Разложение квадратного трёхчлена на множители

Понятие квадратного уравнения

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой необходимо найти.

Например, x + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную x.

Корень уравнения — это значение переменной, которое при подстановке в уравнение делает его истинным числовым равенством.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Таким образом, x = 5 не является корнем уравнения.

Но если х = 4, то при подстановке в уравнение получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — правильное равенство. Таким образом, x = 4 является корнем уравнения.

решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что они не существуют.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший ненулевой коэффициент, b — второй коэффициент, а c — свободный член.

Чтобы запомнить расположение коэффициентов, потренируемся в их определении.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы узнать, сколько корней имеет уравнение, нужно учесть дискриминант. Чтобы его найти, возьмем формулу: D = b2 − 4ac. А вот и свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, то корень один;
• если D > 0, есть два различных корня.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение можно сокращать или не сокращать — все зависит от значения первого коэффициента.

Данное квадратное уравнение представляет собой уравнение, в котором старший коэффициент, одночлен старшей степени, равен единице.

Нередуцированным квадратным уравнением называется, где старший коэффициент отличен от единицы.

Давайте использовать примеры — здесь у нас есть два уравнения:

• х2 — 2х + 6 = 0
• х2 — х — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно обозначим через х2), а это значит, что уравнение называется приведенным.

• 2×2 — 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), так что это нередуцированное квадратное уравнение.

Каждое нередуцированное квадратное уравнение можно преобразовать в редуцированное, выполнив эквивалентное преобразование — разделив обе части на первый коэффициент.

Помнить! Преобразованное уравнение имеет те же корни, что и исходное. Ну там вообще нет корней.

Пример 1. Превратим нередуцированное уравнение: 8х2 + 20х — 9 = 0 — в редуцированное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: соответствующее данному сокращенному уравнению x2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Читайте также: Как правильно сравнивать дроби?

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Необходимо, чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 было точно квадратным. Если a = 0, уравнение становится линейным: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю как по отдельности, так и вместе. В этом случае квадратное уравнение обычно называют неполным.

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равны нулю.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, в котором все коэффициенты не равны нулю.

Если b = 0, квадратное уравнение становится ax2 + 0x+c=0 и эквивалентно ax2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + 0 = 0, иначе его можно записать как ax2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, квадратное уравнение выглядит так: ax2 = 0. Такие уравнения отличаются от полных квадратных уравнений тем, что их левая часть не содержит ни члена с неизвестной переменной, ни свободного члена, ни того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Определение и формула квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c, где:

• х — переменная;
• a, b и c – постоянные коэффициенты (старший, средний и свободный соответственно);
• а ≠ 0.

Примеры:

• х2+7х+3
• 2х2 — 9х+6
• -5×2+11x+2

График квадратного трехчлена

Функция квадратичного трехчлена называется квадратичной, а график — параболой. Для его построения необходимо решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0, которое получается добавлением в конец выражения знака «равно» и нуля. Нахождение корней уравнения мы подробно обсуждали в отдельной публикации.

На диаграмме есть вершина:

• максимум при а < 0;
• минимум для > 0.

Чтобы было понятнее, разберем алгоритм построения параболы на практических примерах.

Пример 1

Построим квадратный трехчлен x2 + 4x + 3.

Решение

Корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0 равны -3 и -1. Y получает нулевые значения, когда x равен двум из этих чисел. Другими словами, график пересекает ось x (Ox) в точках (-3, 0) и (-1, 0).

Вершина параболы рассчитывается по формуле -b/2a. Поскольку коэффициент а является положительным числом, он будет минимальным.
Мой. = -4/(2 ⋅ 1) = -2

Полученное число и есть значение x, теперь подставляем его в нашу формулу и находим y:
у = (-2)2 + 4 ⋅ (-2) + 3 = -1

Таким образом, вершина имеет координаты (-2, -1).

