Алгебраическое дополнение к элементу определителя матрицы: нахождение, свойства

Определение и нахождение алгебраического дополнения

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя порядка n является число Aij = (-1)i+j · Mij, где M — минорная матрица.

Пример
Вычислите алгебраическое дополнение A32 до a32 определителя ниже:

Решение

Свойства алгебраического дополнения

1. Если суммировать произведения элементов произвольной строки и алгебраических дополнений элементов строки i определителя, то получится определитель, в котором строка i заменена этой произвольной строкой.

2. Если просуммировать произведения элементов строки (столбца) определителя на алгебраические сложения элементов другой строки (столбца), то получим нуль.

3. Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические сложения элементов данной строки (столбца) равна определителю матрицы.

Минор

Определитель матрицы не очень прост для понимания, так как в понятии присутствует рекурсия: определитель матрицы состоит из нескольких элементов, в том числе из определителя (других) матриц.

Чтобы не зацикливаться на этом, давайте прямо сейчас (временно) предположим, что определитель матрицы

рассчитывается следующим образом:

а11*а22-а12*а21

Давайте также разберемся с соглашениями и понятиями, такими как минорное и алгебраическое дополнение.

Буква i указывает на порядковый номер строки, буква j указывает на порядковый номер в столбце.

aij означает элемент матрицы (число) на пересечении строки i и столбца j.

Представьте себе матрицу, полученную из исходной путем удаления строки i и столбца j. Определитель новой матрицы, полученный из исходной удалением строки i и столбца j, называется минором Mij элемента aij.

Проиллюстрируем сказанное. Предположим, что нам дана матрица

Затем для определения меньшего M11 элемента a11 нам нужно создать новую матрицу, которая получается из исходной удалением первой строки и первого столбца:

И вычислить его определитель: 2*1 — (-4)*0 = 2

Чтобы определить минор M22 элемента a22, нам нужно создать новую матрицу, которая получается из исходной удалением второй строки и второго столбца:

И вычислить его определитель: 1*1 -3*3 = -8

Определители II и III порядка

Определение: Определитель порядка n — это число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы из n строк и n столбцов, которая расширяется по определенному правилу.

Число

Определение: Определитель второго порядка – это число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы 2х2, т.е имеющее 2 строки и 2 столбца.

Определение: Определитель второго порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов на главной диагонали необходимо вычесть произведение элементов на побочной диагонали:

Пример:

Определение: Определитель третьего порядка – это число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы 3х3, то есть имеющее 3 строки и 3 столбца.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу Сарруса: первый и второй столбцы записываются после определителя, поэтому из суммы произведений элементов на параллельной ему главной диагонали необходимо вычесть сумму произведения элементов на побочной диагонали и параллельно ей:

Пример:

Определение: Меньше
элемент
называется определитель порядка (n-1), который получается из исходного определителя порядка n удалением строки i и столбца j, на пересечении которых находится элемент

Пример:

Найти второстепенные предметы
и
определителя из примера 2. Скрестить строку 1 и столбец 2 определителя:
мы получаем несовершеннолетнего
Если мы проделаем то же самое со строкой 3 и столбцом 3, мы получим второстепенные значения

Пример:

Найти второстепенные предметы
и
решающий фактор
На основании определения несовершеннолетнего
мы получаем
аналогично находит минор

Определение: алгебраическое дополнение
элемент
является произведением минора этого элемента и
в.

Примечание. Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим меньше, если сумма
является четным числом и противоположным по знаку, если сумма
— нечетные числа.

Определение: Транспонированный определитель порядка n — это определитель порядка n, полученный из исходного определителя заменой строк соответствующими столбцами и столбцов соответствующими строками.

Если

Пример:

Найдите определитель, транспонированный в определитель
Из определения транспонированного определителя

Читайте также: Как правильно открыть данные CSV-файла в Excel

Свойства определителей

1. Значение транспонированного определителя равно значению исходного определителя. Позволять
Отсюда ясно, что

2. Перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. Позволять

При перестановке строк (столбцов) четное число раз значение и знак определителя не меняются. Нечетная перестановка строк (столбцов) не меняет значения определителя, но меняет знак на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковые строки (столбцы), равен нулю. Если определитель содержит два одинаковых столбца, то

4. Чтобы умножить определитель на число k, достаточно все элементы любой строки (столбца) умножить на это число. Обратно, если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель k, то его можно вынести за знак определителя.

Докажем это свойство:

5. Если две строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть первая и вторая строки определителя второго порядка пропорциональны, тогда

6. Если все элементы в строке (столбце) равны нулю, то определитель равен нулю.

