Равнобедренный треугольник

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на этот треугольник:

На рисунке хорошо видно, что стороны равны. Это подобие делает треугольник равнобедренным.

Как называются стороны равнобедренного треугольника:

АВ и ВС — стороны,

АС — основание треугольника.

Для понимания материала нам нужно вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, вы наверняка слышали о крысе, которая бегает по углам и раскалывает их пополам. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если не любишь крыс, то бегать может кто угодно. Биссектриса — это кот. Полушарнир — лиса. Для фэнтези нет правил. Все правила относятся к геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектриса будет отрезком BH.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Для медианы не придумали забавного правила, как с биссектрисой, но можно придумать. Например, буддийское воспоминание: «Средний — это лама, блуждающий от вершины треугольника к середине основания и обратно».

В этом треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высота в представленном равнобедренном треугольнике – это отрезок BH.

 

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько простых правил, позволяющих легко определить, что перед вами не что иное, как Его Величество равнобедренный треугольник.

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Читайте также: Тригонометрические формулы

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно мыслить как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Пусть АС — основание равнобедренного треугольника. Нарисуем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK общий, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из подобия треугольников следует подобие всех соответствующих элементов, а значит угол А равен углу С. Просто!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

1. ∆ ABH = ∆ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, так как BH — биссектриса, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
2. Итак, во-первых, AH = HC, а BH — это медиана.
3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию, биссектрисе и высоте.

1. ∆ ABH = ∆ CBH по трем сторонам (AH = CH равно, так как BH — медиана, AB = BC, так как ∆ ABC — равнобедренная, BH — общая сторона).
2. Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, и они тоже смежные, то есть в сумме дают 180 градусов. Таким образом, они равны под углом 90 градусов, а BH — это высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

1. Δ ABH = Δ CBH на основании прямоугольных треугольников, равенства гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, так как Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
2. Итак, во-первых, углы ABH и CBH равны, а BH — биссектриса.
3. Во-вторых, AH = HC, а BH — медиана.

1. Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Данный:
АВС — равнобедренный, ВС — основание.

Доказывать:
Б =
С.

Доказательство:

Проведите биссектрису AD из вершины A в сторону BC.

Учитывать
АБД и
ACD: AB = AC по условию (
ABC – равнобедренный), AD – общая сторона,
Плохо =
САПР, так как AD — строительная биссектриса,

АБД =
ACD по первому признаку равенства треугольников

Б =
C, потому что в конгруэнтных треугольниках по разные стороны от конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы (
B лежит на противоположной стороне AC,
С. — противоположная сторона АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса проведена к основанию, медиане и высоте .

Данный:
ABC – равнобедренная, BC – основание, AD – биссектриса.

Доказательство: AD — медиана и высота.

Доказательство:

Учитывать
АБД и
ACD: AB = AC по условию (
ABC – равнобедренный), AD – общая сторона,
Плохо =
CAD, так как AD по условию биссектриса,

АБД =
ACD по первому признаку равенства треугольников
BD = постоянный ток и
АБР =
АЦП.

Мы доказали, что BD = DC
точка D — середина стороны BC, тогда AD — медиана
ABC (по определению медианы).

Мы доказали, что
АБР =
АЦП, к тому же
АДВ и
ADC — смежные углы, поэтому
АБР +
АДС = 1800, тогда
АБР =
АЦП = 900 т.е. АЦП
До н.э., что означает AD – высота
ABC (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если медиана и высота треугольника совпадают, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, является основанием этого треугольника.

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, является основанием этого треугольника.

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию, высоте и биссектрисе.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в треугольнике высота и биссектриса совпадают, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, является основанием этого треугольника.

Важно помнить, что эти теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к ОСНОВАНИЮ.

Если треугольник равносторонний, эти теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой стороне треугольника.

EFG — равносторонний:

• EC — биссектриса, медиана и высота, проведенные к стороне FG,
• FK — биссектриса, медиана и высота, проведенные к стороне EG,
• GM — биссектриса, медиана и высота, проведенные к стороне EF.

1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне

Если основание и сторона равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и стороне другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники равны.

На самом деле. Так как треугольник равнобедренный, то стороны равны. То есть три стороны равнобедренного треугольника равны трем сторонам другого равнобедренного треугольника. А по третьему критерию равенства треугольников эти треугольники подобны.

2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине

Если сторона и угол при вершине равнобедренного треугольника соответственно равны стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

На самом деле. Так как стороны равнобедренного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике. Тогда по первому критерию равенства треугольников эти треугольники подобны.

3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании

Если площадь основания и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны площади основания и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит имеем: основание и два угла равнобедренного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедренного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку подобия треугольников.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем заниматься и искать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну. почти ничего.

Смутные времена. Дано ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, для вас не секрет, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, а треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC.

Следовательно, ∠A = ∠C = 80°.

Вас не должно удивлять, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠В = 180° — 80° — 80° = 20°.

Ответ: ∠B = 20°.

Задача вторая. В треугольнике ABC проведена высота BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону ВС, если ВА = 5 см.

1. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, в Δ ABH мы можем найти угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
2. Но оказывается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
3. Ну а так как BH это и биссектриса и высота, то Δ ABC равнобедренная, значит BC = BA = 5 см.

Ответ: 5 см.