Остается только найти, в какой точке график пересекает ось y (0y). Для этого подставим число 0 вместо xi в трехчленную формулу:
у = (-0)2 — 4 ⋅ 0 + 3 = 3

Следовательно, это точка с координатами (0, 3).

Теперь у нас есть все необходимые данные для построения графика.

Примечание. Обратите внимание, что парабола является симметричным графиком, т е если провести вертикальную линию через вершину, правая сторона будет зеркальным отражением левой (и наоборот).

Пример 2

Построим параболу из трехчлена 3х2 — 6х + 3.

Решение

Уравнение 3×2 — 6x + 3 = 0 имеет только один корень (x = 1). Следовательно, график не пересекается, а касается оси абсцисс в точке (1, 0), которая также является минимумом параболы (поскольку коэффициент а положителен). Мы проверяем:
Мой. = 6/(2 ⋅ 3)​​​= 1 (это значение x)
у = 3 ⋅ (1)2 – 6 ⋅ 1 + 3 = 0

Теперь найдем, в какой точке график пересекает ось Oy, подставив вместо xi в формулу число 0:
у = 3 ⋅ (0) 2 – 6 ⋅ 0 + 3 = 3

Следовательно, пересечение с осью Y равно (0, 3).

Строим параболу с учетом найденных точек:

Пример 3

А вот так выглядит график квадратичной функции y = -2×2 + 5x -2:

• Точки пересечения с осью Ox: (0,5, 0) и (2, 0).
• Поскольку а — отрицательное число, максимум достигается в точке (1,25, 1,125).
• Точка пересечения с осью Oy находится в точке (0, -2).

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, существует три типа неполных квадратных уравнений:

• ax2 = 0, ему соответствуют коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax2 + c = 0, для b = 0;
• ах2 + Ьх = 0, для с = 0.

Давайте пошагово рассмотрим, как решать неполные квадратные уравнения по типу.

Как решить уравнение ax2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, где b и c равны нулю, то есть с уравнений вида ax2 = 0.

Уравнению ах2 = 0 соответствует х2 = 0. Такое преобразование возможно при делении обеих частей на число а, не равное нулю. Корень уравнения x2 = 0 равен нулю, так как 02 = 0. Других корней это уравнение не имеет, что подтверждается свойствами степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ах2 = 0 имеет единственный корень х = 0.

Пример 1. Решить −6×2 = 0.

Как мы решаем:

1. Заметим, что этому уравнению соответствует x2 = 0, а это значит, что исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. Пошагово решение выглядит так:−6×2 = 0

   х2 = 0

   х = √0

   х=0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax2 + с = 0

Рассмотрим неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, где b = 0, c ≠ 0. Нам давно известно, что слагаемые в уравнениях носят двухсторонние оболочки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую , прибавив кофту с другой стороны — поменяйте знак на противоположный.

Мы также знаем, что если обе части уравнения разделить на одно и то же число (кроме нуля), мы получим эквивалентное уравнение. Ну, это то же самое, только с другими номерами.

Имеем все это в виду и составляем неполное квадратное уравнение (выполняем «эквивалентные преобразования»): ax2 + c = 0:

• переместите c в правую сторону: x2 = — c,
• делим обе части на а: х2 = — с/а.

Все, теперь мы готовы делать выводы о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений а и с выражение с/а может быть отрицательным или положительным. Давайте рассмотрим конкретные случаи.

Если — с/а < 0, то уравнение х2 = — с/а не имеет корней. Это потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Отсюда следует, что при — с/а < 0 для любого числа р равенство р2 = — с/а неверно.

Если — с/а > 0, то корни уравнения х2 = — с/а будут другими. Например, вы можете использовать правило квадратного корня, и тогда корень уравнения будет равен числу √- c/a, так как (√- c/a)2 = — c/a. Кроме того, -√- c/a может стать корнем уравнения, так как (-√- c/a)2 = — c/a. Ура, у этого уравнения больше нет корней.

