Предел функции: основные понятия и определения

Понятие предела

В математике принципиально важно понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞. Его следует понимать как бесконечно большое +∞ или бесконечно малое -∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, мы часто имеем в виду оба этих значения одновременно, но +∞ или -∞ не следует просто заменять на ∞.

Предел функции записывается как limx→x0f(x). Внизу пишем основной аргумент x, а стрелкой указываем, к какому значению x0 он будет стремиться. Если значение x0 является конкретным вещественным числом, мы имеем дело с пределом функции в точке. Если значение x0 стремится к бесконечности (неважно, ∞, +∞ или -∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел ограничен и бесконечен. Если он равен определенному вещественному числу, т.е limx→x0f(x)=A, то он называется конечным пределом, а если limx→x0f(x)=∞, limx→x0f(x)=+∞ или limx →x0f (x)=-∞, то бесконечно.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это означает, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом разделе мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам необходимо ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расхождение.

Определение 1

Число A является пределом функции f(x) при x→∞, если последовательность значений сходится к A для бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательных или положительных).

Предел функции записывается следующим образом: limx→∞f(x)=A.

Определение 2

При x→∞ предел функции f(x) бесконечен, если последовательность значений бесконечной последовательности аргументов также бесконечна (положительна или отрицательна).

Запись выглядит так: limx→∞f(x)=∞.

Пример 1

Докажите равенство limx→∞1×2=0, используя основное определение предела для x→∞.

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1×2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргументов x=1, 2, 3,…, n,….

11>14>19>116>…>1n2>…

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, с тенденцией к 0. Смотрите картинку:

Затем пишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

х=-1, -2, -3,…, -n,…

11>14>19>116>…>1-n2>…

Здесь тоже можно увидеть монотонное убывание до нуля, что подтверждает правильность того, что дано в условии равенства:

Ответ: Подтверждается правильность данного условия равенства.

Пример 2

Вычислить предел limx→∞e110x.

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f(x)=e110x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x=1, 4, 9, 16, 25,…, 102,…→+∞.

е110; е410; е910; е1610; е2510;…; е10010;…==1,10; 1,49; 2,45; 4,95; 12.18;…;22026.46;…

Мы видим, что эта последовательность бесконечно положительна, поэтому f(x)=limx→+∞e110x=+∞

Перейдем к записи значений бесконечной отрицательной последовательности, например x=-1, -4, -9, -16, -25,…, -102,…→-∞.

э-110; э-410; е-910; е-1610; е-2510;…;е-10010;…==0,90; 0,67; 0,40; 0,20; 0,08;…;0,000045;…x=1, 4, 9, 16, 25,…,102 ,…→∞

Так как оно тоже стремится к нулю, то f(x)=limx→∞1e10x=0.

Решение задачи наглядно показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными точками отмечена последовательность отрицательных.

Ответ: limx→∞e110x=+∞, при x→+∞0, при x→-∞.

Перейдем к способу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это также будет нам полезно для нахождения вертикальных асимптот графика функции.

Определение 3

Число B является пределом функции f(x) слева при x→ai в том случае, когда последовательность значений сходится к заданному числу для любой последовательности аргументов функции xn, сходящейся к a, если значения остаются меньше a(xn<>

Такой предел письменно обозначается как limx→a-0f(x)=B.

Теперь сформулируем, что является пределом функции справа.

Определение 4

Число B является пределом функции f(x) справа при x→ai в том случае, когда последовательность значений сходится к заданному числу для любой последовательности аргументов функции xn, сходящейся к a, если значения остаются больше a (xn >a).

Запишем этот предел как limx→a+0f(x)=B.

Мы можем найти предел функции f(x) в момент, когда она имеет равные пределы слева и справа, т.е limx→af(x)=limx→a-0f(x)=limx→a+0f(х)= В. Если оба предела бесконечны, предел функции в начальной точке также будет бесконечен.

Теперь объясним эти определения, записав решение конкретной задачи.

Пример 3

Докажите, что существует конечный предел функции f(x)=16(x-8)2-8 в точке x0=2, и вычислите значение.

