Эллипс

Определение эллипсa

Определение Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.

F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = константа

Рисунок 1		Рис.2

Элементы эллипсa

F1 и F2 — фокусы эллипса Оси эллипса.

А1А2 = 2а — главная ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большой оси эллипса и проходит через центр)

а — большая полуось эллипса

б — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (пересечение большой и малой осей эллипса)

Вершины эллипса A1, A2, B1, B2 являются точками пересечения эллипса с малой и большой осями эллипса. Диаметр эллипса — это отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через центр. Фокусное расстояние с равно половине длины отрезка, соединяющего фокусы эллипса, определяется отношением фокусного расстояния с к большой полуоси а. Для эллипса эксцентриситет всегда будет 0 < е < 1, для а окружность e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

е =	с
один

Радиусы фокуса эллипса sar1, r2 — это расстояния от точки эллипса до фокусов. Радиус эллипса R — это отрезок, соединяющий центр эллипса O с точкой на эллипсе.

Р =	аб	=	б
√a2sin2φ + b2cos2φ	√1 — e2cos2φ

где e — эксцентриситет эллипса, φ — угол между радиусом и большой осью A1A2 Фокальный параметр эллипса ap — это отрезок, выходящий из фокуса эллипса и перпендикулярный большой полуоси:

р =	би 2
один

Коэффициент сжатия эллипса (эллиптичность) k представляет собой отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Поскольку малая полуось эллипса всегда меньше большой, k < 1, для окружности k = 1:

к =	б
один

к = √1 — е2

где e — эксцентриситет. Сжатие эллипса (1 — k) — это величина, равная разнице между единицей и эллиптическим:

1-к =	аб
один

Прямые линии эллипса — это две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до ориентира равно ре.

Читайте также: Как найти длину (модуль) вектора: формула, пример задачи

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и фокальным радиусом r2 (рис. 2, точка М3).2. Уравнение касательной к эллипсу в точке M с координатами (xM, yM):

1 =	ххМ	+	ГгггМ
а2	би 2

3. Если эллипс разрезать двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков, образованных на пересечении прямых с эллипсом, всегда будет проходить через центр эллипса. (Это свойство позволяет получить центр эллипса построением с помощью циркуля и линейки.)4. Эволюция эллипса представляет собой астероид, вытянутый вдоль короткой оси.5. Если в треугольник ∆ ABC вписать эллипс с фокусами F1 и F2, то будет выполняться следующее соотношение:

1 =	F1A ∙ F2A	+	F1B ∙ F2B	+	F1C ∙ F2C
КА∙АВ	АВ∙ВС	До нашей эры∙КА

Свойство 1

Угол между касательной, проведенной к эллипсу, и фокальным радиусом r1 равен углу между той же касательной и фокальным радиусом r2.

• r1 и r2 — фокальные радиусы эллипса;
• Точка М — точка контакта касательной с эллипсом;
• α — равные углы между касательной и фокальным радиусом.

Свойство 2

Уравнение касательной к эллипсу (касательной в точке M) с координатами (xM, yM) выглядит следующим образом:

Свойство 3

Предположим, эллипс пересекают две параллельные прямые. Отрезок, соединяющий середины отрезков, полученных в результате пересечения прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр фигуры.

• M1M2 и N1N2 — отрезки, образованные в результате пересечения эллипса двумя параллельными прямыми.
• MN — отрезок, соединяющий середины M1M2 и N1N2;
• MN проходит через центр эллипса (точка O).

Свойство 4

Предположим, что эллипс с фокусами F1 и F2 вписан в треугольник ABC.

В этом случае справедливо следующее соотношение:

Оптические свойства эллипса

1. Свет от источника, расположенного в одном из фокусов эллипса, отражается от него так, что отраженные лучи пересекаются в другом фокусе.
2. Свет от источника, находящегося вне фокусов эллипса, отражается им так, что ни в одном фокусе отраженные лучи не пересекаются.

Уравнение эллипсa

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовых координатах. Если центр эллипса равен О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, эллипс описывается уравнением:

1 =	х2	+	у2
а2	би 2

Если центр эллипса О сместить в точку с координатами (хо, уо), то уравнение будет таким:

1 =	(х — хо)2	+	(ооо) 2
а2	би 2

Параметрическое уравнение эллипсa:

{	х = а потому что α	0 ≤ α < 2π
у = б грех α

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.

1. Каноническое уравнение содержит только четные степени x и yi, поэтому если точка (x;y) принадлежит эллипсу, то точки (x;-y), (-x;y), (-x;- y) также принадлежат к нему. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей Ох и Оу, а также точки О(0; 0), являющейся центром эллипса.

2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Установив y = 0, мы находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a; 0), где ось быка пересекает эллипс. Если в уравнении положить x = 0, то найдем точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0;b) и B₂(0;-b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса.

