Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи

Содержание

Свойства тетраэдра.
Типы тетраэдров.
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Формула вычисления объема тетраэдра
1. Общая формула (через площадь основания и высоту)
2. Объем правильного тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Примеры задач

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, проходящие через пары ребер тетраэдра, пересекаются и определяют описанную параллельную трубу вокруг тетраэдра.

Плоскость, проходящая через середины 2-х ребер тетраэдра, которые пересекаются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианные тетраэдры пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в соотношении 3:1, если считать от вершин. Она также делит бимедию на две равные части.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр – это такая правильная треугольная пирамида, каждая грань которой оказывается равносторонним треугольником.

В правильном тетраэдре каждый двугранный угол при ребрах и каждый трехгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр — это один из 5 правильных многоугольников.

Помимо правильного тетраэдра внимания заслуживают такие виды тетраэдров:

— Равногранный тетрахедр, у него качать грань представления сообщение треуголник. Все грани-треугольники такие тетраэдры высокой плотности.

— Ортоцентрический тетраэдр, каждая высота которого опущена из вершины на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

— Приямоугольный тетрахедр, у него красивое ребро, прилежанее к одному из вришне, прилежанее к одину из вришне, прилежающим к этому же вришне.

— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, коройы таким участовым:

есть сфера, которая касается каждого ребра,
суммы длин пересекающихся ребер равны,
суммы двугранных углов при противоположных сторонах равны,
окружности користые вписаны в граниты,
каждый тетраэдр, образованный в масштабе тетраэдра, — описан,
перпендикуляры, приложенные к граням центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

— Соразмерный тетрахедр, бивысоты у него игдений.

— Инцентрический тетраэдр, его отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Читайте также: Объём конуса

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраедр, у хорошо все грани равносторонние треугольники из вероятности.
Свойства правильного тетраэдра:

Все гранитности.
Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
Поскольку каждая его вершина является вершиной трех прямоугольных треугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
Любая вершина правильного тетраэдра проецируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высоты треугольника).

Лат нам правильный дан тетрахедр ABCD с ребрами скоростей a.DH – его высота.
Произведем автомобильно постанения BM — высота треугольника ABC и DM — высота треугольника ACD.
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM, где DH — высота тетраэдра, а также высота треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на страну MB можно найти, формулу животного

$h_BM=2sqrt{p(p-BM)(p-DM)(p-BD)}/BM$
, где
БМ=
, ДМ=
, ВД=а,
р=1/2 (БМ+БД+ДМ)=
Подставляем эти значения в формулу высоты. Получим
$h_BM=2sqrt{1/2a(sqrt{3}+1)(1/2a(sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2)(1/2a(sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2)(1/2a(sqrt{3}+1)-a)}/(a sqrt{3}/2)$
Вынесем 1/2а. Получим

$2sqrt{(1/2a)^{4}(sqrt{3}+1)*1*1*(sqrt{3}-1)}/(a sqrt{3}/2)$
Применим формулу разности квадратов
$2sqrt{(1/2a)^{4}*2}/(a sqrt{3}/2)$
После небольших изменений получим
$(2a^{2}sqrt{2}*2)/(4a sqrt{3}) = sqrt{2/3}a$

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

,
где $S=1/2aa sqrt{3}/2= sqrt{3}/4a^{2}$
,

Подставляя эти значения, мы получаем
$V=1/3 sqrt{3}/4a^{2}a sqrt{3}/2 = sqrt{3}/12 a^{3}$

Таким образме формулы объема для правильного тетраэдра

$V=кв.{3}/12 a^{3}$

где а –ребро тетраедра

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

где h — высота тетраедра, a — ребро тетраедра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. Не обязательно подставлять высоту тетраэдра и площадь правильного (равноправного) треугольника.

где V — обьем тетраедра, a — ребро тетраедра.

Основные формулы правильного тетраэдра:

Где S — Площадь профессии правильного тетраэдра;

В – объем;

h — высота, опущенная к основанию

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

R — радиус описанной окружности;

а — длина ребра.

Формула вычисления объема тетраэдра

1. Общая формула (через площадь основания и высоту)

Объем (V) тетраэдра считается таким же, как объем любой пирамиды. Он равен одной трети произведения площади любой грани и опущенной на нее высоты:

S – площадь лица ABC, в данном случае выступающая в качестве основания
h – высота, опушенная на грань ABC

2. Объем правильного тетраэдра

В правильном тетраэдре все грани равнобедренные треугольники. Объем этой фигуры равен одной двенадцатой произведения длины ее ребра на куб квадратного корня из числа 2.

Т.к это правильный тетраедр, все его ребра степени (AB = BC = AC = AD = BD = CD).

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Лат нам даны кородинты верхни тетрахедра

Из вершины
продем тошнота $надчеркивание{A_1A_2}$
, $надчеркивание{A_1A_3}$
, $надчеркивание{A_1A_4}$
.
Чтобы найти координаты каждого из этих векторов, прочитаем из координат конца соответствующую координату начала. Получим
$линия {A_1A_2} (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$
$надчеркивание{A_1A_3}(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$
$надчеркивание{A_1A_4}(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)$

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов таков – смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр представляет собой пирамиду с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то имеет смысл следующая формула

$V= разделитель{|}{надчеркнутый{A_1A_2},надчеркнутый{A_1A_3},надчеркнутый{A_1A_4}}{|}$

$delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 x_3-x_1 y_3 -y_1 z_3-z_1 x_4-x_1 y_4-y_1 z_4-z_1}}{|}$

Для закрепления материала рассмотрим пример использования формулы объема тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра равен 2 см3. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра рассчитывается по формуле $V=кв.{3}/12 a^{3}$
Затем $2=квадрат{3}/12 a^{3}$
Выразим куб страны $a^{3}=24/кв.{3}$
Если сторону увеличить в 3 раза, то куб увеличится в 27 раз. Затем
${a_1} ^{3}=24*27/кв.{3}$
м
Найдем обьем