Решение

Для решения задачи нужно вспомнить определение предела функции в точке. Сначала докажем, что исходная функция имеет предел слева. Запишем последовательность значений функции, которая будет сходиться к x0=2, если xn<2:

е (-2); ф (0); ф(1); ф112; ф134; ф178; ф11516;…; f110231024;…==8667; 2667; 0,167; -0,958; -1489; -1,747; -1 874;…; -1,998;…→-2

Поскольку приведенная выше последовательность сводится к -2, мы можем записать limx→2-016x-82-8=-2.

Затем докажем существование предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x0=2, если xn>2:

6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,…, 211024,…→2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

ф(6); ф(4); ф(3); ф212; ф234; ф278; ф21516;…; f210231024;…==-7,333; -5,333; -3,833; -2,958; -2489; -2,247;-2,124;…, -2,001,…→-2

Эта последовательность также сходится к -2, поэтому limx→2+016(x-8)2-8=-2.

Мы определили, что пределы в правой и левой частях этой функции будут равными, а это означает, что предел функции f(x)=16(x-8)2-8 существует в точке x0=2, и limx→216 (x-8) 2-8=-2.

Ход решения вы можете увидеть на иллюстрации (зеленые точки — последовательность значений, сходящихся к xn<2, синие точки — к xn>2).

Ответ: Пределы в правой и левой частях этой функции будут равны, значит, предел функции существует, и limx→216(x-8)2-8=-2.

Читайте также:  Пирамида с основанием прямоугольника

График и предел

Если начертить график этой функции, то видно, что из точки она превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти правильно — потому что оно никогда не становится правильным, но имеет тенденцию к тому, если вы продолжаете рисовать график бесконечно.

Но бесконечный график означает, что наша функциональная переменная стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике и есть предел этой функции с переменной, стремящейся к бесконечности:

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим указанный выше предел. Для этого заменим единицу в функции (т.к x → 1):

Поэтому для решения предела мы сначала пытаемся просто подставить заданное число в функцию под ним (если x стремится к определенному числу).

С бесконечностью

В этом случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть «х» стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, данная функция стремится к минус бесконечности (-∞), потому что.:

• 3 — 1 = 2
• 3 — 10 = -7
• 3 — 100 = -97
• 3 — 1000 — 997 и так далее

Другой более сложный пример

Чтобы решить этот предел, вы также просто увеличиваете значения x и смотрите на «поведение» функции в этом случае.

• Для x = 1, y = 12 + 3 1 — 6 = -2
• Для х = 10, у = 102 + 3 · 10 — 6 = 124
• Для х = 100, у = 1002 + 3 100 — 6 = 10294

Таким образом, при стремлении «х» к бесконечности функция х2 + 3х — 6 возрастает до бесконечности.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет о пределах, когда функция представляет собой дробь, где числитель и знаменатель являются полиномами. В этом случае «х» стремится к бесконечности.

Пример: Рассчитаем лимит ниже.

Решение

Члены как в числителе, так и в знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в этом случае решение будет следующим:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел, нам нужно сделать следующее:

1. Найдите xi наибольшей степени числителя (в нашем случае это два).

2. Соответственно определяем xi старшей степени знаменателя (также равной двум).

3. Теперь разделим и числитель, и знаменатель на xi наибольшей степени. В нашем случае в обоих случаях — во втором, но если бы они были разными, то следовало бы брать высшую степень.

4. В полученном результате все дроби стремятся к нулю, поэтому ответ 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И числитель, и знаменатель являются полиномами, но «х» стремится к определенному числу, а не к бесконечности.

При этом мы условно закрываем глаза на то, что знаменатель равен нулю.

Пример: Найдите предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим число 1 в функцию, к которой стремится «х». Мы получаем неопределенность в том виде, в каком мы ее рассматриваем.

2. Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно использовать формулы сокращенного умножения, если это уместно, или решить квадратное уравнение.

В нашем случае корнями выражения в числителе (2х2 — 5х+3=0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно, это можно представить как: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x — 1) в основном прост.

3. Получаем такой модифицированный предел:

4. Дробь можно уменьшить на (x — 1):

5. Остается только заменить цифру 1 в выражении, полученном ниже предела:

Конечный предел функции на бесконечности

Функциональный предел на бесконечности:
|f(x) – а| < ε для |x| > N Предел функции Коши на бесконечности Число а называется пределом функции f(x) при стремлении x к бесконечности (), если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K, на котором определена функция (здесь K — положительное число);
2) для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует число Nε>K, зависящее от ε такое, что для всех x, |x| > Nε, значения функции принадлежат диапазону ε точки a:
|f(x) – а| < ε.

