Как умножить матрицу на число: правило, свойства, примеры

Операция умножения матриц.

Операция умножения матриц не очень сложная операция. Умножение матриц лучше всего понять на конкретных примерах, так как само по себе определение может сбивать с толку.

Начнем с самого простого примера:

Необходимо умножить
на
. Прежде всего, приведем формулу для этого случая:

— Здесь есть четкая закономерность.

Вот более сложный пример:

Умножить
на
.

Формула для этого случая: 
.

Умножение матриц и результат: 

В результате получается так называемая нулевая матрица.

Очень важно помнить, что «правило перестановки термов» здесь не работает, так как почти всегда MN ≠ NM. Поэтому при выполнении операции умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.

Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:

Умножить
на
.

Формула очень похожа на предыдущие:

Матричное решение: 
.

Правило умножения матрицы на число

Результатом умножения матрицы (А) на любое ненулевое число (m) является матрица того же порядка (размера), элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на заданное число.

В = м ⋅ А

В общем, это выглядит так:

Согласно законам умножения порядок множителей не имеет значения, т.е.:

м ⋅ А = А ⋅ м = В

Следствие: если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно удалить из матрицы.

Свойства произведения матрицы и числа

1. Если матрицу умножить на единицу (или наоборот), получится та же матрица.

1 ⋅ А = А ⋅ 1 = А

2. Результатом умножения матрицы на ноль является Θ, где Θ — нулевая матрица (все ее элементы равны нулю).

0 ⋅ А = А ⋅ 0 = Θ

3. Умножение числа на сумму матриц равносильно сумме произведений данного числа на каждую матрицу в отдельности.

м ⋅ (А + В) = мА + мВ

4. Произведение суммы чисел и матрицы такое же, как сумма произведений каждого числа и матрицы.

(м + п) ⋅ А = мА + нА

5. Ассоциативный закон умножения применим и к матрицам:

(м ⋅ п) ⋅ А = м ⋅ (п ⋅ А)

Экономический смысл умножения матрицы на число

Предположим, что в трех магазинах продается пять различных видов товаров. Тогда отчет о продажах за год можно представить в виде матрицы,

где – количество товаров типа j-te, проданных i-м магазином в течение года. Если продажи каждого вида продукции увеличились на 20% в течение следующего года, равенство верно для любых i, j. В этом случае отчет за следующий год получается как Y = 1,2X, т.е путем умножения исходной матрицы A на 1,2.

Читайте также: Свойства корней и степеней: формулы

Примеры задач

Пример 1
Определите, чему равно 4A, если исходная матрица A выглядит так:

Решение:

Пример 2
Определите, есть ли у приведенной ниже матрицы общий делитель, и если да, то переместите его за его пределы.

Решение:
Наименьшим общим делителем всех элементов данной матрицы является число 2, поэтому его можно вынести за скобки.

Пример 1

Умножить матрицу
за номер
.

Решение: умножить матрицу
с числом 2, вы должны умножить каждый элемент массива на это число. Итак, мы получаем:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрице
.

Решение: Чтобы найти обратную матрицу, умножьте исходную матрицу на
.

.

Пример 3

Данные матрицы
и
. Рассчитать
.

Решение:

.

Уравнения и их решение

Теперь, когда время было уделено произведению матрицы на число, а также другим элементарным операциям с рассматриваемыми математическими объектами, можно переходить к непосредственному решению уравнений. Это не самый сложный процесс. Математика здесь примерно на школьном уровне.

Формула расчета матричных уравнений точно такая же, как и для простых алгебраических, где есть умножение. Здесь на помощь приходит теория нахождения произведения матриц.

Пусть дано: A * X = B или X * A = B, где A и B — известные матрицы, а X неизвестно. Кроме того, ситуация будет зависеть от конкретных обстоятельств:

1. В первом случае, в случае уравнения А*Х=В, обе части надо умножить на обратную А-матрицу А-1 в левой части. Получается, что Е*Х=А-1*В, где Е — единичная матрица. Отсюда следует, что E * X = X. Результат вычислений: X = A-1 * B.
2. Во втором случае при уравнении X * A = B ситуация будет аналогичной. Но меняется направление умножения на матрицу, обратную матрице А. Элемент B будет умножен на тот, что справа. Вы получаете Х * А * А-1 = В * А-1. Результат X = B * A-1.
3. Есть и третий случай — когда неизвестная матрица в уравнении находится в середине произведения трех матриц: А*Х*В=С. Здесь нужно умножить известную матрицу из левой части на обратную единице слева в данном уравнении. А справа от матрицы обратная той, что справа. Результат следующий: X = A-1 * C * B-1.

Если X в данном примере — обычное число, то формула нахождения результата будет точно такой же, как и в линейных уравнениях.