Показательная функция: определение, формула, свойства, график

Содержание

Определение показательной функции
Свойства показательной функции
Свойства, правила построения графика
График показательной функции
Решение элементарных уравнений неравенств
Примеры задач
Пример №1
Пример №2
Пример №3
Пример №4
Пример №5
Пример №6
Пример №7
Пример №8
Пример №9

Определение показательной функции

Показательная функция — это функция вида f(x) = ax, где:

а — основание степени, при этом а > 0 и а ≠ 1;
х показатель степени.

Примеры:

у=5х
у=0,7х
у=11х

Свойства показательной функции

Область определения — все действительные числа: — ∞ < x + ∞.
Диапазон — все положительные действительные числа: 0 < y + ∞.
Функция возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
Для экспоненциальной функции действуют правила работы с индикаторами.
Производная:
- (ах) ‘= акс журнал а
- если вместо x стоит более сложное выражение u: (au)’ = au ln a ⋅ u ‘
Интеграл:

Свойства, правила построения графика

Поведение функции зависит от интервала, в котором находится значение основания а.

В первом случае 0<1,>

График функции выглядит так:

Домен D (f(x))=R, где R — множество действительных чисел.
Поскольку в результате возведения любого числа в нулевую степень получается единица, показательная функция, заданная в общем виде, не может иметь нулевое значение.
Найдем диапазон значений, для которых вычисляем пределы функции по формуле: lim f(x)x→+∞/-∞.
клей axx→-∞=a-∞=0
клей axx→+∞=a+∞=+∞
Тогда площадь E (f(x))=(0; +∞).
Из предыдущего свойства видно, что прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.
Это свойство верно, если функция задана уравнением y=ax. В общем случае, если функция имеет вид y=ax+b, то горизонтальной асимптотой будет прямая y=b.
Обратная функция является логарифмической: f-1(x)=logax.
Функция монотонно убывает.

Покажем свойства функции в случае, когда а>1.

График функции выглядит так:

Домен D (f(x))=R, где R — множество действительных чисел.
Поскольку в результате возведения любого числа в нулевую степень получается единица, показательная функция, заданная в общем виде, не может иметь нулевое значение.
Найдем диапазон значений:
клей axx→-∞=a-∞=0
клей axx→+∞=a+∞=+∞
Диапазон значений E (f(x))=(0; +∞).
Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.
Обратная функция является логарифмической: f-1(x)=logaxX.
Функция монотонно возрастает.
Когда a=e, где e — число Эйлера (2.718), экспоненциальная функция называется показателем степени. Обратной в этом случае будет функция натурального логарифма: f-1(x)=ln(x).

Примечание 1 При задании диапазонов значений числа а оба неравенства не были строгими: 01. Это связано с особенностями возведения чисел 0 и 1 в степень. В результате возведения чисел 0 и 1 в любую степень получаются соответственно 0 и 1. Показательные функции в случаях a=0 и a=1 переходят в функции вида y=0 и y=1, у которых графики будут представлять собой прямые линии, параллельные оси x.

При построении показательной функции руководствуются правилами и рекомендациями:

выполнить анализ функции по определению горизонтальной асимптоты; установить оси координат, опорную точку и единичный сегмент; при установке значений x вычисляется y; отметьте полученные координаты точек и постройте график функции.<1>

График показательной функции

Согласно свойству 3 выше, график экспоненциальной функции может быть:

увеличивается на > 1:
убывает для 0 < a < 1:

Асимптота — это бычья ось, т е линия графика будет обращена к оси X, но никогда не коснется ее.

Пример: построим график функции y = 3 x.

Решение:

Во-первых, давайте создадим таблицу соответствия между значениями x и y.

икс		у» Расчет у
-2	≈ 0,11	3-2 = 1/32 ≈ 0,11
-1	≈ 0,33	3-1 = 1/31 ≈ 0,33
0	1	30 = 1
1	3	31 = 3
2	9	32 = 9

Теперь на координатной панели соединяем полученные точки плавной линией. Поскольку a = 3 > 1, это означает, что график монотонно растет по всей оси Ox.

Решение элементарных уравнений неравенств

При решении простых показательных уравнений и неравенств используется графический метод.

Основной алгоритм в этом случае сводится к нахождению пересечений графиков функций.

В случае уравнений точки пересечения будут корнями уравнения.

В случае различий сначала строятся графики. Закрашивает области, ограниченные графами, и удовлетворяет условию неравенства. Определить, удовлетворяют ли сами графы существующим условиям. Заштрихованные области будут решением неравенства. Решение записывается в виде интервала или неравенства. При записи ответа необходимо учитывать, входят ли в найденный интервал пределы.

Примеры задач

Перейдем от теории к практике и рассмотрим примеры построения показательной функции и решения уравнений и неравенств.

Заметка 2

Найдите область определения и значения функции, заданной уравнением y=ex-4. Создайте график.

Решение:

Переменная x может принимать все действительные значения, т.е. D=(-∞; +∞). Теперь давайте найдем выделение. При основании e>1 функция монотонно возрастает. Из рассмотренных ранее свойств определяем, что график имеет горизонтальную асимптоту y=-4. Следовательно, площадь Е=(+∞; -4).

Зададим координатную плоскость, проведем горизонтальную асимптоту и построим график функции.

Ответ: D=(-∞; +∞); Е=(+∞; -4).

Заметка 3

Решите уравнение 2x+1=5x-5.

Решение.

Решением уравнения является пересечение графиков функций y=2x+1 и y=5x-5. Первая функция экспоненциальная, с асимптотой y=1, вторая – прямая. Давайте построим графики.

Графики пересекаются в одной точке (2; 5), которая и будет решением уравнения.

