Медиана равностороннего треугольника abc: свойства, примеры задач

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

• BD – медиана, проведенная в сторону AC;
• АД = ДС.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (АВ = ВС = АС).

Особенности медианы

С латинского «медиана» переводится как «средняя», так называется отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположного угла отрезка. Точку, в количестве она соприкасается с прямым, найти програзном медианы. Доступны только бесплатные каналы. Так, можно, естественно медиану, найти сторону треугольника, его площадь или вершину.

К свойствам отрезков, делящих сторону пополам в произвольном треугольнике, относятся:

• деление медиана в восприятии их пересечения в районе 2:1;
• разделить фигуру на 2 треугольника с равными квадратами, то есть равными по размеру;
• если построить 3 медианы, треугольник будет разделен на 6 одинаковых фигур;
• естественное значение строн, параметры лунгу можно вычислить по следний форум: m = √(2b2 + 2c2 — a2) / 2.

Чтобы доказать равенство квадратов, нужно построить треугольник и провести медиану, например, из вершины В. Точку пересечения с противоположной стороной можно обозначить буквой D. Площадь новых фигур будет быть равным: S1 = (AD * BE) / 2 и S2 = (DC * BE) / 2. Так как ограниченная прямая является медианой, то AD = DC. Отсюда следует, что фигура делится на 2 равные части. Итак, S1 = S2, что и требовалось доказать.

Доказательство равенства 6 фигур при построении трех медиан: пусть одна из полученных фигур имеет вершины А, О, F. Если из угла опустить перпендикуляр к прямой ВF, то будет истинное равенство: S = (OF * AK) / 2 = (свои * AK) / 6 = S / 3. Беря во рассекает, что линия рассекает фигуру на 2 тяжелые части, можно развернуть о объявление запись: Sabf = Sabc / 2 → Saof = Sabf / 3 = Sabc / 6.

В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой. Докажите это утверждение просто. Пусть есть многоугольник ABC. Из вершины B опушна высота BD. Получившиеся 2 фигуры равны: ABD = CDB, следовательно, их сторона BD общая и является отрезком. Следовательно, AD = CD. Так как гипотенузы треугольников равны, то АВ=ВС. Замечательное свойство доказано.

Есть 2 следствия от свойств:

• если вокруг прямоугольного треугольника описать окружность, то ее центр совпадает с серединой гипотенузы;
• треуголник, где медиана реване профессиональное повышение квалификации, к количеству ея протели, будет рекстунгым.

Эти свойства и последствия очень важны. Зная их и формулы нахождения площади, решить большинство задач не составит труда. Но при этом часто приходится пользоваться формулой нахождения длины медианы.

Формула медианы равностороннего треугольника

Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС высота АН. Он будет казаться средним и высоким. Медиана разбивает треуголник на два рекладных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС.

Инжир. 2. Рисунок к задаче.

В применимой теореме Пифагора:

$$АС^2=АХ^2+ХК^2$

$$AH=sqrt{AB^2-BH^2}$

Каждую из сторонно значимую букву а. Тогда АВ=а; $$ВН={аover2}$

$$АН=sqrt{a^2-{aover2}^2}=sqrt{a^2-{a^2over4}}$

Это формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, вы можете использовать тригонометрические тождества и вывести другую формулу:

$$sin(ACH)={AHover AC}$

При этом угол АСН равен 60 дегарам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={sqrt{3}over 2}$

Выразим ведущей медианы АН

$$АН=sin(ACH)*AC={sqrt{3}over2}*AC={sqrt{3}over2}*a$

Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и медианным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого она проведена.

• BD – медиана, высота и медиана перпендикуляра к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
• ∠ABD = ∠CBD.

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. АФ = БД = СЕ.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

• G – центр тяжести (центрой) треугольника;
• АГ = 2ГФ;
• БГ = 2ГД;
• ЦГ = 2ГЭ.

Свойство 4

Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных (равных) прямоугольных треугольника. Т.е. С1 = С2.

Читайте также: Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения, как умножать десятичные дроби

Свойство 5

Равносторонний треугольник разделен тремя медианами на шесть равносторонних треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6.

Свойство 6

Точка пересечения медиан равностороннего треугольника является центром описанной окружности и вписанной окружности.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r (следует из свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно рассчитать по формуле:

а – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Чтобы найти требуемое значение, примените приведенную выше формулу:

Задача 2
Наибольшая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равна 8 см. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение
Нарисуем дрежей сообщение сообщение отзывым такаи.

Из свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуется 6 прямоугольных треугольников.

• BG = 8 см (самая большая строна, на языке гипотенузой △BFG);
• FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза менеше гипотенузы BG – след из Свойства 3).

Применим теорему Пифагора, чтобы найти длину второй ноги BF:
BF2 = BG2 – FG2 = 82 – 42 = 48 см2.
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF соответствует полове смотров BC (т.к медиана делит строней треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Теорема о медиане правильного треугольника

В правильном треугольнике медиана, проведенная к любой стороне, является его биссектрисой, высотой и медианным перпендикуляром

Медиана равностороннего треугольника

Шаг 1

Рассмотрим равноугольный треугольник АВС (АВ=ВС=АС).

Пусть BF, AD, CE – медианы.

Докажем, что они являются биссектрисами, высотами и срединными перпендикулярами.

Медиана равностороннего треугольника. Доказательство свойств. Шаг 1

Шаг 2

Так как АВ=АС и AD – медиана на основании ВС, то по свойству равнобедренного треугольника AD – высота и биссектриса.

Поскольку AD перпендикулярен стороне ВС и делит ее пополам, то AD является средним перпендикуляром.

Медиана равностороннего треугольника. Доказательство свойств. Шаг 2

Шаг 3

Так как АС=ВС и СЕ – медиана на основании АВ, то по свойству равнобедренного треугольника СЕ – высота и биссектриса.

Поскольку СЕ перпендикулярен стороне АВ и делит ее пополам, то СЕ является срединным перпендикуляром.

Медиана равностороннего треугольника. Доказательство свойств. Шаг 3

Шаг 4

Так как АВ=ВС и BF – медиана на основании AC, то по свойству равнобедренного треугольника BF – высота и биссектриса.

Так как BF перпендикулярен стороне AC и делит ее пополам, то BF является средним перпендикуляром.

Теория доказана.