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из канонического уравнения также следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т е имеют место неравенства

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.

4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных членов (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при увеличении одного члена другой будет уменьшаться, т.е если |x| увеличивается, то |y| уменьшается и наоборот.

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения b/a. Когда a = b = R, эллипс становится кругом, уравнение эллипса становится x² + y² = R². Однако чаще отношение с/а используется как характеристика формы эллипса.

Отношение c/a половины расстояния между фокусами большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой «эпсилон» ε:

Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем менее сплюснутым будет эллипс, то есть он будет больше похож на круг, будучи ближе к нему по форме. Если мы установим ε = 0, эллипс станет кругом.

Пусть M(x; y) — произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются радиусами фокуса точки M.
очевидно, r1 + r2 = 2a.

Тогда есть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx

Выводим эти формулы

Прямые x = ±a/ε называются направляющими эллипса. Значение направляющей эллипса раскрывается следующим утверждением.

Теорема

Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d — расстояние от этой же точки до линии направления, соответствующей этому фокусу, то отношение r/d — постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса : г/д = е.

Из равенства a² — c² = b² следует, что a > b.Если a < b, то каноническое уравнение (x/a)² + (y/b)² = 1 определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на OY оси, а малая ось 2а которого лежит на оси Ox. Фокусы такого эллипса находятся в точках F1(0; +c) и F₂(0; -c), где c = √(b² — a²).

Как построить эллипс

Линию удобно строить в канонических декартовых координатах.

Фирменные топы:

Строится прямоугольник. Для этого непосредственно:

Выравнивая углы, по сторонам прямоугольника проводится линия.

Полученная фигура представляет собой эллипс. Каждый фокус отмечен координатами.

При вращении вокруг одной из осей координат образуется поверхность, которую называют эллипсоидом.

Радиус круга вписанного в эллипс

Окружность, вписанная в эллипс, касается только двух точек эллипса B1 и B2. Следовательно, радиус вписанной окружности r будет равен длине малой полуоси эллипса OB1:
р = б

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Окружность, описанная вокруг эллипса, касается только двух вершин эллипса A1 и A2. Следовательно, радиус описанной окружности R будет равен длине большой полуоси эллипса OA1:
Р = а

Площадь эллипсa

Формула определения площади эллипса такова:
S = паб

Площадь сегмента эллипсa

Формула площади отрезка, который находится в левой части хорды с координатами (х, у) и (х, -у):

С =	на Б	—	б	(	икс	√	a2 — x2 + a2 ∙ арксинус	икс	)
2	один	один

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Допустим, у нас есть следующая задача:
Вычислите площадь фигуры, заключенной в эллипс.

Решение:

Определим эллипс параметрическими уравнениями:
х = а⋅cos(t) и у = b⋅sin(t). Кстати, выразив косинус и синус каждого, а затем возведя оба уравнения в квадрат, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.

Ввиду симметрии эллипса относительно начала координат нам достаточно найти площадь 1/4 эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий чертеж.

Здесь x меняется от 0 до a, поэтому параметр t меняется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса найдем, интегрируя функцию, определяющую эллипс, в первой четверти координат.

Вывод формулы площади эллипса Вывод формулы площади эллипса

Периметр эллипсa

найти точную формулу длины окружности эллипса L очень сложно. Ниже приведена формула для приблизительной длины периметра. Максимальная ошибка для этой формулы составляет ~0,63 %:

L ≈ 4	паб + (а — б)2
а+б

Формулы определения длины дуги эллипсa:

1. Параметрическая формула для определения длины дуги эллипса, проходящей через большую полуось а и малую полуось Ь:

	т2
л =	∫	√a2sin2t + b2cos2t dt
	т1

2. Параметрическая формула для определения длины дуги эллипса, проходящей через большую полуось а, и эксцентриситета е:

	т2
л =	∫	√1 — e2cos2t dt, e < 1
	т1

Многофокусные эллипсы

N-эллипс — это обобщение эллипса, имеющего более двух фокусов. N-эллипсы также называют мультифокальными эллипсами, полиэллипсами, k-эллипсами, эллипсами Чирнхауза. Впервые такие фигуры были изучены Джеймсом Максвеллом в 1846 году.

Пусть на плоскости заданы n точек (ui, vi) (фокусов), тогда n-эллипс есть геометрическое место точек на плоскости, где сумма расстояний до n фокусов есть постоянная величина d формула, это предложение записывается как

1-эллипс — это окружность, 2-эллипс — это правильный эллипс. Обе эти кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая плавная за пределами зоны фокусировки.

Эллипс с 4 фокусами и фокусным расстоянием d = 7 Эллипс с 4 фокусами и фокусным расстоянием d = 7