Математика эллипса: всё, что нужно знать

Вычисления

Определение эллипсa

Определение Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.

F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = константа

эллипс эллипс
Рисунок 1 Рис.2

Элементы эллипсa

F1 и F2 — фокусы эллипса Оси эллипса.

А1А2 = 2а — главная ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большой оси эллипса и проходит через центр)

а — большая полуось эллипса

б — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (пересечение большой и малой осей эллипса)

Вершины эллипса A1, A2, B1, B2 являются точками пересечения эллипса с малой и большой осями эллипса. Диаметр эллипса — это отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через центр. Фокусное расстояние с равно половине длины отрезка, соединяющего фокусы эллипса, определяется отношением фокусного расстояния с к большой полуоси а. Для эллипса эксцентриситет всегда будет 0 < е < 1, для а окружность e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

е = с
один

Радиусы фокуса эллипса sar1, r2 — это расстояния от точки эллипса до фокусов. Радиус эллипса R — это отрезок, соединяющий центр эллипса O с точкой на эллипсе.

Р = аб  = б
√a2sin2φ + b2cos2φ √1 — e2cos2φ

где e — эксцентриситет эллипса, φ — угол между радиусом и большой осью A1A2 Фокальный параметр эллипса ap — это отрезок, выходящий из фокуса эллипса и перпендикулярный большой полуоси:

р = би 2
один

Коэффициент сжатия эллипса (эллиптичность) k представляет собой отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Поскольку малая полуось эллипса всегда меньше большой, k < 1, для окружности k = 1:

к = б
один

к = √1 — е2

где e — эксцентриситет. Сжатие эллипса (1 — k) — это величина, равная разнице между единицей и эллиптическим:

1-к = аб
один

Прямые линии эллипса — это две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до ориентира равно ре.

Читайте также: Эллипс

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и фокальным радиусом r2 (рис. 2, точка М3).2. Уравнение касательной к эллипсу в точке M с координатами (xM, yM):

1 = ххМ  + ГгггМ
а2 би 2

3. Если эллипс разрезать двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков, образованных на пересечении прямых с эллипсом, всегда будет проходить через центр эллипса. (Это свойство позволяет получить центр эллипса построением с помощью циркуля и линейки.)4. Эволюция эллипса представляет собой астероид, вытянутый вдоль короткой оси.5. Если в треугольник ∆ ABC вписать эллипс с фокусами F1 и F2, то будет выполняться следующее соотношение:

1 = F1A ∙ F2A  + F1B ∙ F2B  + F1C ∙ F2C
КА∙АВ АВ∙ВС До нашей эры∙КА

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.

1. Каноническое уравнение содержит только четные степени x и yi, поэтому если точка (x;y) принадлежит эллипсу, то точки (x;-y), (-x;y), (-x;- y) также принадлежат к нему. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей Ох и Оу, а также точки О(0; 0), являющейся центром эллипса.

2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Установив y = 0, мы находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a; 0), где ось быка пересекает эллипс. Если в уравнении положить x = 0, то найдем точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0;b) и B₂(0;-b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса.

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из канонического уравнения также следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т е имеют место неравенства

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.

4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных членов (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при увеличении одного члена другой будет уменьшаться, т.е если |x| увеличивается, то |y| уменьшается и наоборот.

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовых координатах. Если центр эллипса равен О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, эллипс описывается уравнением:

1 = х2  + у2
а2 би 2

Если центр эллипса О сместить в точку с координатами (хо, уо), то уравнение будет таким:

1 = (х — хо)2  + (ооо) 2
а2 би 2

Параметрическое уравнение эллипсa:

{ х = а потому что α   0 ≤ α < 2π
у = б грех α

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура достаточно проста, длину ее окружности можно точно определить, вычислив так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако в начале 20 века индийский математик-самоучка Рамануджан предложил довольно простую формулу длины эллипса, которая аппроксимирует результат интегралов сверху снизу. То есть рассчитанное по ней значение оценочной стоимости будет несколько меньше фактической длины. Эта формула такова: P ≈ pi * 3 * (a+b) — √((3 * a + b) * (a + 3 * b))), где pi = 3,14 — число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса равны a = 10 см и b = 8 см, поэтому длина P = 56,7 см.

Любой может проверить, что если a = b = R, т е рассматривается правильный круг, формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Обратите внимание, что в учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Это проще, но и менее точно. Таким образом, если применить его к текущему случаю, мы получим значение P = 56,5 см.

