Основное Тригонометрическое Тождество

Связь между sin и cos одного угла

Вы, наверное, уже знаете, что тождественное похоже.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла. Это означает, что одна из этих функций может быть найдена, если известна другая функция.

Ключом к сердцу тригонометрии является основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите ее, чтобы ваши отношения с тригонометрией развивались наилучшим образом:

sin2α + cos2α = 1

Сходство между тангенсом и котангенсом следует из основного тождества, поэтому оно является ключевым.

Равенство tg2α + 1 = 1/cos2α и равенство 1 + сtg2α + 1 = 1/sin2α выводятся из основного тождества делением обеих частей на sin2α и cos2α.

В результате деления получаем:

Поэтому важнейшему тригонометрическому тождеству уделяется максимальное внимание. Но какие же «метрики» могут обойтись без доказательств. Увидеть личность — докажи ее не раздумывая.

sin2α + cos2α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Для доказательства тождества обратимся к теме единичного круга.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin2α + cos2α = 1

1. Итак, мы знаем координаты точки A (1; 0).
   Произвольный угол α, поэтому cos α = x0 = OB.
2. Если точку А повернуть на угол α, то точка А займет место точки А1.
3. По определению:
   • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
   • Косинусом угла (cos α) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

   Это означает, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.

4. Опускаем перпендикуляр A1B к x0 из точки A1.
   Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
   |А1В| = |у|
   |ОБ| = |х|.
5. Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.
   |ОА1| = 1.
6. Используя полученное выражение, запишем равенство по теореме Пифагора, так как полученный угол прямой:
   |A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2.
7. Запишем это в виде: |y|2 + |x|2 = 12.
   Это означает, что y2 + x2 = 1.
   угол греха α = y
   cos угол α = x
8. Вставьте данные угла вместо координат точки:
   ОВ = cosα
   A1B = sinα
   А1О = 1
9. Получаем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
   КЭД

Основное тригонометрическое тождество связывает синус с углом и косинус с углом. Зная один, вы легко найдете другой. Вам просто нужно извлечь квадратный корень по формулам:

• sinα = ±
• коса = ±

Как видите, перед корнем может стоять как минус, так и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, был ли первоначальный синус/косинус угла положительным или отрицательным.

Как правило, в задачах с подобными формулами уже есть условия, помогающие определить знак. Обычно таким условием является указание координатной четверти. Это позволяет легко узнать, какой знак нам нужен.

Читайте также: Теорема косинусов и синусов треугольника

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Несколько вступлений:

• Синус угла — это ордината у.
• Косинус угла — это абсцисса x.
• Тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе.
• Котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не очень понятных слов можно сделать вывод, что одно зависит от другого. Такое соединение помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

• tga =
• ctga =

На основании определений:

• tga =
  =
• ctga =
  =

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

даны углы sin и cos.

Отсюда следует, что тангенс угла есть отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых укладываются в диапазон.

• Например, выражение
  относится к любому углу α, не равному
  + π + z, где z — любое целое число. В противном случае знаменатель будет равен 0.

Выражение

выполняется для любого угла α, не равного π * z, где z — любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Насколько очевидна связь между ранее рассмотренными тождествами, тем более очевидна связь между тангенсом и котангенсом угла.

• Тождество записывается в следующем виде:
  tgα * ctgα = 1.

Это тождество применимо и справедливо для всех углов α, значение которых не равно π/2 * z, где z — целое число. В противном случае функции не будут определены.

Как и все другие, это тригонометрическое тождество подлежит доказыванию. Доказать это очень легко.

tgα * ctgα = 1.

1. Априори:
   tgα = у/х
   ctga = х/у
2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
3. Преобразуйте выражение, замените 
   и
   ,
   мы получаем:

 

Получается, что тангенс и котангенс угла, которому они придают смысл, являются взаимно обратными числами.

Если числа а и b взаимно обратны, то это означает, что число а есть обратное число b, а число b есть обратное число а. Кроме того, это означает, что число а есть обратное число число b, а число b является обратным числу a. Короче говоря, то и это.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все вышеприведенные тождества позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла связан с синусом.

Эта связь становится ясной, когда мы смотрим на тождества:

• tg2α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна обратной величине квадрата косинуса этого угла.

• 1 + ctg2α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна обратной величине квадрата синуса этого угла.

Оба эти тождества могут быть получены из основного тригонометрического тождества:
sin2α + cos2α = 1.

1. Для этого необходимо обе части тождества разделить на cos2α, где косинус не равен нулю.
2. В результате деления получаем формулу tg2α + 1 =
3. Если обе части основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 разделить на sin2α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
   1 + ctg2α =
   .
4. Отсюда можно заключить, что тригонометрическое тождество tg2α + 1 =
   относится к любому углу α, не равному
   + π + z, где z — любое целое число.
5. И тригонометрическое тождество 1 + ctg2α =
   применяется ко всем углам, кроме π * z, где z — любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств. Для этого сохраните себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

1	sin2α + cos2α = 1
2
3
4	tgα * ctgα = 1
5	tg2α + 1 =
6	1 + ctg2α =

Чтобы сэкономить еще меньше времени на решении задач, ведите таблицу тригонометрических функций для углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Квадраты тригонометрических функций.

