Чему равен куб разности: формула, доказательство, пример

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b это может быть любое число, переменная или даже целочисленное выражение. Чтобы быстро решать задачи, лучше выучить наизусть основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ). Да, алгебра такая, надо быть готовым многое запоминать.

Ниже представлена ​​удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.

Читайте также: Умножение десятичных дробей — примеры, правила как умножать в 5 классе

Как читать формулы сокращенного умножения

Научитесь произносить формулы сокращенного выражения:

1. Разность между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Помните, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности на их сумму: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Другими словами, произведение суммы а и b на их разность равно разности их квадратов: (а — b) * (а + b) = а2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Идти:

1. Искусственным методом сложим и вычтем одно и то же a * b.+ а * б — а * б = 0

   а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб

1. Сгруппируйте по-разному: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
2. Продолжим группировку: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
3. Вынесем общие множители за скобки:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)

1. Вынесем за скобки (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
3. Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.

Аналогичным методом можно доказать остальные ФСО.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

В таблицу основных ФСО следует добавить еще несколько важных тождеств, которые будут полезны при решении задач.

Бином Ньютона

Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:

БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных чисел вы можете написать это так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.

Формула куба разности

Куб разности между а и b равен кубу а минус три умноженный на квадрат а умноженный на b плюс три умноженный на квадрат b умноженный на а минус куб b.

(а – б)3 = а3 – 3а2б + 3аб2 – б3

Формула работает в обратном порядке:

а3 – 3а2б + 3аб2 – Ь3 = (а – б)3

Доказательство формулы

Представим куб разности в виде произведения:
(а – б)3 = (а – б)(а – б)(а – б).

Теперь поочередно выполняем умножение скобок с учетом правил арифметики:
(a — b)(a — b)(a — b) = (a — b)(a — b)2 = (a — b)(a2 — 2ab + b2) = a3 — 2a2b + ab2 — a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:
(а – б)2 = а2 – 2аб + Ь2.

Пример

Фактор выражения (4x – 6y)3.

Решение:
Воспользуемся общей формулой и подставим в нее наши значения:
(4x – 6y)3 = (4x)3 – 3 ⋅ (4x)2 ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y)2 – (6y)3 = 64×3 – 288x2y + 432xy2 + 216y3

Обследование:
Перемножим три одинаковые скобки:
(4x – 6y)3 = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y)2 = (4x – 6y)(16×2 – 48xy + 36y2) = 64×3 – 192x2y + 144xy2 — 96x2y + 288xy2 + 216y3 = 64×3 — 288x2y + 432xy2 + 216y3

Неполный квадрат разности

Выражение:

а2 — 2аб + б2

есть квадрат разности, который также называют полным квадратом разности по отношению к выражению:

а2 — аб+б2,

который называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного квадрата только произведением чисел, которые не удваиваются.

Формула куба суммы

Возьмем в куб сумму (a+b):

$$ (а+б)^3 = (а+б) (а+б)^2 = (а+б)(а^2+2аб+б^2) = $

$$ = a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 +б^3 = $

$$ = а^3+3а^2 б+3аб^2+б^3 $

Получили формулу куба суммы двух выражений:

$$(а+б)^3 = а^3+3а^2 б+3аб^2+б^3$

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс умноженный на три квадрат первого выражения и второго выражения, плюс умноженный на три произведения первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо формулы а и би можно подставлять все одночлены (и даже многочлены). Например:

$$(2x+3y)^3 = (2x)^3+3cdot(2x)^2cdot3y+3cdot2xcdot(3y)^2+(3y)^3 =$

$$ = 8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3 $

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.

Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как мы решаем:

1. Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
2. Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