Тогда пусть все элементы первой строки определителя второго порядка равны нулю

7. Если элементы строки (или столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Если
Докажи себя.

8. Если все элементы строки (столбца) умножить на действительное число k и прибавить k к соответствующим элементам другой строки (соответственно столбца), то значение определителя не изменится.

Умножаем элементы второго столбца на действительное число k и прибавляем результат умножения к соответствующим элементам первого столбца, получаем

Второй определитель равен нулю в свойстве 5.

Примечание. Это свойство используется для сброса всех элементов любой строки (столбца), кроме одного (метод set to null), что значительно снижает сложность вычисления определителей порядка выше 3 (см также свойство 9.).

9. Метод расширения определителя элементами любой строки (или столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Пример:

Вычислить определитель
по элементам 3-х строк и по элементам 2-х столбцов.

Решение:

Воспользуемся свойством 9.: дополним определитель элементами строки 3
Вычислить определитель по элементам второго столбца

Из полученных результатов видно, что свойство 9 является универсальным методом вычисления любых определителей по элементам в любой строке или столбце.

Используя свойство 8., вы можете сбросить все элементы любой строки (столбца), кроме одного (метод сброса), а затем расширить определитель элементами этой строки, используя свойство 9.

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Обнулим элементы в третьей строке, для чего проделаем следующие действия:
(для свойства 4 выносим множитель 2 из третьей строки)
используем свойство 8., умножаем все элементы во втором столбце на 1,5 и прибавляем соответствующие элементы в третьем столбце, получаем)

(для свойства 4 выносим из третьего столбца множитель 0,5, тогда множитель перед определителем будет равен 1)

(расширяем определитель элементами третьей строки:
выше из определителя третьего порядка удалены третья строка нулей и второй столбец, т.е показано меньшее, что требуется для дальнейших вычислений
Таким образом, метод сброса позволяет значительно ускорить процесс вычисления любого определителя.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядка по описанным выше правилам:

Подставляем найденные значения в исходное уравнение

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядка по описанным выше правилам:

Заменяем найденные значения исходным неравенством

Пример:

Вычислить определитель четвертого порядка (таким же образом проделать те же операции с определителем третьего порядка), преобразовать его так, чтобы три элемента некоторого ряда были равны нулю, и вычислить полученный определитель при элементах этого ряда:

Решение:

Вторая строка исходного определителя содержит 1 и 0, поэтому мы хотим обнулить элементы в этой строке (при обнулении элементов в строке операции выполняются над столбцами и наоборот):
— линия сброса;
— столбцы с которыми выполняются действия)=

(по методу сброса будем расширять определитель элементами второй строки (
— цифры, с которыми выполняются действия))

(по универсальному методу будем открывать определитель на элементах третьей строки)

Вычисление определителя для матриц

Определитель порядка n, соответствующий матрице A, представляет собой число, заданное A и вычисленное по формуле:

В этой формуле нам уже все известно, давайте теперь вычислим определитель матрицы для

Независимо от номера строки i=1,2,…,n или столбца j=1,2,…,n определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов этой строки или этого столбца и их алгебраические дополнения, т.е.

Определитель можно вычислить по любому столбцу или по любой строке.

Чтобы убедиться в этом, вычислим определитель матрицы из последнего примера во втором столбце

Как видите, результат идентичен и для этой матрицы определитель всегда будет -52, вне зависимости от того, из какой строки или столбца мы будем его вычислять.

Свойства определителя матриц

1. Строки и столбцы определителя равны, то есть значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы с сохранением порядка. Эта операция называется перестановкой определителя. По заданному свойству det A = det AT.
2. Когда вы меняете местами две строки (или два столбца), определитель сохраняет свое абсолютное значение, но меняет знак на противоположный.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.
4. умножение всех элементов строки (или столбца) определителя на число λ эквивалентно умножению определителя на число λ.
5. Если все элементы в строке (или любом столбце) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6. Если элементы в двух строках (или двух столбцах) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7. Если к элементам одной строки (или одного столбца) определителя добавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель λ, то значение определителя не изменится.
8. Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.
9. Если все элементы i-й строки определителя представить в виде суммы двух слагаемых aij = bj + cj, то определитель равен сумме двух определителей, где все строки, кроме i-й, являются так же, как и в данном определителе i-я строка состоит в одном из слагаемых из элементов bj, а в другом из элементов cj. Аналогичное свойство применимо к столбцам определителя.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: det(A*B) = det A*det B.