Формулы кубов тригонометрических функций.

Примеры решения задач

Разберем пару задач, для решения которых нужно знать основные тождества. Внимательно рассмотрите предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Упражнение 1. Найти cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как мы решаем:

1. Для решения задачи необходимы следующие тригонометрические тождества:
   
2. Выразим cos α через тригонометрическую единицу:
   
3. Затем подставляем значения sin α:
   
4. Мы рассчитываем:
   
5. Нам известны значения sin α и cos α, поэтому мы можем легко найти тангенс по формуле:
   
6. Аналогично по формуле вычисляем значение котангенса:
   

Отвечать:

Упражнение 2. Найдите значение cos α,
если:

Как мы решаем:

1. Для решения задачи необходимы следующие тригонометрические тождества:
   
2. Выразим cos α через тригонометрическую единицу:
   
3. Затем подставляем значения sin α:
   
4. Мы рассчитываем:
   
5. Проделываем то же самое со вторым значением α
   Подставляем значения sin α:
   
6. Мы рассчитываем:

Отвечать:

Как видите, задачи решаются довольно легко, нужно только правильно использовать формулы основных тождеств.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приведена таблица формул приведения степени от 2 к 4 для угла sin и cos. Ознакомившись с ними, установим общую формулу для всех степеней.

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3 sin α-sin 3α4sin4=3-4 cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4 cos 2α+cos 4α8

Эти формулы предназначены для понижения степени.

Это формула двойного угла для косинуса и синуса, из которой следуют формулы приведения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства решаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые задаются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций имеют нечто общее с формулами синуса и косинуса половины угла.

Это применение формулы тройного угла sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

Если решить равенство относительно синуса и косинуса куба, то получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin3α=3-4 cos2α+cos4α8 и cos3α=3 cosα+cos3α4.

Формулы для четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4*cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4*cos2α+cos4α8.

Чтобы понизить степени этих выражений, можно действовать в 2 шага, то есть понизить в два раза, тогда это выглядит так:

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2 cos2α+cos22α4==1-2 cos2α+1+cos4α24=3-4 cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1 +cos2α2) 2=1+2 cos2α+cos22α4===1+2 cos2α+1+cos4α24=3+4 cos2α+cos4α8

Используя метод подстановки, мы упростили сложное выражение. Для записи общего вида формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1 ∑(-1)n2-kk=0n2-1 Ckn cos((n-2 k)α) и cosnα =Cn2n2n +12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1 Ckn cos((n-2 k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1 ∑(-1)n-12-kk=0n-12 Ckn cos((n-2 k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk =0n-12 Ckn cos((n-2 k)α).

Cpq=p!q! (стр)! — количество комбинаций p элементов с q.

Общие формулы сокращения применяются к любому выражению высокой степени, чтобы упростить его. Рассмотрим пример понижения кубического синуса. Третья степень нечетна, поэтому мы используем формулу sinnα=12n-1 ∑(-1)n-22-kk=0n-12-k Ckn sin((n-2 k)α), где мы присваиваем значение n 3. Подставляя n=3 в выражение, получаем

sin3α=123-1 ∑(-1)3-12-kk=03-12-k Ck3 sin((3-2 k)α)==14 ∑(-1)1-kk=01 Ck3 sin((3) -2 k)α)==14 ((-1)1-0 C03 sin((3-2 0)α) +(1)1-1 C13 sin((3-2 1)α))== 14 ((-1)1 3!0! 3! sin3α+(-1)0 3!1! (3-1)! sinα)==14 (-sin3α+3 sinα)=3 sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Для закрепления материала необходимо его подробно разобрать на примерах по формуле понижения степени. Таким образом, будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Пример 1

Верна ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

Для того чтобы эта формула прошла проверку на возможность понижения степени на заданное значение угла α, необходимо вычислить левую и правую части. По условию имеем, что α=π6, поэтому 2α=π3, следовательно, 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, значит, cos2α=cosπ3=12.

Для подробного разъяснения необходимо изучить статью о значении синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получаем cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4 12+(-12)8=916

Отсюда мы видим, что левая и правая части уравнения верны при α=π6, а значит, выражение справедливо для значения данного угла. Если угол отличен от α, формула приведения в равной степени применима.

Пример 2

Используя формулу понижения мощности, преобразуйте выражение sin32β5.

Решение

Кубический синус угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В этом случае необходимо заменить α на 2β5 и заменить его в формуле, тогда получим выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение аналогично равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3 sin2β5-sin6β54.

Для решения сложных тригонометрических уравнений используются формулы приведения. Они способны упростить выражение и сделать его гораздо более удобным для вычислений или подстановки числовых значений.