Ответ: х=2.

Примечание 4

Решите неравенство 4×2-2>2.

Решение.

Построим график показательной функции y=4×2-2>2 и график прямой y=2. Прямые пересекаются в точке x=2. Заштрихуем область, где значение функции больше 2. Этому условию удовлетворяют значения x на интервале (2; +∞). Неравенство не строгое, предел x=2 в решение не входит.

Ответ: x>2 или x∈(2; +∞).

Пример №1

Сравните с номером единицы: а) ; б)
.

Решение:

а) Представим число 1 в степени с основанием 0,5. Имеем: 1 = 0,5°. Поскольку функция
убывает и 1,5 > 0, то
, поэтому ;

б) ;
является возрастающей функцией и -0,2 < 0, поэтому
, поэтому
.

Пример №2

Функция
установить интервал . Найдите его наименьшее и наибольшее значения.

Решение:

Поскольку 0,5 < 1, эта функция убывает. Следовательно, его наименьшее и наибольшее значения равны:

Пример №3

Постройте функцию

Решение:

Функция
—
себя (проверить). График даже
функция симметрична относительно оси Oy, поэтому достаточно построить заданную функцию для
и отображать его симметрично относительно оси Y. Если
, Это

. Давайте построим функцию
при x > 0 и изобразить симметрично относительно оси Oy (рис. 23).

Пример №4

Найдите асимптоты графика функции:

один) ; б) ; В) ; Г)
.

Решение:

нахождение асимптот кривой (если они есть) — один из этапов полного исследования функции.

Если функция имеет точки бесконечного разрыва, то график функции имеет вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты (невертикальные) имеют вид:
где

если последние пределы существуют.

Пределы должны рассчитываться отдельно для ;
и в
. Не может быть более двух наклонных асимптот (правой, левой), а) Вычислите пределы этой функции при x -> 1:

Поскольку односторонние пределы x -> 1 бесконечны, x = 1 является точкой бесконечного разрыва; х = 1 — вертикальная асимптота кривой
Рассчитаем лимиты:

На кривой
правая и левая асимптоты совпадают;
наклонная асимптота задается уравнением y = x + 2 б) Вертикальная асимптота кривой
может быть только в точке x = 0.

Рассчитаем лимиты:

,

.

В точке x = 0 функция
имеет бесконечный зазор. Следовательно, х == 0 есть уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции. Рассчитаем лимиты:

Следовательно, эта кривая имеет асимптоту у = 1. Эта асимптота называется горизонтальной.

в) Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси, график функции не имеет вертикальных асимптот.

Найдем предел

горизонтальная асимптота.

г) Эту функцию можно записать в виде
где это можно увидеть
, это
горизонтальная асимптота графика функции.

Потому что

,

то график этой функции имеет две вертикальные асимптоты (см рис. 2)

Пример №5

Исследуйте функцию и постройте график:

один) ; б)
.

Решение:

Изучим функции по схеме исследования, а) Эта функция не определена при x = 1. В предыдущей задаче для этой функции было определено, что x = 1 — вертикальная асимптота, а y = x + 2 — вертикальная асимптота наклонная асимптота графика к функции.

Эта функция, очевидно, не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: если x = 0, то y = 0 -> 0 (0, 0) лежит на графике; если у = 0, то х = 0, то есть 0 (0,0) — единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

Найдите интервалы монотонности функции:

; критические точки первого типа ; ;
.

Найдите интервалы выпуклости (вогнутости), точки перегиба:

являются критическими точками второго типа .

Из таблиц видно, что функция имеет минимум при x = 0
, график функции имеет одну точку перегиба 0(0; 0).

В задаче 1 а) были найдены асимптоты кривой
(х = 1 и у = х + 2).

Выявленные свойства функции позволяют построить ее график (рис.). 3

б) Эта функция определена для
.

Вычислим пределы функции при стремлении x к границам области определения:

;

– вертикальная асимптота;

— горизонтальная асимптота графика функции.

Исследуем функцию на возрастание (убывание), экстремум:

функция убывает во всей области определения.

Потому что

х = -1/2, а у» меняет знак с минуса на плюс вблизи точки х = -1/2, тогда точка
является точкой перегиба графика функции. При х > 0у» > 0, поэтому на интервале
график функции вогнутый. Примерный график функции показан на рис.4.

Пример №6

Исследуйте функцию методами дифференциального исчисления и постройте ее график. Рекомендуется изучать функцию и строить график по следующей схеме:

1) найти область определения функции D(y);

2) найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3) проверить функцию на непрерывность; найти точки останова функции и ее односторонние пределы в точках останова;

4) найти асимптоты графика функции;

5) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

6) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

7) построить график по результатам предыдущих исследований;

8) найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Решение:

1. Объем определения:

.

2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

Чтобы найти точки пересечения с бычьей осью, возьмем y=0 и решим уравнение
. Немного
, то есть точкой пересечения графика функции с осью x является точка 0(0;0). Эта же точка является пересечением с осью 0y, так как y(0)=0.

3. Исследование сплошности и классификация точек разрыва. Данная функция непрерывна везде, кроме точки x=-1. Рассчитаем его односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка x=-1 является точкой разрыва второго рода для данной функции, а прямая x=-1 является вертикальной асимптотой графика.

4. Исследование графика на наличие наклонных асимптот:

То есть прямой
является наклонной асимптотой графика.

5. Исследование экстремума и интервалов на монотонность.

6. Исследование графа на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

0(0;0) — точка перегиба графика функции.

7. Постройте график.

График имеет вид, показанный на рисунке 5.

8. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке . Для этого вычислим значения функции в конце этого отрезка, в стационарных точках, попадающих на отрезок, и сравним результаты: