Свойства деления натуральных чисел, свойство деления суммы на число

Определение действия деления, компоненты при делении

В математике выделяют 4 основных действия, в которых происходит поиск решения примера: сложение, вычитание, умножение и деление.

Умение решать примеры с делением потребуется не только в контрольной и самостоятельной работе, на уроках и в тренажерах, но и в повседневной жизни.

Умножение и деление более сложны, чем операции сложения и вычитания. Точно так же, как многократное сложение заменяется умножением, многократное вычитание заменяется делением.

Определение

Деление — это математическая операция, обратная умножению. Он состоит в делении числа на несколько равных частей. Основная задача состоит в том, чтобы найти неизвестный множитель, используя другой известный множитель и известное произведение операции умножения.

Помимо двоеточия «:», деление в письменной форме может быть заменено также обелусом «÷», косой чертой «/» или горизонтальной чертой «-». Само деление также можно назвать отношением между числами.

С точки зрения буквальной математической модели операция деления выглядит так:

с: б = а

В этом случае c — делимое число, b — делитель, a — частное. Фактически он показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

Простые числа могут быть полностью делимыми, что дает полное частное, или не полностью делимыми, что дает частичное частное. Способность делиться таким образом называется делимостью.

Разделить число можно разными способами: столбиком, с помощью таблицы умножения, с помощью алгоритма деления определенного числа, самостоятельно или с помощью средств вычисления.

Признаки делимости чисел без остатка:

• число делится на 2, если последняя цифра четная;
• число делится на 3, если сумма всех цифр делится на 3;
• число делится на 4: двузначное число делится на 4, если удвоенное число десятков плюс число, стоящее в разряде единиц, делится на 4; если число состоит из трех, четырех и более цифр, оно будет делиться на 4 только в том случае, если последние две цифры образуют число, кратное 4;
• число делится на 5, если последняя цифра 5 или 0;
• число делится на 6, если оно кратно 2 и 3 одновременно;
• число делится на 7, если сумма его утроенных десятков и единиц кратна 7;
• число делится на 8, если его последние три цифры образуют число, которое делится на 8;
• число делится на 9, если сумма всех цифр делится на 9;
• число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Операция деления прямо противоположна операции умножения. Между ними существует особая связь.

Если произведение натуральных чисел а и b равно с, то частное с и а равно b, а частное с и b равно а.

Ввод письма будет выглядеть так:

a*b=c, поэтому c_a=b и c_b=a

Деление имеет ряд свойств:

• распределительный — при делении суммы на число, разности на число, произведения на число или числа на произведение;
• деление на единицу;
• разделить число само на себя;
• делить число на ноль.

Последнее свойство важно тем, что его обратное действие невозможно, так как нельзя делить на ноль.

В математике деление является высокоприоритетной операцией, то есть в примере операция деления выполняется перед операцией сложения или вычитания.

Читайте также: Сравнение натуральных чисел, знаки сравнения

Понятие делимости

Признаки делимости чисел — это функции чисел, позволяющие определить, является ли число кратным делителю или нет.

Свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое ненулевое целое число делится на натуральное число, равное модулю данного целого числа.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4. Если целое число а делится на натуральное число b и абсолютное значение а меньше, чем b, то а равно нулю.
5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то абсолютное значение a не меньше b.
6. Единственным делителем единицы является сама единица.
7. Чтобы целое число а делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы абсолютное значение числа а делилось на b.
8. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости можно использовать для решения задач и доказательства теорем.

Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т д. Ноль относится и к четным числам.

Нечетные числа – это числа, которые не делятся на два: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и так далее

Признаки делимости

Рассмотрим знаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признаки делимости на 2

Число делится на 2, если последняя цифра четная.

Пример: число 2164 делится на 2, потому что последняя цифра (6) — четное число.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только числа, сумма цифр которых делится на 3.

Пример: число 81 300 делится на 3, потому что сумма цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, если две последние цифры равны нулю или образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

• число 37 100 делится на 4, потому что оно оканчивается двумя нулями;
• число 7524 делится на 4, потому что две последние цифры (24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5

Числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5.

Пример: 450 делится на 5, потому что последняя цифра 0.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

Примеры:

• число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2, и на 3;
• 861 не делится на 6, потому что оно делится на 3, но не делится на 2.

