Сравнение натуральных чисел, знаки сравнения

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел равны, говорят, что эти числа равны друг другу. Одинаковые числа называются четными. Если записи двух натуральных чисел различны, говорят, что эти числа не равны. Неравные числа называются нечетными.

Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи совпадают), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи разные). Следовательно, числа 34 и 34 равны, а 63 и 67 неравны.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие символы:

=, > и   <.

Когда вы пишете сравнение, эти символы помещаются между числами.

Первый знак = называется знаком равенства и заменяет слово равный или аналогичный. Например, если числа а и b равны, напишите а = b и скажите: а равно b.

Запись, состоящая из математических выражений, между которыми стоит знак =, называется равенством.

Пример.

4 = 4 — равенство.

2+3=5 — равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (такие записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Сходства могут быть как истинными (например, 5 = 5 — истинное сходство), так и ложными (например, 11 = 14 — ложное сходство).

Два других знака > и < называются знаками неравенства и означают: знак > больше, а знак < меньше. Например, если число а больше числа b, напишите а > b и скажите: а больше, чем b, или напишите b < а и скажите: b меньше, чем а.

Символы > и < должны указывать на наименьшее число.

Запись, состоящая из математических выражений, между которыми стоит знак > или <, называется неравенством.

Пример.

5 > 4 — неравенство.

2 < 7 — неравенство.

2 + 3 < 7 — неравенство (такие записи представляют собой неравенство двух числовых выражений, и означают неравенство между значениями этих выражений).

Неравенства могут быть как истинными (например, 2 < 9 — верное неравенство), так и ложными (например, 5 > 8 — ложное неравенство).

Помимо неравенств со знаками > и <, называемых строгими, используются нестрогие неравенства, для которых вводятся знаки ⩾ и ⩽. Знак ⩾ читается больше или равно, знак ⩽ читается меньше или равно. Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой частей. Например, 7 ⩽ 7 является допустимым неравенством.

Чтобы записать неравенство двух натуральных чисел, можно использовать знак ≠. Знак ≠ читается иначе. Например, запись a ≠ b означает, что a не равно b.

Как правило, если не указано иное, термин «неравенство» относится только к записям со знаками >, <, ⩾ и  ⩽.

Читайте также: Топ-5 самых длинных автотранспортных тоннелей мира

Правила чтения равенств и неравенств

Сходства и различия читаются слева направо. Левая часть сравнения читается в именительном падеже, правая — в дательном.

Пример. 7 = 7 — семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая часть — в родительном падеже.

Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 < 5 — три меньше пяти.

Правила сравнения чисел

Числа можно сравнивать двумя способами: используя натуральные числа и используя их десятичную запись.

Правило сравнения при использовании натуральных рядов:

Из двух натуральных чисел меньше то, что встречается в натуральном ряду раньше (т.е лежит слева), а больше то, что встречается позже в натуральном ряду (т.е лежит справа).

Поэтому в натуральном ряду каждое число, кроме 1, больше предыдущего.

Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одну строку в следующем порядке:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число 1 меньше числа 3 (1 < 3), так как число 1 находится левее числа 3 в натуральном ряду. Число 7 больше числа 4 (7 > 4), так как число 7 находится справа от числа 4 в натуральном ряду.

Для использования правил сравнения чисел с их десятичной записью необходимо принять одно условие: будем считать, что число 0 меньше натурального числа, а ноль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по десятичной системе счисления:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, числа сравниваются побитно слева направо. Большим числом будет считаться то, у которого первая (слева направо) из различных цифр больше.

Когда говорят, что числа равны (или одно число больше другого), имеют в виду, что соответствующие числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства можно написать их друг под другом:

4026
4019

Сначала мы сравниваем значения с разрядом тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому продолжаем сравнивать значения следующей цифры. Снова получаем равенство 0 = 0, продолжаем сравнивать значения разряда яруса. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого заключаем, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), так как первое число, цифра разряда яруса (2) больше разряда разряда цифра уровня (1) во втором номере.

Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться число с наибольшим количеством цифр.

Пример. Сравним натуральные числа 347503 и 34503. Для удобства напишем их друг под другом:

347	503
34	503

Написав числа друг под другом, хорошо видно, что первое число имеет больше цифр, чем второе, следовательно, 347503 > 34503.

Два натуральных числа равны, если они имеют одинаковое количество цифр и одинаковые цифры одинаковых цифр.

Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для простоты напишем их друг под другом:

38 526 734
38 526 734

Записи этих чисел одинаковы (количество цифр и цифр с одинаковыми цифрами равны), поэтому эти числа равны.

Двойные неравенства, тройные неравенства и так далее

При записи, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.

Пример. Известно, что 4 < 7 и 7 < 16. Эти два неравенства удобнее представить в виде двойного неравенства:

4 < 7 < 16.

Двойные неравенства обычно читаются с середины. Например, неравенство 2 < 4 < 5 читается так: четыре больше двух, но меньше пяти.

В виде двойного неравенства можно записать результат сравнения трех натуральных чисел.

Пример. Допустим, нам нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Если мы сравним эти числа друг с другом, то получим три неравенства 11 < 34, 8 < 11 и 34 > 8, которые можно записать в виде двойного неравенства:

8 < 11 < 34.

Аналогично строятся тройные, четверные и т д неравенства.

Пример. Известно, что 12 < 15, 47 > 15, 47 < 112, тогда можно написать

12 < 15 < 47 < 112.

Понятие десятичной дроби

Прежде чем мы расскажем вам, как сравнивать десятичные дроби, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это число в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный дисплей — 1/2 или a/b,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Оно пишется в строке через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Как это:

• 0,1
• 2,53
• 9932

Конечный десятичный знак — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21.10200000 = 21.102

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в правильной форме, если знаменатель правильной дроби равен 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и так далее. То есть 1 цифра — это делитель 10, 4 цифры — это делитель 10000.

Правило сравнения десятичных дробей

Чтобы сравнить две десятичные дроби, нужно сначала сравнить их целые части. Если целые части равны, мы продолжаем искать первый бит, который не совпадает. Самая большая дробь та, у которой больше соответствующая цифра.

Таким образом, тема сравнения десятичных дробей была раскрыта с первой строки. Но это еще не все — идем дальше.

Алгоритм десятичного сравнения Убедитесь, что оба десятичных знака имеют одинаковое количество десятичных знаков (цифр) справа от десятичной точки. Если нет, добавьте (уберите) необходимое количество нулей к одной из десятичных дробей. Сравните десятичные дроби слева направо. Целые части с целыми частями, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее Когда одна из частей десятичной дроби больше другой, эту дробь можно назвать большей дробью.

Применим правило на практике. Сравним десятичные дроби: 15,7 и 15,719.

Как мы решаем:

• Добавим к первой десятичной дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество цифр справа от запятой: 15 700 и 15 719.
• Сравните десятичные дроби слева направо.

Целая часть за целой частью: 15 = 15. Целые части равны.

Десятки с десятками: 7 = 7. Времена тоже равны.

Сотые с сотыми: 0 < 1. Так как сотые доли второй десятичной дроби больше, то и сама дробь больше: 15 700 < 15 719.

Ответ: 15,7 < 15,719.

Другой способ сравнения десятичных дробей:

Для сравнения двух десятичных дробей необходимо уравнять количество знаков после запятой (к одному из них справа добавить нули), затем отбросить запятую и сравнить два натуральных числа.

Сравним 3,656 и 3,48.

Как мы решаем:

• Сбалансируйте количество знаков после запятой справа от запятой: 3656 и 3480.
• Опустим запятые: 3656 и 3480.
• Сравним полученные числа: 3656 > 3480.

Ответ: 3,656 > 3,48.

Помнить! Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче слева от большей, а большая — справа от меньшей.

Например, 0,3 < 0,4 < 0,5, поэтому точка A (0,3) лежит левее точки B (0,4), а точка C (0,5) лежит справа от точки B (0,4).

Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель.

Например, давайте сравним дроби и . Каждая дробь имеет знаменатель 3. У первой дроби числитель 2, а у второй числитель 1. Поскольку 2 > 1, первая дробь больше второй. Заключение: .

Как сравнить дроби с одинаковыми числителями

Чтобы сравнивать дроби с разными знаменателями, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Например, давайте сравним дроби и . Каждая дробь имеет числитель 1. Первая дробь имеет знаменатель 3, а вторая имеет знаменатель 6. Поскольку 3 < 6, первая дробь больше второй. Заключение: .

Как сравнить дроби с разными знаменателями

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель.

При приведении дробей к общему знаменателю их сравнивают по правилу, когда знаменатели равны.

Неправильная дробь всегда больше правильной дроби.

Неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Например: .

Сравнение смешанных дробей

Для сравнения смешанных дробей необходимо смешанную дробь преобразовать в неправильную. Если знаменатели разные, приведите дроби к общему знаменателю. Если он одинаковый, то сравните счетчики.

Сравните дроби 8/9 и 18/8
Сравните дроби 18/7 и 3/3
Сравните дроби 7/14 и 25/9
Сравните дроби 25/17 и 7/10
Сравните дроби 19/13 и 1/13
Сравните дроби 1/22 и 10/19

Пояснение на примерах

Задача 2

Даны две десятичные дроби, которые нужно сравнить:

6.4 и 6.45.

Решение

Попробуем сравнить эти дроби первым способом. Обратите внимание, что число 6,45 имеет два десятичных знака. Дробь 6.4 имеет только одну цифру после запятой. Поэтому прибавляем в конце ноль, получаем 6,40.

Далее выполняем действия по алгоритму. Целые части дробей одинаковы, то есть:

6 = 6

Сравните дроби. Десятина равна:

4 = 4

Сотни связаны друг с другом таким образом:

4 < 5

Так как сотые доли второй дроби больше сотых первой дроби, то вторая дробь больше первой:

6,40 < 6,45

Ответ: 6,4 < 6,45.

Задача 3

Сравните два десятичных знака:

5.146 и 5.14.

Решение

Здесь мы попробуем сравнить дроби другим способом. Из первой дроби вычесть вторую:

5,146 — 5,14 = 0,006

У нас есть число больше нуля:

0,006 > 0

Таким образом:

5,146 > 5,14

Ответ: 5,146 > 5,14