Основное свойство дроби, формулировка, доказательство, примеры применения, в чем заключается основное свойство дроби

Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры

Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы называем основным свойством дроби, и звучит оно так:

Определение 1

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная заданной.

Представим основное свойство дроби через равенство. Для натуральных чисел a, b и m будет выполняться равенство:

a mb m=ab и a:mb:m=ab

Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. На основании свойств умножения натуральных чисел и свойств деления натуральных чисел запишем равенства: (am) b = (bm) a и (a : m) b = (b : m) a. Таким образом, дроби a·mb ·m и ab, а также a:mb:m и ab близки к определению хрупкости.

Рассмотрим пример, наглядно иллюстрирующий основное свойство дроби.

Пример 1

Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» маршрут делится на 4 меньших. Можно сказать, что данный маршрут разбит на 4 9 = 36 «маленьких» маршрутов. Выделите цветом 5 «больших» квадратов. В этом случае 4 5 = 20 «маленьких» квадратов будут окрашены. Давайте отобразим изображение, показывающее наши действия:

Цветная часть — это 59 исходной цифры, или 2036, что то же самое. Таким образом, дроби 59 и 2036 равны: 59=2036 или 2036=59.

Эти равенства, а также равенства 20 = 4·5, 36 = 4·9, 20:4 = 5 и 36:4 = 9 позволяют заключить, что 59=5·49·4 и 2036=20·436·4.

Для закрепления теории разберем решение примера.

Пример 2

Дано, что числитель и знаменатель какой-то обыкновенной дроби были умножены на 47, после чего эти числитель и знаменатель были разделены на 3. Равна ли полученная в результате этих действий дробь заданной?

Решение

Основываясь на основном свойстве дроби, можно сказать, что при умножении числителя и знаменателя данной дроби на натуральное число 47 получится дробь, равная исходной. Мы можем утверждать то же самое, разделив далее на 3. В итоге мы получим дробь, равную заданной.

Ответ: да, полученная дробь будет равна исходной.

Читайте также: Окружность и круг: что этот акое и чем отличается

Применение основного свойства дроби

Свойство простого числа используется при приведении дробей к новому знаменателю и при сокращении дробей.

приведение дроби к новому знаменателю — это замена данной дроби дробью, равной ей, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на искомое натуральное число. Операции с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приведения дробей к новому знаменателю.

Определение 2

сокращение дроби — это переход к новой дроби, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы уменьшить дробь, необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем.

Бывают случаи, когда такого общего делителя нет, тогда говорят, что исходная дробь несократима или не может быть сокращена. В частности, сокращение дроби с использованием наибольшего общего множителя сделает дробь неприводимой.

Правильная и неправильная дробь

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью, а дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.

Число, состоящее из целого числа и дроби, можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить к произведению числитель этой дроби. Полученная величина будет числителем дроби, а знаменатель останется знаменателем дроби.

Из любой неправильной дроби можно извлечь целую часть. Для этого делим числитель на знаменатель с остатком. Частное от деления — целая часть, остаток — числитель, а делитель — знаменатель.

Доля целого

Доля – это каждая из равных частей, на которые делится целое.

Возьмем, к примеру, два мандарина. Когда мы их очистим, у нас получится разное количество долек или частей в каждом мандарине. У одного их может быть 6, а у другого целых 9. Размеры подвоев у каждого мандарина тоже разные.

Каждая акция имеет свое название: оно зависит от количества акций в конкретном субъекте. Если в мандате шесть долей, то каждая из них будет определяться как одна шестая часть всего.

• Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
• Третий — треть предмета или 1/3.
• Четверть — четверть предмета или 1/4.

Понятие пропорции можно применять не только к объектам, но и к количествам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ширина составляет треть метра.

Как устроена обыкновенная дробь

Правильная дробь — это запись вида m/n, где m и n — натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая черта.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m над чертой. Числитель — это дивиденды — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число n под чертой. Знаменатель — это делитель, то есть на сколько мы делим.

Линия между числителем и знаменателем является знаком деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых верно равенство: a*d=b*c Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1*4=2* 2.

Разные обыкновенные дроби — это обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c неверно.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. Получается, что десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:

• 0,3
• 4.23
• 9939

Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится дробь, равная заданному. Формула выглядит следующим образом:

где а, b, k — натуральные числа.

Основные характеристики Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в ее обыкновенной форме, если знаменатель обыкновенной дроби содержит числа 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби содержит числа 10, 100, 1000 и т д. То есть 1 цифра является делителем 10 , 4 цифры — это делитель 10000.

Действия с дробями

С дробями можно производить те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А дроби можно сокращать и сравнивать друг с другом. Давай попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель.

Сравните 1/5 и 4/5. Как мы спорим:

1. Обе дроби имеют знаменатель 5.
2. Числитель равен 1 в первой дроби и 4 во второй дроби.1 < 4

    

3. Следовательно, первая дробь на 1/5 меньше второй на 4/5.
   

Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравните 1/2 и 1/8. Как мы спорим:

Допустим, у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, делим торт на две части и берем одну себе, то есть половину торта.

Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и откусываем понемногу. Половина торта больше, чем маленький кусочек.

Итак, 1/2 > 1/8.

Чтобы сравнивать дроби с разными знаменателями, необходимо привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю можно использовать правило для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравните 2/7 и 1/14.

Как мы спорим:

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   
2. Сравните дроби с одинаковыми знаменателями:
   

Ответ: 2/7 > 1/14.

Важно помнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Для сравнения дробей с разными числителями и знаменателями:

• привести дроби к общему знаменателю;
• сравните полученные дроби.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Найдите общее кратное знаменателей дробей, которое и будет их общим знаменателем.
2. Разделите общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найдите дополнительный множитель для каждой дроби.
3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сокращение дроби означает ее сокращение и облегчение чтения. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и аккуратнее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркните числитель и знаменатель, а рядом запишите результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере мы делим обе части дроби на два.

Нельзя никуда спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числитель второй дроби прибавляется к числителю первой дроби (числитель второй вычитается из числителя первой) и остается тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можете ли вы уменьшить дробь и изолировать всю часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями найдите наименьший общий знаменатель, сложите или вычтите полученные дроби (используйте предыдущее правило).

Вот что нужно сделать:

1. Найдите наименьшее общее кратное, чтобы определить общий делитель.
   Для этого впишите в столбик числа, которые в сумме составляют значения делителей. Затем умножаем результат и получаем НОК.

   

   НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

    

2. Найдите несколько факторов для каждой дроби. Для этого разделим НОК на каждый знаменатель:90 : 15 = 6

   90 : 18 = 5.

   Полученные числа пишем справа сверху над счетчиком.

   

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель. После умножения знаменатель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы вычислили ранее. Затем можно переходить к дополнениям.
   
4. Проверяем результат:
   • если числитель больше знаменателя, необходимо преобразовать дробь в смешанное число;
   • если есть что резать, надо резать.

Решение в одну строку:

сложение или вычитание смешанных чисел может привести к раздельному сложению их целых и дробных частей. Для этого нужно действовать по шагам:

1. Соберите целые части.
   
   
2. Добавьте дроби.
   
   Надо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

    

3. Подведите итоги.
   

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделите целую часть и прибавьте ее к ранее полученной целочисленной части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забывайте о сокращении. Это может облегчить расчеты.

Чтобы умножить два смешанных числа:

1. преобразовать смешанные дроби в нелегитимные;
2. умножать числители и знаменатели дробей;
3. уменьшить полученную фракцию;
4. если получилась неправильная дробь, преобразовать ее в смешанную.

Чтобы разделить дробь на дробь, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• умножьте числитель первой на знаменатель второй, результат произведения введите в числитель новой дроби;
• умножьте знаменатель первой на числитель второй, результат произведения введите в знаменатель новой дроби.

Другими словами, это правило звучит так: чтобы разделить дробь на другую, надо первую умножить на обратную вторую.

Числа, произведение которых равно 1, называются обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей не имеют значения, ведь все дроби делятся по описанному выше правилу.

Как делить смешанные числа:

• представлять числа в виде неправильных дробей;
• делитесь полученным.

Нахождение части от целого (дроби от числа)

Чтобы найти часть целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и умножить результат на числитель той же дроби.

Задача нахождения части целого — это, по сути, задача нахождения дроби числа. Чтобы найти дробь (часть) числа, необходимо умножить число на эту дробь.

Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Чтобы найти целое с его частью, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и умножить результат на знаменатель той же дроби.

Задача нахождения целого из его части по сути является задачей нахождения числа из дроби. Чтобы найти число после дроби, нужно данное значение разделить на эту дробь.