Неполному квадратному уравнению ах2 + с = 0 соответствует уравнение х2 = -с/а, которое: не имеет корней при — с/а < 0; имеет два корня x = √- c/a и x = — √- c/a при — c/a > 0.

Пример 1. Найдите решение уравнения 8х2+5=0.

Как решить:

1. Переместим свободный член в правую сторону:8×2 = -5
2. Разделите обе части на 8:х2 = — 5/8
3. В правой части стоит число со знаком минус, означающее, что это уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение 8×2+5=0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax2 + bx = 0

Осталось проанализировать третий тип неполных квадратных уравнений при c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом факторизации. Как разложить квадратное уравнение:

1. Выносим за скобки многочлен, который стоит в левой части уравнения — выносим общий множитель x.
2. Теперь мы можем перейти от исходного уравнения к эквивалентному x * (ax + b) = 0. И это уравнение соответствует комбинации двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, причем последнее линейно, корень x = −б/а.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:

• х = 0;
• х = -б/а.

Пример 1. Решить уравнение 0,5х2 + 0,125х = 0

Как решить:

1. Вынести х из скобокх(0,5х + 0,125) = 0
2. Это уравнение соответствует x = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
3. Решите линейное уравнение:0,5х = -0,125,
   х = -0,125/0,5
4. Разделять:х = -0,25
5. Таким образом, корни исходного уравнения равны 0 и −0,25.

Ответ: х = 0 и х = -0,25.

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трехчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c.

На предыдущих уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ах2 + Ьх + с = 0

Левая часть этого уравнения представляет собой квадратный трехчлен.

Одним из полезных преобразований для решения задач является факторизация квадратного трехчлена. Для этого исходный квадратный трехчлен приравнивается к нулю и решается квадратное уравнение. В этом случае говорят, что поиск корней квадратного трехчлена выполнен.

Полученные корни x1 и x2 необходимо заменить следующим выражением, которое и будет являться разложением:

а (х — х1) (х — х2)

Следовательно, чтобы разложить на множители квадратный трехчлен путем решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Где левая часть — это исходный квадратичный трехчлен.

Пример 1. Разложите на множители следующий квадратный трехчлен:

х2 — 8х + 12

Найдите корни квадратного трехчлена. Для этого приравняем этот квадратный трехчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

х2 — 8х + 12 = 0

В этом случае коэффициент b четный. Поэтому можно использовать формулы для четного второго коэффициента. Для экономии времени некоторые подробные расчеты можно пропустить:

Итак, x1 = 6, x2 = 2. Теперь воспользуемся формулой ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax2 + bx + c пишем наш квадратный трехчлен x2 − 8x + 12. А в правой части подставляем имеющиеся у нас значения. В этом случае а = 1, х1 = 6, х2 = 2

х2 — 8х + 12 = 1 (х — 6) (х — 2) = (х — 6) (х — 2)

Если a равно единице (как в этом примере), решение можно записать короче:

х2 — 8х + 12 = (х — 6)(х — 2)

Чтобы проверить, правильно ли разложен квадратный трехчлен, раскройте скобки в правой части полученного равенства.

Раскроем скобки в правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы все сделали правильно, у нас должен получиться квадратный трехчлен x2 − 8x + 12

(х — 6)(х — 2) = х2 — 6х — 2х + 12 = х2 — 8х + 12

Пример 2. Разложите на множители следующий квадратный трехчлен:

2х2 — 14х+24

Приравниваем этот квадратный трехчлен к нулю и решаем уравнение:

2х2 — 14х + 24 = 0

Как и в предыдущем примере, коэффициент b четный. Поэтому можно использовать формулы для четного второго коэффициента:

Итак, x1 = 4, x2 = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2×2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подставим соответствующие значения . В этом случае а = 2

2×2 — 14x + 24 = 2(x — 4)(x — 3)

Возьмем чек. Для этого раскрываем скобки в правой части получившегося равенства. Если мы все сделали правильно, у нас должен получиться квадратный трехчлен 2×2 − 14x + 24