Радиус круга вписанного в эллипс

Окружность, вписанная в эллипс, касается только двух точек эллипса B1 и B2. Следовательно, радиус вписанной окружности r будет равен длине малой полуоси эллипса OB1:
р = б

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Окружность, описанная вокруг эллипса, касается только двух вершин эллипса A1 и A2. Следовательно, радиус описанной окружности R будет равен длине большой полуоси эллипса OA1:
Р = а

Периметр эллипсa

найти точную формулу длины окружности эллипса L очень сложно. Ниже приведена формула для приблизительной длины периметра. Максимальная ошибка для этой формулы составляет ~0,63 %:

L ≈ 4 паб + (а — б)2
а+б

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения b/a. Когда a = b = R, эллипс становится кругом, уравнение эллипса становится x² + y² = R². Однако чаще отношение с/а используется как характеристика формы эллипса.

Отношение c/a половины расстояния между фокусами большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой «эпсилон» ε:

Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем менее сплюснутым будет эллипс, то есть он будет больше похож на круг, будучи ближе к нему по форме. Если мы установим ε = 0, эллипс станет кругом.

Пусть M(x; y) — произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются радиусами фокуса точки M.
очевидно, r1 + r2 = 2a.

Тогда есть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx

Выводим эти формулы

Прямые x = ±a/ε называются направляющими эллипса. Значение направляющей эллипса раскрывается следующим утверждением.

Теорема

Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d — расстояние от этой же точки до линии направления, соответствующей этому фокусу, то отношение r/d — постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса : г/д = е.

Из равенства a² — c² = b² следует, что a > b.Если a < b, то каноническое уравнение (x/a)² + (y/b)² = 1 определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на OY оси, а малая ось 2а которого лежит на оси Ox. Фокусы такого эллипса находятся в точках F1(0; +c) и F₂(0; -c), где c = √(b² — a²).

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Допустим, у нас есть следующая задача:
Вычислите площадь фигуры, заключенной в эллипс.

Решение:

Определим эллипс параметрическими уравнениями:
х = а⋅cos(t) и у = b⋅sin(t). Кстати, выразив косинус и синус каждого, а затем возведя оба уравнения в квадрат, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.

Ввиду симметрии эллипса относительно начала координат нам достаточно найти площадь 1/4 эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий чертеж.

Здесь x меняется от 0 до a, поэтому параметр t меняется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса найдем, интегрируя функцию, определяющую эллипс, в первой четверти координат.

Вывод формулы площади эллипса Вывод формулы площади эллипса

Длина дуги эллипса (периметр эллипса)

Вывод длины дуги эллипса с помощью эллиптического интеграла Вывод длины дуги эллипса с помощью эллиптического интеграла

Узнать об эллиптических интегралах

Стоит отметить, что для окружности все оказывается гораздо проще, и мы легко можем вывести известную нам со школы формулу C = 2πR.

Площадь сегмента эллипса

Площадь отрезка между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки (x;y) и (x;-y), можно определить по формуле:

Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1, площадь можно определить по формуле

Физический смысл фокусов

1. Свет от источника, расположенного в одном из фокусов, отражается по эллипсу так, что отраженные лучи пересекаются в другом фокусе.

2. Свет от источника вне какой-либо из точек фокуса отражается по эллипсу так, что отраженные лучи не пересекаются ни в одном фокусе.

3. Если F1 и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой F₁M равен углу между касательной и прямой F₂M.

4. Прямая, проведенная через середины отрезков, отсекаемых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построить с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а затем оси, вершины и фокусы.

5. Эволюция эллипса – это астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси. Развитие плоской кривой — это геометрическое место точек, которые являются центрами кривизны кривой. По своей эволюции любая кривая является эвольвентой .

6. Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную область, эллипсы и только те имеют максимальную аффинную длину .
Аффинная длина — это параметр плоской кривой, сохраняющийся при эквиаффинных преобразованиях (т е сохраняющих площадь аффинных преобразованиях).

7. Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стене с горизонтальным полом, причем один конец лестницы скользит по стене (постоянно касаясь ее), а другой конец лестницы скользит по пола (касается все время), то любая неподвижная точка лестницы (не на концах) будет двигаться по дуге эллипса. Это свойство остается верным, если мы берем точку не внутри сегмента лестницы, а на его воображаемом продолжении. Последнее свойство используется в описанной выше эллипсографии.

Постройте эллипс с помощью иголок, ниток и карандаша.

Постройте эллипс с помощью иголок, ниток и карандаша.
Построение эллипса с помощью иголок, ниток и карандаша Построение эллипса с помощью иголок, ниток и карандаша.

Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов — Солнце. Этот закон был открыт Кеплером. Земля проходит свою ближайшую точку к Солнцу 4 января, поэтому для Северного полушария зима немного теплее, чем для Южного. Кроме того, из-за такой формы орбиты зима для Северного полушария несколько короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием составляет не ровно 1/2 года, а меньше. На самом деле температура на Южном полюсе ниже, чем на Северном полюсе.

Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения будут собираться в другом фокусе. Название «фокус» связано только со словом «фокус» лучей. Если зеркала разместить на орбите Земли так, чтобы они были повернуты точно по касательной к орбите, то все лучи соберутся в 2 фокуса, то есть из этой точки вы увидите, что освещена вся орбита.

Последнее свойство используется в физике для построения оптических резонаторов в лазерной технике. Лампа накачки размещена вдоль одной из фокальных осей зеркально-отражающего эллиптического цилиндра, а лазерная линейка – вдоль другой фокальной оси. Активная среда размещается на другой фокальной оси. А характеристики эллиптической поверхности помогают сделать так, чтобы вся энергия лампы накачки собиралась в области активной среды.

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Поместите лампочку в один из фокусов зеркального эллипса
и следуйте за лучами света, исходящими от него. Отразившись от эллипса, они сойдутся в другом фокусе. И они будут там одновременно:

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Наглядно запомните геометрическое определение эллипса: эллипс — это множество точек М на плоскости, сумма расстояний до данных точек А и В постоянна:

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Давайте решим справочную задачу. Даны две точки по одну сторону от прямой. Мы хотим добраться из пункта А в пункт Б и по пути набрать воды из реки l.

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Мы хотим добраться из пункта А в пункт Б и по пути набрать воды из реки l. В какой точке М следует набрать воду, чтобы общий путь имел наименьшую длину?

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Рассмотрим точку B’, симметричную точке B. Тогда XB = XB’. Длина AX+XB = AX+XB’ минимальна, когда ломаная AXB’ становится прямой линией.

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать
Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать
Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Мы хотим добраться из пункта А в пункт Б и по пути набрать воды из реки l. Где вы берете воду? Ответ: на пересечении l и AB’ (где B’ симметрично B относительно l). При этом мы доказали равенство углов. Мы хотим добраться из пункта А в пункт Б и по пути набрать воды из реки l. Где набрать воду?
Ответ 1: на пересечении улиц l и AB’.
Ответ 2: где «угол падения равен углу отражения».

Принцип Ферма: свет проходит кратчайший путь между двумя точками.

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

Вернемся к доказательству оптического свойства эллипса. На эллипсе сумма AM+MB постоянна. А для точек вне эллипса эта сумма больше, AX+XB > AM+MB.

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

В частности, если провести касательную к эллипсу в точке М, то для любой другой точки X на этой касательной АХ+ХВ > АМ+МВ. Итак, согласно предыдущей задаче, «угол падения равен углу отражения».

Эллиптическая математика: все, что вам нужно знать

…согласно предыдущему упражнению, «угол падения равен углу отражения». Доказано оптическое свойство эллипса.

Многофокусные эллипсы

N-эллипс — это обобщение эллипса, имеющего более двух фокусов. N-эллипсы также называют мультифокальными эллипсами, полиэллипсами, k-эллипсами, эллипсами Чирнхауза. Впервые такие фигуры были изучены Джеймсом Максвеллом в 1846 году.

Пусть на плоскости заданы n точек (ui, vi) (фокусов), тогда n-эллипс есть геометрическое место точек на плоскости, где сумма расстояний до n фокусов есть постоянная величина d формула, это предложение записывается как

1-эллипс — это окружность, 2-эллипс — это правильный эллипс. Обе эти кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая плавная за пределами зоны фокусировки.

Эллипс с 4 фокусными точками и фокусным расстоянием d = 7
Эллипс с 4 фокусами и фокусным расстоянием d = 7 Эллипс с 4 фокусами и фокусным расстоянием d = 7

Оцените статью
Блог о Microsoft Word