Для вычисления определителя любого порядка можно использовать метод последовательного приведения порядка определителя. Для этого воспользуйтесь правилом расширения определителя элементами строки или столбца. Другим способом вычисления определителей является использование элементарных преобразований со строками (или столбцами), прежде всего в соответствии со свойствами 4 и 7 определителей, для приведения определителя к виду, когда он находится ниже главной диагонали определителя (определенной в так же) как и для квадратных матриц) все элементы равны нулю. Тогда определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

При вычислении определителя путем последовательного уменьшения порядка уменьшения объема вычислительной работы целесообразно использовать свойство 7 определителей для достижения обнуления любого из элементов в любой строке или столбце определителя, что уменьшит количество вычисленные алгебраические сложения.

Приведение матрицы к треугольному виду, преобразование матрицы, облегчающее вычисление определителя

Показанные ниже способы не практичны для матриц 3х3, но предлагаю рассмотреть суть методов на простом примере. Воспользуемся матрицей, для которой мы уже вычислили определитель — так нам будет проще проверить правильность вычислений:

Используя седьмое свойство определителя, вычесть третью строку из второй строки, умноженной на 2:

вычесть соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные на 3, из третьей строки:

затем вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на -3:

Так как элементы определителя, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, то определитель, следовательно, равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:

1*2*(-26) = -52.

Как видите, ответ совпал с полученными ранее.

Напомним формулу определителя матрицы:

Определитель представляет собой сумму алгебраических сложений, умноженных на члены в одной из строк или в одном из столбцов.

Если в результате преобразований сделать одну из строк (или столбец) целиком состоящей из нулей, кроме одной позиции, то нам не нужно считать все алгебраические сложения, так как они заведомо будут равны нулю. Как и предыдущий метод, этот метод полезен для больших массивов.

Приведем пример той же матрицы:

Обратите внимание, что второй столбец определителя уже содержит один нулевой элемент. Складываем элементы второй строки с элементами первой строки, умноженные на -1. Мы получаем:

Вычислим определитель во втором столбце. Нам нужно вычислить только одно алгебраическое сложение, так как остаток абсолютно сводится к нулю:

Вычисление определителя для матриц 4×4, 5×5 и больших размерностей

Чтобы избежать излишних вычислений для матриц больших размеров, следует выполнить описанные выше преобразования. Приведем пару примеров.

Вычислить детерминированные матрицы

Решение. Пользуясь свойством 7 определителя, вычтем из второй строки третий, а из четвертой строки — соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные соответственно на 3, 4, 5. Эти операции будем сокращать как следующим образом: (2) — (13; (3) — (1) * 4; (4) — (1) * 5. Получаем:

Далее, в соответствии с введенными обозначениями, выполняем следующие операции: (3) — (2) * 8; (4) — (2)*9. Получаем

Давайте действовать

У нас есть

Так как элементы определителя, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, то определитель, следовательно, равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:

Вычислить определитель

Решение Обратите внимание, что второй столбец определителя уже содержит один нулевой элемент. Добавляем к элементам второй строки элементы первой строки, умноженные на -1, а к элементам четвертой строки элементы первой строки, умноженные на 5. Получаем:

Разворачиваем получившуюся, определяемся со второй строкой у нас:

(Затем мы умножили фактор 2 в первом столбце на основе свойства 4). Далее к элементам определителя добавляем элементы первого и второго столбцов. Мы получаем:

Затем мы вынесли множитель в первом столбце, а затем общий множитель (-1) в первой строке. Развернув полученное теперь, определив третий порядок элементов во второй строке, получим:

Здесь определяющий второй порядок вычисляется в соответствии с определением, по формуле

Вычисление определителя (детерминанта) матрицы wxMaxima и Maxima

WxMaxima и Maxima используют функцию определителя для вычисления определителя:

m7:matrix(1,2,3,6,2,-4,[3,0,1]); определитель(m7);

Чтобы привести массивы к треугольной форме, вы можете использовать функцию triangularize:

Пример №2

Вычислить определитель, разложив его по элементам первой строки:

Решение:

Согласно теореме о разложении

Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы A:

Поэтому,

Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно использовать теорему разложения (метод понижения порядка) или метод приведения определителя к треугольному виду.

Пример №3

Вычислить определитель, привести его к треугольному виду:

Решение:

Используя свойство 6 определителей, последовательно преобразуем второй, третий, четвертый столбец матрицы.

1. прибавляем ко второму столбцу первое, умноженное на -2;
2. к третьему столбцу прибавляется первое, умноженное на -3;
3. к четвертому столбцу прибавляется первое, умноженное на -4;
4. применено свойство 1 определителей.