2(х — 4)(х — 3) = 2(х2 — 4х -3х + 12) = 2(х2 — 7х + 12) = 2х2 — 14х + 24

Как это работает

Разложение квадратного трехчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трехчлена подставить теорему Виета и произвести тождественные преобразования.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент а квадратного трехчлена равен единице:

х2 + Ьх + с

Напомним, что в случае приведения квадратного уравнения теорема Виета имеет вид:

Тогда редуцированный квадратный трехчлен x2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b. Для этого можно обе части умножить на -1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую части:

Теперь подставим выраженные переменные b и ci в квадратный трехчлен x2 + bx + c

Раскроем скобки, где это возможно:

В полученном выражении выполняем разложение полинома на множители методом группировки. В этом случае удобно сгруппировать первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

Из первых скобок выводим общий делитель x, из вторых скобок — общий делитель −x2

Кроме того, мы замечаем, что выражение (x − x1) является общим множителем. Вынесем за скобки:

Мы пришли к выводу, что выражение x2 + bx + c стало равным (x − x1)(x − x2)

х2 + Ьх + с = (х — х1)(х — х2)

Но это было в том случае, когда исходный квадратичный трехчлен редуцирован. В нем коэффициент а равен единице. И соответственно в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент а можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент а квадратного трехчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения перед скобками стоит коэффициент а

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Мы помним, что если квадратное уравнение не приведено, т е имеет вид ax2 + bx + c = 0, то теорема Виета имеет следующий вид:

Это связано с тем, что теорема Виета работает только для редуцированных квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 сократилось, нужно обе части разделить на a

Кроме того, чтобы разложить на множители квадратный трехчлен вида ах2 + Ьх + с, нужно вместо Ь и с подставить соответствующие выражения из теоремы Виета, но на этот раз использовать равенства
и

Выразим сначала b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части полученного равенства умножим на −1

Теперь выразим c из второго равенства. Для этого умножьте обе части на

Подставим теперь выраженные переменные b и ci в квадрат трехчлена ax2 + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будет выполняться с новой строки:

Здесь вместо переменных b и c мы подставили выражения −ax1 − ax2 и ax1x2, которые ранее были выражены из теоремы Виета. Теперь давайте раскроем скобки, где это возможно:

В полученном выражении выполняем разложение полинома на множители методом группировки. В этом случае удобно сгруппировать первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

Теперь выделим ось общего множителя из первых скобок, а общий множитель −ax2 из вторых скобок

Кроме того, отметим, что выражение x − x1 также является общим множителем. Вынесем за скобки:

В остальных скобках стоит общий множитель а. Вынесем его за скобки. Его можно поставить в самом начале выражения:

Мы пришли к выводу, что выражение ax2 + bx + c стало равным a(x − x1)(x − x2)

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Обратите внимание, что если квадратный трехчлен не имеет корней, его нельзя разложить на множители. В самом деле, если корней квадратного трехчлена не существует, то в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2 подставить будет нечего.

Если квадратный трехчлен имеет только один корень, то этот корень заменяется на x1 и x2 одновременно. Например, квадратный трехчлен x2 + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе факторизации будет заменено на x1 и x2. И значение ai в этом случае равно единице. Вы не можете записать это, потому что это не сработает:

Скобки внутри скобок могут быть раскрыты. Тогда мы получаем следующее:

Также, если нужно получить краткий ответ, то последнее выражение можно записать в виде (x + 2)2, так как выражение (x + 2)(x + 2) есть произведение двух множителей, каждый из которых равен (х + 2)

Примеры разложений

Пример 1. Разложите на множители следующий квадратный трехчлен:

3х2 — 2х — 1

Найдем корни квадратного трехчлена:

Воспользуемся формулой расширения. Слева запишем квадратный трехчлен 3×2 − 2x − 1, а справа его разложение в виде a(x − x1)(x − x2), где вместо a, x1 и x2 подставим соответствующие значения:

В остальных скобках вычитание можно заменить сложением:

Пример 2. Разложите на множители следующий квадратный трехчлен:

3 — 11х + 6х2

Расставляем члены так, чтобы старший коэффициент ставился первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6х2- 11х + 3

Найдем корни квадратного трехчлена:

Используем формулу разложения:

Упростим полученное разложение. Выносим за первые скобки общий делитель 3

Теперь воспользуемся ассоциативным законом умножения. Помните, что он позволяет умножать множители в любом порядке. Умножьте 3 на другие скобки. Это позволит избавиться от дроби в этих скобках:

Пример 3. Разложите на множители следующий квадратный трехчлен:

3х2 + 7х — 6

Найдем корни квадратного трехчлена:

Используем формулу разложения:

Пример 4. Найдите такое значение k, чтобы факторизация трехчлена 3×2 − 8x + k содержала множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трехчлена равен 2. Пусть корень 2 есть значение переменной x1

Чтобы найти значение k, нужно знать, чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В этом случае квадратный трехчлен не сокращается, поэтому сумма корней будет равна дроби
, а произведение корней есть дробь 

Выражаем переменную x2 из первого равенства и сразу подставляем найденное значение вторым равенством вместо x2

Теперь выразим k из второго равенства. Вот как мы находим его значение.

Пример 5. Разложите на множители следующий квадратный трехчлен:

Перепишем этот трехчлен в удобном для нас виде. Если мы заменим деление на умножение в первом члене, мы получим
. Если мы поменяем множители, то получим
. То есть коэффициент а будет равен

Коэффициент b можно преобразовать в правильную дробь. Так будет легче найти дискриминант:

Найдем корни квадратного трехчлена:

Используем формулу разложения:

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, они придумали формулу для корней. Это выглядит так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Этот список означает:

, .

Чтобы легко использовать эту формулу, вам нужно понять, как она появилась. Давай выясним.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратного уравнения можно использовать формулу универсального корня — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе по алгебре перед вами может стоять задача найти действительные корни квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислить значения корней. Если дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

• вычислить значение его дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
• если дискриминант отрицателен, исправить отсутствие действительных корней;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле x = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найдите два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью им пользоваться, давайте потренируемся!

Примеры решения квадратных уравнений

Мы уже умеем решать квадратные уравнения, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение -4х2 + 28х — 49 = 0.

Как мы решаем:

1. Найдите дискриминант: D = 282 — 4 (-4) (-49) = 784 — 784 = 0
2. Поскольку дискриминант равен нулю, это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Давайте найдем кореньх = — 28/2 (-4)

   х = 3,5

Ответ: единственный рут 3.5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6×2 = 0.

Как мы решаем:

1. Сделаем соответствующие преобразования. Умножьте обе стороны на −154 — 6х2 = 0 | *(-1)

   6х2 — 54 = 0

2. Оставим неизвестное в одной части, остаток перенесем с обратным знаком в другую6×2=54

   х2 = 9

   х = ± √ 9

   х1 = 3, х2 = -3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2 — x = 0.

Как мы решаем:

1. Преобразуйте уравнение так, чтобы появились множителих (х — 1) = 0

   х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2 — 10 = 39.

Как мы решаем:

1. Оставим неизвестное в одной части, остаток перенесем с обратным знаком в другуюх2 — 10 = 39

   х2= 39 + 10

   х2= 49

   х = ± √ 49

   х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3х2 — 4х+94 = 0.

Как мы решаем:

1. Найдем дискриминант по формулеД = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = -1112
2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: нет корней.

В программе 8 класса нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить решение. Если дискриминант отрицательный, сразу пишем ответ, что действительных корней нет и мы не страдаем.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения
, где D = b2 — 4ac, помогает получить другую формулу, более компактную, с помощью которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Давайте посмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам надо решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2-4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2-ac) и заменим его формулой корня:

Для облегчения вычислений обозначим выражение n2 -ac как D1. Тогда формула для корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 n будет иметь вид:

где D1 = n2-ac.

