Пирамида с равным боковыми ребрами
Свойство 1
Все углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды равны.
∠EAC = ∠ECA = ∠EBD = ∠EDB = α
Свойство 2
Вокруг основания пирамиды можно описать окружность, центр которой будет совпадать с проекцией вершины на основание.
- Точка F — проекция вершины E на основание ABCD; также является центром этого фонда.
- R — радиус описанной окружности.
Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Определение 3. Правильной n — углеродной пирамидой (правильной пирамидой) называется такая углеродная пирамида n — основанием которой является квадрат n — правильный A1A2… An, а основанием перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α, является квадрат n — центр общего A1A2… An (рис. 2).
Рис.2
Примечание 2. Если центр основания A1A2… An правильной пирамиды SA1A2… An обозначить буквой O, то длина отрезка SO будет равна высоте пирамиды. Часто сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной от вершины S .
Определение 4. Высота боковой поверхности правильной пирамиды, опущенная из вершины S, называется апофемой.
Рис.3
На рис. 3 отрезок SB является апофемой поверхности SAnAn-1, а отрезок SC — апофемой поверхности SA2A1.
Замечание 3. Любая правильная n-углеродная пирамида может иметь n апофем.
Свойства правильной пирамиды:
| Все стороны правильной пирамиды равны. | |
| Все стороны правильной пирамиды представляют собой равные равнобедренные треугольники. | |
| В любой правильной пирамиде все апофемы равны. | |
| Все боковые ребра правильной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания пирамиды. | |
| Все боковые грани правильной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания пирамиды. |
Тетраэдры. Правильные тетраэдры
Определение 5. Произвольная треугольная пирамида называется тетраэдром.
Заявление. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, таких как AC и BS. Обозначим через D середину ребра AC. Так как отрезки BD и SD являются медианами равнобедренных треугольников ABC и ASC, то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).
Рис.4
По критерию перпендикулярности к прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS, что и требовалось доказать.
Определение 6. Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется правильным тетраэдром (рис. 5).
Рис.5
Задача. Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром а .
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC. Пусть точка O — основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC — правильная пирамида, точка O — это пересечение медиан равностороннего треугольника ABC. Поэтому,
где буква D обозначает середину ребра AC (рис. 6).
Рис. 6
Потому что
,
что
.
По теореме Пифагора из треугольника BSO находим
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды
Введем следующие обозначения
| В | объем пирамиды |
| Страница | боковая поверхность пирамиды |
| Полный | общая площадь поверхности пирамиды |
| Сосн | площадь основания пирамиды |
| Хвалить | окружность основания пирамиды |
Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности пирамиды:
| Пирамида | Рисунок | Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности |
| Случайная пирамида |  |
,
где |
| – угольная пирамидаПравильно |  |
(см раздел «правильные многоугольники»),
где |
| Правильный тетраэдр |  |
(см раздел «правильные многоугольники»),
высота правильного тетраэдра где |
| Случайная пирамида |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , где h — высота пирамиды. |
| – угольная пирамидаПравильно |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: (см раздел «правильные многоугольники»), где |
| Правильный тетраэдр |
|
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: (см раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра где |
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу, когда в основании пирамиды лежит многогранник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет пересечение плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу. 
Сферу можно вписать в пирамиду, если биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Читайте также: Как найти площадь поверхности правильной пирамиды: боковой, полной, основания
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны друг другу. Вокруг пирамиды описан конус, если их углы совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.Конус можно описать вокруг пирамиды, если все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одном основании цилиндра, а основание пирамиды вписано в другое основание цилиндра. Цилиндр можно описать вокруг пирамиды, если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Определение: Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который расположен между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной основанию. Таким образом, пирамида имеет большое основание и меньшее основание, подобное большему. Боковые грани — трапеции. 
Определение Треугольная пирамида (тетраэдр) – это пирамида, у которой три грани и основание представляют собой произвольные треугольники. Тетраэдр имеет четыре грани, четыре вершины и шесть ребер, причем два ребра не имеют общих вершин, но не касаются друг друга. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, образующих трехгранный угол. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром противоположной грани, называется медианой тетраэдра (GM) Бимедиана – это отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, не соприкасающихся (KL) Все бимедианы и медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (S). В этом случае бимедианы делятся пополам, а медианы в соотношении 3:1 сверху.
Определение Наклонная пирамида — это пирамида, одна из граней которой образует тупой угол (β) с основанием.
Определение Прямоугольной пирамидой называется пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию. Определение Остроугольной пирамидой называется пирамида, у которой апофема составляет более половины длины стороны основания.
Определение. Тупой пирамидой называется пирамида, у которой апофема меньше половины длины стороны основания Определение Правильный тетраэдр — это тетраэдр, все четыре грани которого представляют собой равносторонние треугольники. Это один из пяти правильных многоугольников. В правильном тетраэдре все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение Прямоугольный тетраэдр — это тетраэдр с прямым углом между тремя ребрами в вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол, причем грани — прямоугольные треугольники, а основание — произвольный треугольник. Апофема любой грани равна половине стороны основания, на которое падает апофема. Определение Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, боковые грани которого равны между собой, а основание представляет собой правильный треугольник. В таком тетраэдре грани равнобедренные треугольники Определение Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все высоты (перпендикуляры), опущенные от вершины к противоположной грани, пересекаются в одной точке Определение Звездчатой пирамидой называется многогранник, основание которого равно звезда.
Определение Бипирамида – это многогранник, состоящий из двух различных пирамид (пирамиды также могут быть отсечены), имеющих общее основание, а вершины находятся по разные стороны от плоскости основания.