Признаки делимости на 7

Признак делимости на 7 можно проверить следующим образом:

1. Умножьте последнюю цифру числа на два.
2. Вычесть полученное произведение из оставшегося числа (без последней цифры).
3. Полученная разница должна быть кратна 7.

Пример: 343 делится на 7, потому что 34 − (2 · 3) = 28, а 28 делится на 7.

Признаки делимости на 8

На 8 делятся те числа, у которых последние три цифры равны нулю или образуют число, которое делится на 8.

Пример:

• число 11 000 делится на 8, потому что оно оканчивается тремя нулями;
• 12128 делится на 8, потому что последние три цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признаки делимости на 9

На 9 делятся только числа, сумма цифр которых делится на 9.

Пример: число 2637 делится на 9, потому что сумма цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10

Числа, оканчивающиеся на ноль или более нулей, делятся на 10.

Пример:

• число 980 делится на 10;
• 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.

Задачи, которые решаются при помощи действия деления

С помощью операции деления можно решать не только математические, но и бытовые задачи.

решение математических задач включает в себя решение примеров с величинами, когда используются понятия деления величин на числа.

Решение бытовых задач включает в себя различные примеры обмена предметами (потенциальными и реальными) между участниками процессов: например, разделение обеда на несколько членов семьи, разделение сладостей на количество друзей или совместное использование бутылок с водой с туристической группой. Дивизиональная операция также может помочь в решении проблем, связанных с оплатой счетов, банковскими операциями, покупками в магазинах и т д.

Связь деления с умножением, сложением и вычитанием

Деление — это математическая операция, имеющая определенную связь с умножением, сложением и вычитанием как с основными математическими операциями.

Деление считается полной противоположностью умножения. Произведением множителей на один из них можно найти недостающий множитель.

Пример 1

а*б=20

20 : 4 = 5

20:5 = 4

а = 4

б = 5

По принципу действия делением называется вычитание одного и того же числа, повторяющееся n раз в зависимости от величины делимого и делителя.

Пример 2

28:7=4

28-7=21, 21-7=14, 14-7=7, 7-7=0

Деление не имеет прямого отношения к операции сложения. Это отношение имеет операцию умножения, прямо противоположную операции деления.

Пример 3

3*4=12=4+4+4

12:4=3

12:3=4

Общие формулы свойств деления

Все свойства деления можно представить в виде формул:

(а + б): с = а: с + б: с

(а — б): с = а: с — б: с

(ab): c = (a: c) b = (b: c) a

а : (бс) = (а : б) : с = (а : с) : б

а : 1 = а

а : а = 1

0 : а = 0 (а ≠ 0)

Нельзя делить на ноль

Свойство 1

Частное от деления натурального числа само на себя равно единице.

а : а = 1

Примеры:

• 9 : 9 = 1
• 26 : 26 = 1
• 293 : 293 = 1

Свойство 2

Если натуральное число разделить на единицу, получится то же число.

а : 1 = а

Примеры:

• 17 : 1 = 17
• 62 : 1 = 62
• 315 : 1 = 315

Свойство 3

При делении натуральных чисел нельзя применять коммутативный закон, применимый к сложению.

а : б ≠ б : а

Примеры:

• 84:21 ≠ 21:84
• 440 : 4 ≠ 4 : 440

Свойство 4

Если вы хотите разделить сумму чисел на заданное число, вы должны добавить частное, чтобы разделить каждый член на заданное число.

(а + б): с = а: с + б: с

Обратное свойство:

с : (а + б) = с : а + с : б

Примеры:

• (45 + 18) : 3 = 45 : 3 + 18 : 3
• (28 + 77 + 140) : 7 = 28 : 7 + 77 : 7 + 140 : 7
• 120 : (6 + 20) = 120 : 6 + 120 : 20

Свойство 5

Когда вы делите разность чисел на данное число, вы должны вычесть частное от деления вычитаемого на данное число из частного от деления уменьшаемого на это число.

(а – б) : с = а : с – б : с

Обратное свойство:

с : (а — б) = с : а — с : б

Примеры:

• (60 — 30) : 2 = 60 : 2 — 30 : 2
• (150 — 50 — 15) : 5 = 150 : 5 — 50 : 5 — 15 : 5
• 360 : (90 — 15) = 360 : 90 — 360 : 15

Свойство 6

деление произведения чисел на заданное число равносильно делению одного из множителей на это число, а затем умножению результата на другое.

(а ⋅ б) : с = (а : с) ⋅ б = (б : с) ⋅ а

Если число, на которое делится, равно одному из множителей:

• (а ⋅ б) : а = б
• (а ⋅ б) : б = а

Обратное свойство:

с : (а ⋅ б) = с : а : б знак равно с : б : а

Примеры:

• (90 ⋅ 36) : 9 = (90 : 9) ⋅ 36 = (36 : 9) ⋅ 90
• 180 : (90 ⋅ 2) = 180 : 90 : 2 = 180 : 2 : 90

Свойство 7

Если вы хотите, чтобы частное чисел a и b делилось на число c, это означает, что a делится на произведение b и c.

(а : б) : с = а : (б ⋅ с)

Обратное свойство:

а : (б : с) = (а : б) ⋅ с = (а ⋅ с) : б

Примеры:

• (16 : 4) : 2 = 16 : (4 ⋅ 2)
• 96 : (80 : 10) = (96 : 80) ⋅ 10

Свойство 8

При делении нуля на натуральное число получается ноль.

0 : а = 0

Примеры:

• 0 : 17 = 0
• 0 : 56 = 56

Примечание. Нельзя делить число на ноль.

Деление двух равных натуральных чисел

Чтобы понять, как разделить натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. Конечный результат зависит от того, какое значение мы придаем делителю. Рассмотрим два возможных варианта.

Итак, у нас есть объект (a — произвольное натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом количество групп должно быть равно а. Разумеется, в этом случае в каждой группе будет только один предмет.

Перефразируем немного иначе: как разбить объект на группы по одному объекту в каждой? Сколько групп будет в итоге? Конечно только один.

Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:

Определение 1

в результате деление натурального числа на равное ему дает единицу. Другими словами, a: a=1 (a — любое натуральное число).

Давайте рассмотрим два примера для иллюстрации:

Пример 1

деление 450 на 450 равно 1. Деление 67 на 67 равно 1.

Как видите, от конкретных чисел здесь ничего не зависит, результат будет тот же при условии равенства делимого и делителя.

Деление натурального числа на единицу

Как и в предыдущем разделе, начнем с задач. Допустим, у нас есть товары в количестве, равном а. Необходимо разделить их на некоторое количество частей, по одной штуке в каждой. Понятно, что у нас должен быть соучастник.

А если спросить: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить предмет? Ответ очевиден — а.

Таким образом, мы подходим к формулировке свойства деления натуральных чисел на 1:

Определение 2

Когда вы делите натуральное число на единицу, вы получаете то же самое число, то есть a_1=a.

Давайте рассмотрим 2 примера:

Пример 2

Если разделить 25 на 1, получится 25.

Пример 3

Если разделить 11 345 на 1, получится 11 345.

Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел

При умножении мы можем свободно менять множители и получать тот же результат, но это правило не распространяется на деление. Обмен делимого и делителя возможен только в том случае, если они равны натуральным числам (это свойство мы уже рассмотрели в первом абзаце). То есть можно сказать, что свойство коммутативности применимо только к тому случаю, когда в делении участвуют одинаковые натуральные числа.

В остальных случаях обменивать делимое с делителем нельзя, так как это приведет к искажению результата. Объясним почему подробнее.

Мы не всегда можем делить одни натуральные числа на другие, даже произвольно. Например, если делимое меньше делителя, такой пример мы решить не можем (как делить натуральные числа с остатком разберем в отдельном материале). Другими словами, если натуральное число равно а, можем ли мы разделить его на b? А их значения не равны, то а будет больше b, и запись b:a не будет иметь смысла. Выведем правило:

Определение 3

В общем случае коммутативность деления натуральных чисел неприменима, т.е а: b ≠ b: а (здесь а и b — произвольные натуральные числа, не равные друг другу).

Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Чтобы лучше объяснить это правило, приведем несколько наглядных примеров.

У нас есть группа детей, которым мы должны разделить мандарины поровну. Фрукты уложены в два мешка. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что их можно разделить на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в общий пакет, а потом разделить и раздать. А можно сначала поделиться фруктами из одной упаковки, а потом из другой. Понятно, что в обоих случаях никто не будет обижен и все будет разделено поровну. Поэтому мы можем сказать:

Определение 4

Результат деления суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число равен результату сложения частных от деления каждого члена на одно и то же натуральное число, т е. (a + b): c = a: c + b: c. В этом случае значения всех переменных являются натуральными числами, значение a делится на c, а b также делится на c без остатка.

Имеем равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым — сложение (вспомните, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).

Докажем справедливость полученного равенства на примере.

Пример 4

Возьмем для него подходящие натуральные числа: (18+36):6=18:6+36:6.

Теперь посчитаем и узнаем, правда ли это. Подсчитаем значение левой части: 18+36=54 и (18+36):6=54:6.

Запоминаем результат из таблицы умножения (если забыли, найдите в ней нужное значение): 54_6=9.

Затем считаем правую часть: 18:6 + 36:6.

Мы помним, сколько 18_6=3 и 36_6=6. Итак, 18:6+36:6=3+6=9.

Получается правильное равенство: (18+36):6=18:6+36:6.

Сумма натуральных чисел, выступающая в примере в качестве делимого, может быть не только 2, но и 3 и более. Это свойство в сочетании с ассоциативным свойством сложения натуральных чисел также позволяет нам выполнять такие вычисления.

Пример 5

Итак, (14+8+4+2):2 будет равно 14:2+8:2+4:2+2:2.

Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Точно так же мы можем вывести правило для разницы между натуральными числами, которую мы делим на другое натуральное число:

Определение 5

Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получаем, вычитая из частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.

. (ab): c=a: c – b: c.Значения переменных – натуральные числа, при этом a больше или равно b, a и b делятся на c.

Докажем справедливость этого правила на примере.

Пример 6

Подставьте правильные значения в уравнение и рассчитайте: (45-25):5=45:5-25:5. 45-25=20 (о том, как найти разницу между натуральными числами, мы уже писали). (45-25):5=20:5.

По таблице умножения помним, что результат будет равен 4.

Считаем правую сторону: 45:5-25:5. 45_5=9 и 25_5=5, поэтому 45:5-25:5=9-5=4. 4=4, получается, что (45-25):5=45:5-25:5 — верное равенство.

Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число

Вспомним, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет для нас очевидным. Выведем правило:

Определение 6

Если мы разделим произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, мы получим число, равное другому множителю.

В буквальном виде это можно записать как (ab): a=b или (ab): b=a (значения a и b — натуральные числа).

Пример 7

Таким образом, результат деления произведения 2 и 8 на 2 будет равен 8, а (3 7): 7=3.

Но что, если делитель не равен ни одному из множителей, составляющих делимое? Тогда здесь действует другое правило:

Определение 7

Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число аналогичен тому, что получится, если один из множителей разделить на это число, а результат умножить на другой множитель.

Мы получили неочевидное на первый взгляд заявление. Но если учесть, что умножение натуральных чисел фактически сводится к сложению членов, равных по значению (см материал об умножении натуральных чисел), то это свойство можно вывести из другого, о котором мы говорили примерно немного выше.

Запишем это правило в буквальном виде (значения всех переменных — натуральные числа).

Если мы можем разделить a на c, то (ab):c=(a:c) b будет истинным.

Если b делится на c, то верно (ab):c=a (b:c).

Если и a, и b делятся на c, то мы можем приравнять одно равенство к другому: (ab):c=(a:c) b=a (b:c).

С учетом отмеченного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства (8 6_2= (8:2) 6 и (8 6):2=8 (6:2).

Мы можем записать их в виде двойного равенства: (8 6):2= (8:2) 6=8 (6:2).

Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел

Опять же, начнем с примера. У нас есть определенное количество призов, назовем его одним. Они должны быть поровну распределены между членами команды. Обозначим количество участников буквой с, а количество команд буквой б. При этом берем такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Проблема может быть решена двумя различными способами. Рассмотрим оба.

1. Вы можете подсчитать общее количество участников, умножив b на c, а затем разделив все призы на полученное число. В буквальном виде это решение можно записать как: (bc).

2. Вы можете сначала разделить призы между количеством команд, а затем распределить их внутри каждой команды. Запишем это как (a:b):c.

Очевидно, что оба метода дадут нам одинаковые ответы. Следовательно, мы можем приравнять оба равенства между собой: a:(bc)=(a:b):c. Это будет буквальный обзор свойства совместного использования, которое мы рассмотрим в этом разделе. Сформулируем правило:

Определение 8

Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и разделив полученное частное на другой множитель.

Пример 8

Приведем пример задачи. Докажем, что равенство 18:(2 3) = (18:2):3 верно.

Вычислим левую часть: 2 3=6, а 18:(2 3) равно 18_6=3.

Рассмотрим правую сторону: (18:2):3. 18_2=9 и 9_3=3, затем (18:2):3=3.

Мы получили 18:(2 3)=(18:2):3. Это равенство иллюстрирует для нас свойство деления, которое мы привели в этом абзаце.

Деление нуля на натуральное число

Что такое ноль? Раньше мы договорились, что это означает отсутствие чего-либо. Ноль не является натуральным числом. Оказывается, если мы поделим ноль на натуральное число, это будет равносильно попытке разделить пустоту на части. Очевидно, что в итоге мы все равно получим «ничего», на сколько бы частей мы его не делили. Отсюда выводим правило:

Определение 9

Когда мы делим ноль на любое натуральное число, мы получаем ноль. Буквально это записывается как 0: a=0, при этом значение переменной может быть любым.

Пример 9

Так, например, 0_19=0 и 0:46869 также будет равно нулю.

Деление натурального числа на нуль

Это действие невозможно выполнить. Давайте выясним, почему именно.

Возьмем произвольное число a и предположим, что его можно разделить на 0, чтобы в результате получить число b. Запишем это как a_0=b. Теперь давайте вспомним, как связаны между собой умножение и деление, и выведем равенство b·0=a, которое также должно быть верным.

Но ранее мы уже объяснили свойство умножения натуральных чисел на ноль. По его словам, b·0=0. Если сравнить полученные равенства, то получим, что a=0, а это противоречит начальному условию (ведь ноль не натуральное число). Получается, что мы имеем противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.

Определение 10

Нельзя делить натуральное число на ноль.

Распределительные свойства деления

К распределительным свойствам деления относятся операции:

• разделить сумму на число;
• разделить разницу на число;
• разделить произведение на число;
• разделить число на произведение.

Когда вы делите сумму на число, вы должны разделить каждое из членов числа, а затем сложить результаты частей.

Примечание 1

запись этого свойства в виде формулы будет выглядеть так:

(а+б+в):д = а:г+б:д+в:д

Важно помнить, что числа, полученные при делении слагаемых, должны быть получены без остатка, чтобы результат был точным.

При делении разности числа нужно также делить каждое из чисел в примере на делитель, но при этом соблюдать строгий порядок. Сначала необходимо разделить уменьшаемое, затем вычитаемое и только после этого выполнять операцию вычитания.

Заметка 2

Формула деления разности на число выглядит так:

(аб): с = а: сб: с

При делении не должно быть остатка, что и следует из правила.

деление произведения на число означает деление только одного из множителей и последующее умножение без изменения. Выбор множителя зависит от значения делителя и удобства операции деления.

Смысл этого правила в том, что при делении произведения результат уменьшается на количество раз, определяемое делителем. Если любой из множителей произведения уменьшается в заданное количество раз, результат произведения также автоматически уменьшается на такое же количество.

Заметка 3

В виде формулы это выглядит так:

(a*b*c):d=a:d*b*c=b:d*a*c=c:d*a*b

деление числа на произведение требует выполнения операций деления в строгом порядке. Для решения примера необходимо разделить первый множитель, результат разделить на второй множитель, третий и так далее.

Примечание 4

В буквальном виде:

а:(б*в*д)=а:б:в:д

При делении также не должно быть остатка, чтобы получить более точные результаты.

Деление двух чисел при помощи вычитания

Операция деления — это операция многократного вычитания повторяющегося числа из делимого.

Пример 4

Частное показывает, сколько раз делитель можно вычесть из делимого:

35:7=5

то есть 35-7-7-7-7-7=0

В этом примере делитель 7 можно вычесть ровно 5 раз из делимого 35, которое является частным.

Деление на единицу с любым количеством нулей

При делении на единицу натуральное число, над которым производится операция деления, не изменится, так как в результате деления на единицу получается делимое. На самом деле число делится только один раз: полностью и без остатка.

При делении на единицу на любое количество нулей это число должно включаться в результат. Поскольку число остается прежним, нули сдвигаются вперед или отбрасываются.

Если делимое содержит нули, то количество нулей в делимом отбрасывается ровно столько, сколько нулей в делителе.

Пример 5

100:10=10

2000:100=20

30000:10000=3

Если делимое не содержит нулей, то количество нулей в делителе предшествует делимому. Ноль перед запятой, остальное после.

Это действие приведет к появлению десятичной дроби, то есть дроби, в которой сначала пишется ноль, затем запятая, а после определенное количество нулей и делимое число.

Неизвестный множитель.

Рассмотрим проблему:
В каждой упаковке 3 елочных шара. Для украшения елки нам понадобится 30 фенечек. Сколько упаковок елочных игрушек нам нужно взять?

Решение:
x — неизвестное количество пакетов с воздушными шарами.
3 — штук в пачке шаров.
30 — всего мячей.

x⋅3=30 мы должны взять 3 столько раз, чтобы получить в сумме 30 x — неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.

Ответ: 10 упаковок воздушных шаров.

Неизвестное делимое.

Рассмотрим проблему:
В каждой упаковке 6 цветных карандашей. Всего 3 упаковки. Сколько карандашей было до того, как их разложили по упаковкам?

Решение:
x — всего карандашей,
6 — карандашей в каждой пачке,
3 — пачки карандашей.

Запишем уравнение задачи в виде деления.
х:6=3
х — неизвестная доходность. Чтобы найти неизвестное делимое, умножьте частное на делитель.
х=3⋅6
х=18

Ответ: 18 карандашей.

Неизвестный делитель.

Проанализируем проблему:
В магазине было 15 мячей. В течение дня в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили одинаковое количество мячей. Сколько воздушных шаров купил каждый покупатель?

Решение:
x — количество мячей, которые купил покупатель,
5 — количество покупателей,
15 — количество мячей.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х — в этом уравнении неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, делим делимое на частное.
х=15:5
х=3

Ответ: 3 мяча каждому покупателю.

Свойство деления одинаковых чисел.

3:3=1
а: а = 1
Правило обмена:
Когда вы делите ненулевое число само на себя, результат равен 1.

Вопросы по теме «дивизия”:

В a_b=c, что здесь личного?
Ответ: а:б и в.

Что такое частное?
Ответ: Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на ноль ответ всегда будет 0. Запись не имеет смысла.

Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. Любое число, умноженное на 0, будет 0, поэтому n — любое число.

Пример №1:
Найдите значение выражения: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0_41=0 б) 41_41=1 в) 41_1=41

Пример №2:
При каких значениях переменных справедливо равенство: а) х: 6 = 8 б) 54: х = 9

а) х — в данном примере делится. Чтобы найти делимое, умножьте частное на делитель.
х — неизвестная доходность,
6 — перегородка,
8 — рядовой.
х=8⋅6
х=48

б) 54 — делимое,
х — делитель,
9 — рядовой.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно разделить делимое на частное.
х=54:9
х=6

Задание 1:
У Саши 15 марок, а у Миши 45 марок. Во сколько раз больше марок у Миши, чем у Саши?
Решение:
Проблема может быть решена двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Чтобы получить 45, нужно 3 числа 15, поэтому у Миши в 3 раза больше марок, чем у Саши.
Другой путь:
45:15=3

Ответ: У Миши в 3 раза больше марок, чем у Саши.

Деление уголком

Такое деление применяется, когда одно число (делимое) нужно разделить на другое целое число (делитель) меньше 10.

Если результатом деления является целое число и остаток, этот остаток должен быть перенесен на следующую цифру делимого.

Пример деления уголком

Объяснение деления на примере угла:

Начинаем деление с левого ряда. Первая цифра 4, она не делится на 5, поэтому берем первые две цифры: 48, получаем 9 в первой цифре частного, остаток 3. Добавляем следующую цифру: 36, в частном пишем 7 , остаток равен 1. Затем к этому остатку прибавляем последнюю цифру делимого: 15. Приватно пишем последнюю цифру: 3.

Таблица проверки деления числа на другое без остатка

На	Если	Примеры
2	Последняя цифра — четное число	2, 6, 10, 24, 1000
3	Сумма цифр делится на три	36 3 + 6 = 9
4	число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4	2116 16 х 4 = 4
5	Последняя цифра 5 или 0	10, 20, 35, 1000
6	Последняя цифра четное число и сумма всех цифр делится на 3	6324 6 + 3 + 2 + 4 = 15
9	Сумма цифр делится на 9	81 279 8 + 1 + 2 + 7 + 9 = 27
10	Последняя цифра 0	20, 400, 1700