Как найти косинус угла между векторами?

Векторы в пространстве и метод координат

Есть два способа решения задач стереометрии

Первый – классический – требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения строить чертеж и сводить трехмерную задачу к планиметрической. Метод хорош тем, что развивает мозг и пространственное воображение.

Другой метод заключается в использовании векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Это очень удобно, особенно когда до экзамена осталось немного времени, а решить проблему хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними, то поймете векторы в пространстве. Многие понятия будут знакомы.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим подходящий масштаб.

В результате получается система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая из точек характеризуется тремя числами – координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по оси Y (ордината) равна 3, а координата Z (приложенная) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и в плоскости, из конечной координаты вычитаем начальную координату.

Длина вектора

в пространстве — расстояние между точками А и В. Находится как квадратный корень из суммы квадратов векторных координат.

Пусть точка М будет серединой отрезка АВ. Координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов воспользуемся уже знакомым правилом треугольника и правилом параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы. Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно, если эти линии пересекаются. Помните, что так называются линии, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K являются серединами ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

Если у вас есть куб, то вам повезло. Он идеально вписывается в прямоугольную систему координат. Построить чертеж:

Длина ребра куба не указана. Как бы то ни было, угол между АЕ и ВК от этого не зависит. Итак, возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые АЕ и БК — перекрестные. Найдите угол между векторами

2. В правильной квадратной пирамиде SABCD, где все ребра равны 1, точки E, K являются серединами ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Из прямоугольного треугольника AOS находим

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой координат центра отрезка и найдем координаты точек Е и К.

Теперь покажем, как ввести систему координат в треугольной призме:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, у которой все ребра равны 1, точка D является серединой ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка А будет началом координат. Возьмем ось X параллельной стороне BC, а ось Y перпендикулярной ей. Другими словами, отрезок AH будет лежать на оси Y, которая является высотой треугольника ABC. Отдельно рисуем нижнее основание призмы.

Точка D является центром A1B1. Поэтому воспользуемся формулами для координат середины
сегмент.

Найдите координаты векторов
, а затем угол между ними:

Посмотрите, как легко найти угол между линиями, используя векторы и координаты. А если вы хотите найти угол между плоскостями или между линией и плоскостью? Для решения таких задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Читайте также: Единицы измерения площади, таблицы перевода

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами — эти понятия естественно применимы и интуитивно понятны при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже мы научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами перейдем к графической иллюстрации: определим два вектора a → и b → , не равные нулю, на плоскости или в трехмерном пространстве. Зададим также произвольную точку O и начертим векторы OA → = b → и OB → = b →

Угол между векторами a → и b → — это угол между лучами OA и OB .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

очевидно, угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0, когда векторы сонаправлены, и a → , b → ^ = π, когда векторы противоположны.

Вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радианам.

Если хотя бы один из векторов равен нулю, угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит, и сам угол обычно можно определить либо с помощью скалярного произведения векторов, либо с помощью теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух заданных векторов.

По определению скалярный продукт равен a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → отличны от нуля, можно разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получив таким образом формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторы:

потому что а → , б → ^ знак равно а → , б → а → б →

Эта формула используется, когда входные данные включают длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Их длины равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Первых данных достаточно, чтобы воспользоваться полученной выше формулой, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = arc cos (- 1 2) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, когда векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = (​ax, ay), b → = (​​bx, by) выглядит так:

потому что a → , b → ^ = ax bx + ay byax 2 + ay 2 bx 2 + by 2

А формула нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = (​ax, ay, az), b → = (​​bx, by , bz) будет выглядеть так: cos a → , b → ^ = ax bx + ay by + az bzax 2 + ay 2 + az 2 bx 2 + by 2 + bz 2

Исходные данные: векторы a → = (​2 , 0 , — 1), b → = (​1 , 2 , 3) ​​в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи сразу можно воспользоваться формулой:

потому что a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = arc cos (- 1 70) = — arc cos 1 70

1. Также угол можно определить по формуле:

потому что a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

но сначала вычислить длины векторов и скалярное произведение в координатах: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = — 1 потому что a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = — 1 5 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — арккосинус 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — arc cos 1 70

Также распространены проблемы, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить угол. И так, для определения угла между векторами при заданных координатах точек необходимо вычислить координаты векторов как разность между соответствующими точками начала и конца вектора.

Исходные данные: точки А (2, — 1), В (3, 2), С (7, — 2) заданы на плоскости в прямоугольной системе координат. Необходимо определить косинус угла между векторами AC → и BC → .

Решение

Найдите координаты векторов по координатам заданных точек AC → = (​7 — 2 , — 2 — (- 1)) = (5 , — 1) BC → = (​​7 — 3 , — 2 — 2) = (4 , — 4)

Теперь воспользуемся формулой для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos AC → , BC → ^ = (AC → , BC →) AC → BC → = 5 4 + (- 1) (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Ответ: cos AC → , BC → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить с помощью теоремы косинусов. Проецируем векторы OA → = a → и OB → = b → из точки O, тогда по теореме косинусов в треугольнике OAB будет выполняться равенство:

АВ 2 = ОА 2 + ОВ 2-2 ОА ОВ cos (∠ АОБ) ,

б → — а → 2 = а → + б → — 2 а → б → потому что (а → , б →) ^

и отсюда выводим формулу косинуса угла:

потому что (а → , б →) ^ знак равно 1 2 а → 2 + б → 2 — б → — а → 2 а → б →

Для использования полученной формулы нам понадобятся длины векторов, которые легко определить по их координатам.

Хотя этот метод имеет место быть, формула все же используется чаще:

Формула вычисления угла между векторами

cosα =	аб
|а|·|б|

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Пример 1. Найти угол между векторами а = {3; 4} и б = {4; 3}.

Решение: Найдите скалярное произведение векторов:

аб = 3 4 + 4 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

|а| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
|б| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5

Найдем угол между векторами:

cosα =	аб	=	24	=	24	= 0,96
|а| |б|	5 5	25

Пример 2. Найти угол между векторами а = {7; 1} и б = {5; 5}.

Решение: Найдите скалярное произведение векторов:

аб = 5 7 + 1 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

|а| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2
|б| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cosα =	аб	=	40	=	40	=	4	= 0,8
|а| |б|	5√2 5√2	50	5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и б = {4; 4; 2}.

Решение: Найдите скалярное произведение векторов:

аб = 3 4 + 4 4 + 0 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

|а| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|б| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Найдем угол между векторами:

cosα =	аб	=	28	=	14
|а| |б|	5 6	15

Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и б = {5; 5; 0}.

Решение: Найдите скалярное произведение векторов:

аб = 1 5 + 0 5 + 3 0 = 5.

Найдем модули векторов:

|а| = √12 + 02 + 32 = √1 + 9 = √10
|б| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cosα = ab|a| |б| = 5√10 5√2 = 12√5 = √510 = 0,1√5