Односторонние пределы

Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) – а| < ε для x < –N

Часто бывают случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее, вблизи точки или). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь разные значения. Затем используются односторонние ограничения.

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате уже не будет заметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно узнать максимальную длину плиты перекрытия. Есть требование, чтобы плита выдерживала нагрузку в середине 50 тонн — можно и сильнее, но 50 тонн — это минимум. Для решения этой задачи используется предел — он покажет, какой длины плиту сделать невозможно, а что-то более короткое даст необходимую прочность.

Астрономы используют ограничения для изучения законов мироздания, физики проверяют все на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от функциональных ограничений.

Погрешность в пределах

В математике пределы вычисляются точно: для нахождения точного ответа используются специальные формулы и приемы. Но в жизни такая точность не нужна: можно взять любое устраивающее нас решение с допустимой погрешностью.

Эта ошибка поможет нам рассчитать пределы, не зная точных математических формул расчета.

Считаем предел в программировании

Поскольку у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, логично сделать из него простой цикл и предоставить это машине. Единственное, что нам нужно учитывать, это когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики клей по умолчанию касается бесконечности (потому что вы можете стремиться бесконечно).

Так как мы заранее не знаем точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, для остановки цикла сделаем следующие условия:

1. Количество повторений закончилось. Например, мы заранее говорим, что будем стремиться к пределу лимита 10000000000 раз, но если ничего не происходит, останавливаемся.
2. Если вы достигли необходимой ошибки. Два соседних результата отличаются погрешностью или меньше — отлично, мы нашли то, что нужно.

Самый сложный момент в коде — это описание того, как функциональная переменная к чему-то стремится. Если до бесконечности, то все просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если вам нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или какому-то другому числу, то можно поступить так: взять первое число, последнее, сложить их вместе и разделить на два. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

⚠️ Важный нюанс: числа в компьютере — это не числа в абстрактно-математическом смысле, а ограниченный набор данных. Она конечна в том, что для каждого числа выделяется определенное количество «ячеек», в которые это число может быть вписано.Если у нас есть ограниченное количество «ячеек», то мы имеем как бы ограничение на наибольшее и наименьшее число.

Например, если мы даем переменной 32 бита памяти, наименьшее число, которое мы можем записать в нее, равно 1,4012985 × 10-45. Это кажется бесконечно малым, но на самом деле, если мы прокручиваем число на 2 несколько сотен раз в секунду, мы почти сразу достигаем этого предела точности. Затем десятичные дроби заканчиваются, и число очень быстро становится равным 0.

С математической точки зрения любое число можно бесконечно делить и иметь бесконечное количество знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное количество символов невозможно, и если мы будем делить достаточно долго, то получим ноль.

Поэтому при работе с лимитами важно указывать либо количество шагов для определения лимита, либо ошибку.

Теперь давайте напишем простой цикл, который lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12) рассчитает за нас):

• предел функции f(x) = (8−2x) / (x²−4x-12);
• когда х стремится к 2.

Если мы вычислим этот предел, как математик, мы получим значение -1. Давайте посмотрим, как наш код справляется с этим:

// ошибка расчета var e = 0.00001; // предел, к которому будет стремиться переменная var lim = 2; // функциональная переменная, отсюда начинаем стремиться к пределу var x = 0; // сколько раз мы уже выполнили цикл was n = 0; // максимальное количество подходов к лимиту было max_n = 100; // функция, которая возвращает значение переменной функции function f(x) { return (8 — 2*x*x)/(x*x + 4*x — 12); } // пока не дойдем до нужной ошибки — выполняем цикл while (Math abs(f(x) -f((x+lim)/2)) >= e) { // подходим еще на один шаг к пределу x = (х+lim)/2; // увеличить количество приближений n +=1; // если мы достигли максимального количества повторений if (n == max_n) { // выводим сообщение о том, что мы останавливаемся console.log(‘Количество повторений закончилось, мы остановились на следующем значении функции: ‘ е(х)); // сбрасываем переменную с максимальным значением повторения и выходим из цикла max_n = 0; перерыв; } } // если переменная с максимальным значением не сбрасывается if (max_n != 0){ // выводим найденный лимит console.log(‘Ограничение функции с заданной ошибкой: ‘, f(x)) }