Самые наблюдательные уже заметили, что D = 4D1, или D1 = D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является показателем наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D1= n2-ac;
• если D1< 0, то действительных корней нет;
• если D1= 0, можно вычислить единственный корень уравнения по формуле x = -n/a;
• если D1 > 0, можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль играют формулы Виета. Теорема звучит следующим образом:

Теорема Виета Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ — корни, то применяются два равенства:

Знак системы, обычно обозначаемый фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет это уравнение. Но в соответствии с теоремой можно написать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с обратным знаком. Оно равно четырем, поэтому мы используем минус четыре:

Согласно теореме произведение корней соответствует свободному члену. В этом случае свободный член номер три. Фонды:

Необходимо проверить, равна ли сумма корней −4, а произведение равно 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для четных второй коэффициент:

Оказалось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равна второму коэффициенту с обратным знаком, значит решение верное.

Согласно теореме Виета произведение корней −1 и −3 должно быть равно свободному члену, т.е числу 3. Это условие также выполняется:

Результатом проведенных расчетов является то, что мы убеждаемся в справедливости выражения:

Как только сумма и произведение корней квадратного уравнения даны, обычно начинают выбирать подходящие корни. Теорема, переходящая в теорему Виета, при таких условиях может оказаться важнейшим помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с обратным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем заключается в самом выводе, который дает первая теорема. Итак, когда мы доказали теорему Виета, стало ясно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это утверждение.

Пример 1. Решить по теореме Виета: x2 − 6x + 8 = 0.

Как мы решаем:

1. Сначала запишите сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен -6. А произведение корней равно 8.
2. Имея эти два равенства, мы можем найти подходящие корни, удовлетворяющие обоим равенствам системы.Чтобы легче было подобрать корни, нужно их умножить. Число 8 можно получить, перемножив числа 4 и 2 или 1 и 8. Но значения х1 и х2 надо подобрать так, чтобы они также удовлетворяли второму равенству.

   Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят к обоим равенствам:

   

3. Следовательно, числа 4 и 2 являются корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы всегда шли в школу по одной и той же дороге, а потом вдруг нашли более короткий путь, значит, у нас теперь есть выбор: упростить себе задачу и сократить время в пути или прогуляться по привычному маршруту.

То же самое относится и к вычислению корней квадратного уравнения. Ведь проще вычислить уравнение 11х2 — 4х — 6 = 0, чем 1100х2 — 400х — 600 = 0.

Часто упрощения вида квадратного уравнения можно добиться, умножив или разделив обе части на некоторое число. Например, в предыдущем разделе мы упростили уравнение 1100×2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не взаимно просты. Затем принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных значений коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12×2- 42x + 48 = 0. Найдите наибольший общий делитель модулей коэффициентов: gcd (12, 42, 48) = 6. Разделите обе части исходного квадратного уравнения на 6 и пришли к эквивалентному уравнению 2×2 — 7x + 8 = 0. Это так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения — отличный способ избавиться от дробных коэффициентов. В этом случае лучше умножать на наименьшее общее кратное знаменателей коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножьте на НОК (6, 3, 1) = 6, тогда оно примет более простой вид х2 + 4х — 18 = 0.

Для удобства можно также избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения – для этого умножаем или делим обе части на −1. Например, удобно перейти от квадратного уравнения −2×2-3x+7=0 к решению 2×2+3x-7=0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже помнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через коэффициенты:

Из этой формулы можно получить другие соотношения между корнями и коэффициентами.

Например, можно использовать формулы из теоремы Виета:

• х₁ + х₂ = — б/а,
• х1*х2 = с/а.

Для данного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней является свободным членом. Например, в виде уравнения 3х2-7х+22=0 можно сразу сказать, что сумма корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже написанные формулы и с их помощью получить ряд других соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом, мы можем выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через коэффициенты: