Определение медианы
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
- BD – медиана, проведенная в сторону AC;
- АД = ДС.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (АВ = ВС = АС).
Особенности медианы
С латинского «медиана» переводится как «средняя», так называется отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположного угла отрезка. Точку, в количестве она соприкасается с прямым, найти програзном медианы. Доступны только бесплатные каналы. Так, можно, естественно медиану, найти сторону треугольника, его площадь или вершину.
К свойствам отрезков, делящих сторону пополам в произвольном треугольнике, относятся:
- деление медиана в восприятии их пересечения в районе 2:1;
- разделить фигуру на 2 треугольника с равными квадратами, то есть равными по размеру;
- если построить 3 медианы, треугольник будет разделен на 6 одинаковых фигур;
- естественное значение строн, параметры лунгу можно вычислить по следний форум: m = √(2b2 + 2c2 — a2) / 2.
Чтобы доказать равенство квадратов, нужно построить треугольник и провести медиану, например, из вершины В. Точку пересечения с противоположной стороной можно обозначить буквой D. Площадь новых фигур будет быть равным: S1 = (AD * BE) / 2 и S2 = (DC * BE) / 2. Так как ограниченная прямая является медианой, то AD = DC. Отсюда следует, что фигура делится на 2 равные части. Итак, S1 = S2, что и требовалось доказать.
Доказательство равенства 6 фигур при построении трех медиан: пусть одна из полученных фигур имеет вершины А, О, F. Если из угла опустить перпендикуляр к прямой ВF, то будет истинное равенство: S = (OF * AK) / 2 = (свои * AK) / 6 = S / 3. Беря во рассекает, что линия рассекает фигуру на 2 тяжелые части, можно развернуть о объявление запись: Sabf = Sabc / 2 → Saof = Sabf / 3 = Sabc / 6.
В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой. Докажите это утверждение просто. Пусть есть многоугольник ABC. Из вершины B опушна высота BD. Получившиеся 2 фигуры равны: ABD = CDB, следовательно, их сторона BD общая и является отрезком. Следовательно, AD = CD. Так как гипотенузы треугольников равны, то АВ=ВС. Замечательное свойство доказано.
Есть 2 следствия от свойств:
- если вокруг прямоугольного треугольника описать окружность, то ее центр совпадает с серединой гипотенузы;
- треуголник, где медиана реване профессиональное повышение квалификации, к количеству ея протели, будет рекстунгым.
Эти свойства и последствия очень важны. Зная их и формулы нахождения площади, решить большинство задач не составит труда. Но при этом часто приходится пользоваться формулой нахождения длины медианы.
Формула медианы равностороннего треугольника
Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС высота АН. Он будет казаться средним и высоким. Медиана разбивает треуголник на два рекладных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС.
Инжир. 2. Рисунок к задаче.
В применимой теореме Пифагора:
$$АС^2=АХ^2+ХК^2$
$$AH=sqrt{AB^2-BH^2}$
Каждую из сторонно значимую букву а. Тогда АВ=а; $$ВН={аover2}$
$$АН=sqrt{a^2-{aover2}^2}=sqrt{a^2-{a^2over4}}$
Это формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, вы можете использовать тригонометрические тождества и вывести другую формулу:
$$sin(ACH)={AHover AC}$
При этом угол АСН равен 60 дегарам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={sqrt{3}over 2}$
Выразим ведущей медианы АН
$$АН=sin(ACH)*AC={sqrt{3}over2}*AC={sqrt{3}over2}*a$
Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.
Свойства медианы равностороннего треугольника
Свойство 1
Любая медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и медианным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого она проведена.
- BD – медиана, высота и медиана перпендикуляра к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
- ∠ABD = ∠CBD.
Свойство 2
Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. АФ = БД = СЕ.
Свойство 3
Медианы в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.
- G – центр тяжести (центрой) треугольника;
- АГ = 2ГФ;
- БГ = 2ГД;
- ЦГ = 2ГЭ.
Свойство 4
Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных (равных) прямоугольных треугольника. Т.е. С1 = С2.
Читайте также: Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения, как умножать десятичные дроби
Свойство 5
Равносторонний треугольник разделен тремя медианами на шесть равносторонних треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6.
Свойство 6
Точка пересечения медиан равностороннего треугольника является центром описанной окружности и вписанной окружности.
- r – радиус вписанной окружности;
- R – радиус описанной окружности;
- R = 2r (следует из свойства 3).
Свойство 7
Длину медианы равностороннего треугольника можно рассчитать по формуле:
а – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.
Решение
Чтобы найти требуемое значение, примените приведенную выше формулу:
Задача 2
Наибольшая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равна 8 см. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Нарисуем дрежей сообщение сообщение отзывым такаи.
Из свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуется 6 прямоугольных треугольников.
- BG = 8 см (самая большая строна, на языке гипотенузой △BFG);
- FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза менеше гипотенузы BG – след из Свойства 3).
Применим теорему Пифагора, чтобы найти длину второй ноги BF:
BF2 = BG2 – FG2 = 82 – 42 = 48 см2.
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.
BF соответствует полове смотров BC (т.к медиана делит строней треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.
Теорема о медиане правильного треугольника
В правильном треугольнике медиана, проведенная к любой стороне, является его биссектрисой, высотой и медианным перпендикуляром
Медиана равностороннего треугольника
Шаг 1
Рассмотрим равноугольный треугольник АВС (АВ=ВС=АС).
Пусть BF, AD, CE – медианы.
Докажем, что они являются биссектрисами, высотами и срединными перпендикулярами.
Медиана равностороннего треугольника. Доказательство свойств. Шаг 1
Шаг 2
Так как АВ=АС и AD – медиана на основании ВС, то по свойству равнобедренного треугольника AD – высота и биссектриса.
Поскольку AD перпендикулярен стороне ВС и делит ее пополам, то AD является средним перпендикуляром.
Медиана равностороннего треугольника. Доказательство свойств. Шаг 2
Шаг 3
Так как АС=ВС и СЕ – медиана на основании АВ, то по свойству равнобедренного треугольника СЕ – высота и биссектриса.
Поскольку СЕ перпендикулярен стороне АВ и делит ее пополам, то СЕ является срединным перпендикуляром.
Медиана равностороннего треугольника. Доказательство свойств. Шаг 3
Шаг 4
Так как АВ=ВС и BF – медиана на основании AC, то по свойству равнобедренного треугольника BF – высота и биссектриса.
Так как BF перпендикулярен стороне AC и делит ее пополам, то BF является средним перпендикуляром.
Теория доказана.