Умножение матриц: примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения

Операция умножения матриц.

Операция умножения матриц не очень сложная операция. Умножение матриц лучше всего понять на конкретных примерах, так как само по себе определение может сбивать с толку.

Начнем с самого простого примера:

Необходимо умножить
на
. Прежде всего, приведем формулу для этого случая:

— Здесь есть четкая закономерность.

Вот более сложный пример:

Умножить
на
.

Формула для этого случая: 
.

Умножение матриц и результат: 

В результате получается так называемая нулевая матрица.

Очень важно помнить, что «правило перестановки термов» здесь не работает, так как почти всегда MN ≠ NM. Поэтому при выполнении операции умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.

Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:

Умножить
на
.

Формула очень похожа на предыдущие:

Матричное решение: 

Читайте также: Как найти произведение двух комплексных чисел: формулы, примеры.

Произведение двух матриц

Определение 1

Произведение матриц (C=AB) является операцией только для непротиворечивых матриц A и B, где количество столбцов в матрице A равно количеству строк в матрице B:

C⏟m×n=A⏟m×p×B⏟p×n

Пример 1

Данные матрицы:

• A=a(ij) размеры m×n;
• B=b(ij) размеры p×n

Матрица C, элементы которой cij вычисляются по следующей формуле:

cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+aip×bpj, i=1,…m, j=1,…m

Пример 2

Рассчитаем произведения АВ=ВА:

А=121012, В=100111

Решение с правилом умножения матриц:

A⏟2×3×B⏟3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+ 1×1+2×1==2323⏟2×2

B⏟3×2×A⏟2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+ 1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=121012133⏟3×3

Произведение AB и BA существует, но это матрицы разных размеров: AB не равно BA.

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

• (AB)C = A(BC) — ассоциативность матричного умножения;
• A(B+C) = AB + AC — дистрибутивность умножения;
• (А + В) С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
• λ(АВ)=(λА)В

Пример 1

Проверяем свойство №1: (АВ)С=А(ВС):

(А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,

А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.

Пример 2

Проверяем свойство №2: А(В+С)=АВ+АС:

А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,

АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.

Условие перемножения (произведения) матриц

Матрица A не может быть умножена ни на какую матрицу B. Необходимо, чтобы количество столбцов в матрице A было равно количеству строк в матрице B

Оба продукта AB и BA могут быть определены только в том случае, если количество столбцов в A равно количеству строк в B, а количество строк в A равно количеству столбцов в B. В этом случае оба матрицы AB и BA будут квадратными, но их порядок будет другим.

Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели один и тот же порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.

Свойства перемножения (произведения) матриц

1. Ассоциативность произведения матриц

(А cdot B) cdot C = A cdot (B cdot C)

2. Распределительное свойство произведения матриц относительно суммы матриц

(A + B) cdot C = A cdot C + B cdot C

2. Перестановочное свойство произведения матриц применяется только в исключительных случаях. В общем случае произведение матриц этим свойством не обладает, т.е.:

А cdot B не = B cdot A

Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц

Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны между собой, т.е.

d_1 = d_2 = dots = d_n = d

то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство

А cdot D = D cdot А

Алгоритм нахождения произведения матриц

1. Матрица второго порядка и вектор-столбец

Пример:

2. Две матрицы второго порядка

Пример:

3. Матрицы третьего порядка

Пример:

По тому же алгоритму две матрицы умножаются «три на три» и выше порядков.

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц ABC вычисляется двумя способами:

• найти AB и умножить на C: (AB)C;
• или сначала найдите BC, а затем умножьте A(BC).

Пример 3

Умножьте матрицы двумя способами:

4375×-289338-126×7321

Алгоритм действий:

• найти произведение двух матриц;
• затем снова найти произведение двух матриц.

1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621

2). ABC=(AB)C=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.

Используем формулу АВС=(АВ)С:

1). БК=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12

2). ABC=(AB)C=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003

Ответ: 4375-289338-1267321=2003

Умножение матрицы на число

Определение 2

Произведением матрицы A на число k является матрица B = Ak того же размера, которая получается из исходной путем умножения на заданное количество всех элементов:

би, j = k × ai, j

Свойства умножения матрицы на число:

• 1×А=А
• 0×A=нулевая матрица
• к(А+В)=кА+кВ
• (k+n)A=kA+nA
• (к×п)×А=к(п×А)

Пример 4

Найдите произведение матрицы A=4290 x 5.

Решение:

5А=542905×45×25×95×0=2010450

Умножение матрицы на вектор

Определение 3

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, умножьте по правилу «строка на столбец»:

• если вы умножаете матрицу на вектор-столбец, количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в векторе-столбце;
• результат умножения вектора-столбца — это просто вектор-столбец:

AB=a11a12⋯a1n-21a22⋯a2n⋯am1am2⋯amnb1b2⋯b1n=a11×b1+a12×b2+⋯+a1n×bna21×b1+a22×a2+⯋⯋n×1 am2×b1 b2+⋯+amn× bn=c1c2 ⋯c1m

• если вы умножаете матрицу на вектор-строку, умножаемая матрица должна быть только вектором-столбцом, а количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

AB=aa⋯abb⋯b=a1×b1a1×b2⋯a1×bna2×b1a2×b2⋯a2×bn⋯an×b1an×b2⋯an×bn=c11c12⋯c1nc21c22⋯c1nc21c22⋯c1nc21c22⋯nc1nc21c22 cnn

Пример 5

Найдите произведение матрицы A и вектор-столбца B:

АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1× (-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2

Пример 6

Найдите произведение матрицы A и вектора-строки B:

А=320-1, В=-1102

Решение:

АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1 ×11×01×2=-3306-22040000-1102

Ответ: АВ=-3306-22040000-1102

Принцип умножения матрицы на вектор значения

Для определения значения произведения матрицы и вектора нужно воспользоваться правилом, которое звучит так: «умножить строку на столбец”

• при умножении матрицы на столбец вектора значение столбцов любой матрицы обязательно должно совпадать с количеством строк в векторе-столбце.
• конечным результатом произведения векторного столбца будет просто вектор.

• в случае, когда мы умножаем векторную строку, матрица при умножении обязательно должна быть векторным столбцом. Количество столбцов обязательно должно совпадать со значением столбцов по отношению к строкам.

Пример решения задачи такого типа:

Возведение матрицы в степенное значение

Чтобы возвести значение матрицы в степень, необходимо выполнить следующую операцию: умножить все значения матрицы друг на друга.

Произведение значения массива будет иметь значение только в том случае, если: количество столбцов в первом массиве равно количеству таких же столбцов во втором массиве.

Возведение в степень возможно только для квадратной матрицы. Для этого используйте n-ю степень матрицы и умножьте значение само на себя n раз.

А^{2}=А пуля А,

[А^{3}=А^{2} пуля А=А пуля А^{2}],

[A^{4}=A^{3} bullet A=A^{2} bullet A^{2}=A bullet A^{3}],

[A^{n}=underbrace{A bullet A bullet ldots bullet A}_{n text {paz }} .]

Пример: Дана матрица:

[A=left(begin{массив}{ll} 1 и 2 3 и 4 end{массив}right)]

Найдите A² и A³.

Примеры задач на умножение матриц

Пример 1. Найти матрицу C, равную произведению матриц A = 4290 и B = 31-34

Решение:

С = АВ = 4290 31-34 = 612279

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11 b11 + a12 b21 = 4 3 + 2 (-3) = 12 — 6 = 6

c12 = a11 b12 + a12 b22 = 4 1 + 2 4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21 b11 + a22 b21 = 9 3 + 0 (-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21 b12 + a22 b22 = 9 1 + 0 4 = 9 + 0 = 9

Пример 2. Найти матрицу C, равную произведению матриц A = 21-304-1 и B = 5-16-307.

Решение:

С = АВ = 21-304-1 5-16-307 = 7-219-153-1823-417

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11 b11 + a12 b21 = 2 5 + 1 (-3) = 10 — 3 = 7

c12 = a11 b12 + a12 b22 = 2 (-1) + 1 0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11 b13 + a12 b23 = 2 6 + 1 7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21 b11 + a22 b21 = (-3) 5 + 0 (-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21 b12 + a22 b22 = (-3) (-1) + 0 0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21 b13 + a22 b23 = (-3) 6 + 0 7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31 b11 + a32 b21 = 4 5 + (-1) (-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31 b12 + a32 b22 = (4) (-1) + (-1) 0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31 b13 + a32 b23 = 4 6 + (-1) 7 = 24 — 7 = 17