vec{a} = { a_{x}; a_{y}} )​ — координаты вектора (vec{a})
​large boxed { k cdot vec{a} = { k cdot a_{x}; k cdot a_{y} } }​

Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = ka, то:

• б || а — векторы b и а параллельны
• a↑↑b, если k > 0 — векторы b и a сонаправлены, если число k > 0
• a↑↓b, если k < 0 — векторы b и a противоположно направлены, если число k < 0
• |б| = |к| |а| — модуль вектора b равен модулю вектора a, умноженному на модуль числа k

Скалярное произведение векторов

Мы почти подошли к концу нашего путешествия по царству векторов. Нам остается изучить только скалярное произведение векторов. Что это?

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, в результате которой получается скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Скалярным произведением будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

Помните, что в той же физике величины делятся на скалярные (у которых нет направления, например масса) и векторные (у которых есть направление, например сила, ускорение, скорость). В математике вектор означает направленный отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Таким образом, чем больше угол между векторами, тем меньше согласованность, а это означает, что скалярное произведение будет уменьшаться с увеличением угла:

• Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля: в этом случае значение скалярного произведения максимально возможное.
• Если угол между векторами острый и векторы не равны нулю, то скалярное произведение положительно, так как

  

• Если угол между векторами представляет собой прямую линию, то скалярное произведение равно 0, так как

  

• Если угол между векторами тупой и векторы не равны нулю, то скалярное произведение отрицательно, так как

  

• Скалярное произведение вектора и противоположного ему вектора равно отрицательному произведению их длин. В этом случае значение скалярного произведения минимально возможное.

  

Вы, конечно, можете возразить: «Последовательность направлений прекрасно показывает угол, зачем нам эти сложные вычисления?». А все дело в том, что в космосе иногда очень сложно измерить угол, а вычислить скалярное произведение несложно, особенно если считать его через координаты.

Если его выразить координатами и тогда скалярное произведение этих векторов описывается формулой: В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет даваться следующим образом:

Где используется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких как нахождение угла между векторами и любыми расстояниями, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному произведению можно описать даже свойства искривленных поверхностей, но об этом мы поговорим в другой раз.

Для закрепления пройденного материала нужно больше пары заданий. Именно поэтому мы приглашаем вас на онлайн-уроки математики в Skysmart School. В короткие сроки, благодаря специальной платформе и профессиональным преподавателям, вы сможете улучшить свои школьные оценки, подготовиться к экзаменам и олимпиадам, а главное понять и полюбить математику.

Геометрическая интерпретация произведения

Если вектор a умножить на число m, то получится вектор b, при этом:

• б || один
• |б| = |м| |а|
• б ↑↑ а, если m > 0, б ↑↓ а, если m < 0

Таким образом, произведение ненулевого вектора на число есть вектор:

• коллинеарно оригиналу;
• сонаправленный (если число больше нуля) или имеет противоположное направление (если число меньше нуля);
• Длина равна длине входного вектора, умноженной на модуль числа.

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} до 3.

Решение: 3 а = {3 1; 3 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} до -2.

Решение: (-2) а = {(-2) 1; (-2) 2; (-2) (-5)} = {-2; -4; 10}.