Формула Герона для нахождения площади треугольника: определение, примеры

Основные понятия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сегментов. Они соединены тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки обычно называют сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — числовое свойство, дающее нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы площади:

• квадратный миллиметр (мм2);
• квадратный сантиметр (см2);
• квадратный дециметр (дм2);
• квадратные метры (м2);
• квадратные километры (км2);
• гектаров (га).

 

Формула площади

Площадь треугольника (S) равна квадратному корню из произведения полупериметра (p) на разницу между полупериметром и каждой из сторон (a, b, c).

S = √p(pa)(pb)(pc)

Полупериметр (p) рассчитывается следующим образом:

Примечание: Чтобы использовать формулу, вам нужно знать/найти длину всех сторон треугольника.

Свое название формула получила в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, изучавшего треугольники с целыми сторонами и площадью (героновы). К ним относится, например, прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который еще называют египетским.

Формула Герона применяется для нахождения площади треугольника через три стороны.

Площадь треугольника со сторонами а, b, с равна квадратному корню из полупериметра, умноженному на полупериметр минус а, на полупериметр минус b, на полупериметр минус с.

Полупериметр равен половине суммы длин всех сторон треугольника.

Площадь треугольника по формуле Герона

Доказательство

Данный:
АВС, АВ =
, БК =
, АС =
,
— квадрат
Азбука.

Доказывать:
, Где
.

Доказательство:

Каждый треугольник имеет по крайней мере два острых угла (свойство треугольника). Загляните
Углы АВС А и В острые. Тогда нижняя часть H высоты CH лежит на стороне AB. Пусть СН =
, АХ =
, НВ =
.

СТАРТ и
СНА — прямоугольная (т.к. СН — высота), то по теореме Пифагора
и
, где
, поэтому,
, или
, в котором
(1), то
, где

. (2)

Складывая равенства (1) и (2), получаем:

.

Поэтому

В котором
, затем:

Заменив выражения (4), (5), (6) и (7) выражением (3), получим:

Поэтому,
.

По формуле площади треугольника:
, Фонды,

.

Теорема доказана.

Полученная формула называется формулой Герона.

Шаг 1

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB=c, BC=a, AC=b. Обозначим угол C через α.

Докажем, что площадь треугольника ABC будет равна:

Вывод формулы Герона. Шаг 1

Шаг 2

По закону косинусов:

Выразим косинус:

Шаг 3

Воспользуемся следствием основного тригонометрического тождества:

Подставляем значение косинуса, полученное на шаге 2:

Сгруппируем выражения и воспользуемся формулами квадрата суммы и разности:

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Так как полупериметр равен:

Подставьте эти выражения в формулу высоты. Мы получаем:

Шаг 4

Формула площади треугольника через синус выглядит так:

Подставляем в формулу площади треугольника формулу синуса, полученную на шаге 3. После приведения получаем:

Выведена формула Герона.

Примеры задач

упражнение 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Сначала найдем полупериметр:
р = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, и подставим в нее заданные значения:
S = √12(12 — 6)(12 — 8)(12 — 10) = √12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 см2.

Задача 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы 15 см, а катета 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза равна с, известный катет равен а, а неизвестный катет равен b.

Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину катета b:
b2 = c2 – a2 = 152 – 92 = 144 см2, следовательно, b = 12 см.

Полуокружность треугольника равна:
р = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Осталось только воспользоваться формулой для нахождения площади:
S = √18(18 — 9)(18 — 12)(18 — 15) = √18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3 = 54 см2.

Читайте также: Треугольник

Формулы площади для любого треугольника

1. Площадь треугольника через основание и высоту

где основание а высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

, где , – стороны, – угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , – стороны, – радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

, где , , – стороны, – радиус вписанной окружности.

, где полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где сторона, а смежные углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала вычислите разницу между полупериметром и каждой из сторон. Затем найдите произведение полученных чисел, умножьте результат на полупериметр и найдите корень полученного числа.

, где , , – стороны, – полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника чаще всего используется одна формула — половина произведения катетов. Потому что их всегда можно найти с помощью правил тригонометрии или теоремы Пифагора.

, где , — стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — один из прилежащих острых углов.

Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где катет, угол прилежащий.

Катетом обычно называют одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где – гипотенуза, – радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катет, — полупериметр, который можно найти по формуле: