- Конусы
- Усеченные конусы
- Определение усеченного конуса
- Усеченный конус и его осевое сечение
- Основные элементы усеченного конуса
- Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
- Как вычислить площадь усеченного конуса
- Объем усечённого конуса
- Высота
- Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного
Конусы
Рассмотрим произвольную плоскость α, точку S, не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O — основание перпендикуляра). Также рассмотрим произвольную окружность с центром в точке O, лежащую на плоскости α.
Определение 1. Конусом называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точку S с точками заданной окружности с центром в точке О, лежащей на плоскости α (рис. 1).
Рисунок 1
Определение 2.
| Точка S называется вершиной конуса. | |
| Отрезок SO называется осью конуса. | |
| до плоскости S Расстояние от точки до плоскости S Расстояние от точки α (длина отрезка SO) называется высотой конуса. | |
| Окружность с центром в точке О, лежащая на плоскости α, называется основанием конуса, радиус этой окружности называется радиусом основания конуса, а сама плоскость α называется плоскостью основания конуса конус. Конус. | |
| Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности, называются образующими конуса. | |
| Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность). | |
| Вся поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности. |
Примечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.
Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. Для конуса высотой h и радиусом основания r длина образующих равна
Усеченные конусы
Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO, радиусом основания r и высотой h. Плоскость β, параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины h1 расстояния S, пересекает конус по окружности радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).
Рис.2
Из подобия прямоугольных треугольников SOA и SO1A1 радиус r1 можно выразить через известные величины r, h и h1:
Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO1 и радиусом основания r1 и вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).
Рис.3
Усеченный конус ограничен двумя основаниями: окружностью с центром в точке O радиуса r на плоскости α и окружностью с центром в точке O1 радиуса r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая является частью боковой поверхности исходного конуса, заключенной между плоскостями α и β. Вся поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, заключенная между плоскостями α и β, называется образующей усеченного конуса. Например, на рис. 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок АА1.
Высота усеченного конуса — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. Усеченный конус, изображенный на рис. 2, имеет высоту h — h1.
Читайте также: Тождества: определение, обозначение, примеры
Определение усеченного конуса
Усеченный конус (конический слой) — геометрическая фигура в пространстве; часть конуса, которая остается между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Примечание: В рамках данной публикации мы рассмотрим наиболее распространенный тип усеченного конуса – прямой круговой.
Усеченный конус образован вращением прямоугольной трапеции на 360° вокруг стороны, перпендикулярной основанию, или равнобедренной трапеции вокруг своей оси симметрии на 180°.
На рисунке ниже конус образован вращением равнобедренной трапеции ABCD вокруг оси O1O2.
Усеченный конус и его осевое сечение
Усеченный конус получается из правильного конуса с помощью секущей плоскости, параллельной основанию. Получившаяся фигура под плоскостью будет усеченным конусом. Это показано на картинке.
Помимо боковой поверхности, эта фигура состоит из двух оснований, которые представляют собой большой и малый круги. Обозначим их радиусы как r1 и r2. Расстояние между основаниями называется высотой и обозначается буквой h.
Осевое сечение рассматриваемого конуса будет квадратом, две стороны которого являются образующими. А две другие стороны будут параллельны друг другу и равны 2*r1 и 2*r2 соответственно. Этот квадрат будет равнобедренной трапецией, как показано на рисунке ниже.
Этот факт позволяет использовать выражение для трапеции для записи формулы площади поперечного сечения усеченного осевого конуса. Он будет иметь вид:
S = (2*r1 + 2*r2)/2*h = h*(r1 + r2)
То есть площадь S равна произведению суммы радиусов оснований усеченного конуса на его высоту.
Для решения геометрических задач также может понадобиться формула связи между образующей фигуры и ее параметрами r1, r2 и h. Соответствующее выражение будет иметь вид:
g2 = h2+ (r1 — r2)2
Его довольно легко получить самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса, построенный на сторонах g, h и (r1 — r2).
Основные элементы усеченного конуса
- R — радиус большего основания конуса, представляющего собой окружность с центром в точке O1 и диаметром AD.
- r — радиус меньшего основания конуса с центром в точке O2, диаметр — отрезок BC.
- h(O1O2) – высота конуса; является одновременно высотой трапеции ABCD и осью симметрии обеих фигур.
- l (AB, CD и т.д.) — конусные образующие; это отрезки, соединяющие две точки на окружностях двух оснований (с наименьшим возможным расстоянием). В то же время они являются сторонами трапеции (осевая часть конуса).
- Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию ABCD, образованную в результате пересечения конуса плоскостью, проходящей через его ось.
- Поверхность усеченного конуса – это боковая поверхность и поверхность двух его оснований. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема усеченного конуса представлены в отдельных публикациях.
Развертка боковой поверхности усеченного конуса выглядит следующим образом:
Длина большой (малой) дуги равна длине окружности соответствующего основания конуса (2πR или 2πr).
Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса
Введем следующие обозначения
| В | объем конуса (объем усеченного конуса) |
| Страница | боковая поверхность конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса) |
| Полный | общая площадь поверхности конуса (полная поверхность усеченного конуса) |
| Сосн | базовая поверхность конуса |
| Дополнительная база | площадь верхнего основания усеченного конуса |
| Медленнее основной | площадь нижнего основания усеченного конуса |
| В
объем конуса (объем усеченного конуса) |
| Страница
боковая поверхность конуса |
| Полный
общая площадь поверхности конуса |
| Сосн
базовая поверхность конуса |
| Дополнительная база
площадь верхнего основания усеченного конуса |
| Медленнее основной
площадь нижнего основания усеченного конуса |
Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности конуса, а также формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности усеченного конуса.
| Фигура | Рисунок | Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности |
| Конус |  |
Sприм = πr2,
Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где |
| Расстроенный |  |
Сторона = π (r + r1)l ,
где l — длина образующей усеченного конуса. |
| Конус |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: Sприм = πr2, Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где |
| Расстроенный |
Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , Сторона = π (r + r1)l , где l — длина образующей усеченного конуса. |
Примечание 3. Формула расчета объема конуса
можно получить из формулы объема правильной n-углеродной пирамиды
дойдя до предела, когда число сторон правильной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.
Примечание 4. Формула расчета объема усеченного конуса
можно получить из формулы объема правильной усеченной n-углеродной пирамиды
переходя к пределу, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.
Как вычислить площадь усеченного конуса
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса отличается от той, что используется для расчета прямой.
Sbp=πl(r + R).
Формула полной площади поверхности усеченного конуса:
S = Sbp + S1 + S2, здесь:
S1 и S2 — площади поверхностей усеченного конуса.
S1 = πr2, S2 = πR2.
Подставляем значения и упрощаем:
S = π(r2 + (r + R)l + R2.
Зная радиусы — 6 и 10 см, расстояние от вершины до точки, лежащей на окружности — 12 см, находим площади граней.
S = π * (62 + (6 + 10) * 12 + 102) = 328π ≈ 1030,4 см3.
Объем усечённого конуса
Объем – это пространство, занимаемое геометрическим телом. Числовое значение указывает на количество кубиков со стороной, равной единице, которые помещаются в конус. Объем тела вычисляется как одна треть произведения площади основания на его высоту.
Основание – круг, поверхность рассчитывается по формуле: Sбаза = πr2. После замены получаем:
.
Пример: рассчитать объем тела: r = 6 см, h = 9 см. Подставьте значения в формулу, шаг за шагом упрощая выражение.
Если вы знаете диаметр, разделите его на два: 
.
Вычислите объем усеченного конуса. Чтобы понять, из общего объема исходного тела нужно вычесть величину плоскости, отсеченной параллельной нижней стороной.
Формула объема усеченного конуса:
Высота
Есть несколько способов найти высоту усеченного конуса. Какой из них подходит, зависит от исходных данных.
Когда радиусы оснований и объем заданы, достаточно выполнить расчеты:
Для прямой с известным радиусом или диаметром оснований с образующей можно воспользоваться теоремой Пифагора:
Поделиться в социальных сетях: 13 октября 2021, 19:58 Геометрия Не удалось загрузить класс xLike!
Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного
Покажем, как найти площадь осевого сечения на примере усеченного конуса.
Известно, что высота этой фигуры равна 10 см. Известно также, что для конуса с осевым сечением площадь равна разности площадей оснований. Зная, что диаметр оснований отличается ровно в два раза, необходимо найти площадь этой части по оси.
В зависимости от состояния задачи можно записать два уравнения:
г1 = 2*г2;
h*(r1 + r2) = pi*(r12 — r22)
Значение высоты известно из условия. Таким образом, у нас есть 2 сходства и 2 неизвестных. Решим эту систему:
h*(2*r2 + r2) = pi*((2*r2) 2 — r22) =>
3*pi*r22 — 3*t*r2 = 0
Мы получили неполное квадратное уравнение, которое необходимо решить относительно переменной r2. У уравнения 2 корня, но решение r2 = 0 не является физическим, поэтому мы просто запишем одно значение для малого радиуса:
г2 = ч/пи
Тогда большой радиус r1 будет равен:
г1 = 2*ч/пи
Подставив эти равенства в формулу площади осевой части конуса, получим:
S = h*(rl + r2) = 3*h2/pi
Подставляем числовое значение h и записываем ответ: S ≈ 95,54 см2.
