Арккосинус угла (arccos): определение, формула, таблица, график, свойства

Что такое обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относятся: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс.

Арксинус	лук грех
Арккосинус	арккос
Арктангенс	арктг, арктанг
Арктангенс	arcctg, арккот
Аркскан	угловая секунда
Арккосеканс	arcsc

Если известен некоторый угол α, то по величине этого угла можно найти значения таких тригонометрических функций, как: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс, точно так же, зная значение тригонометрической Функция, вы можете рассчитать угол.
Приведем пример, значение синуса угла α равно √2/2
грех (α) = √ 2/2

Чтобы узнать, чему равен угол α, нужно вычислить арксинус этого угла.
arcsin(√2/2) = π/4 радиан
Следовательно, sin(π/4) = √2/2
Значение обратной тригонометрической функции всегда будет в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте угол в радианах на 180 и разделите на π.

В этом случае, поскольку угол π = 180°, мы можем написать:
π/4 радиана = 180/4 градуса = 45°.

Определение

Арккосинус (arccos) — обратная тригонометрическая функция.

Арккосинус x определяется как обратный косинусу x для -1≤x≤1.

Если косинус угла y равен x (cos y = x), то арккосинус угла x равен y:

arccos x = cos-1 x = y

Примечание: cos-1x означает арккосинус, а не косинус в степени -1.

Например:

arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)

График арккосинуса

Функция арккосинуса записывается как y = arccos(x). Схема в целом выглядит так:

Свойства арккосинуса

Ниже в табличной форме представлены основные свойства арккосинуса с формулами.

Свойство	Формула
арккосинус» data-order=»Косинус арккосинус»>Косинус арккосинус	cos(arccos x) = x» data-order=»cos(arccos x) = x»>cos(arccos x) = x
косинус» data-order=»Арккосинус косинус»>Арккосинус косинус	arccos(cosx) = x + 2kπ, где k∈ℤ (k — целое число)» data-order=»arccos(cos x) = x + 2kπ, где k∈ℤ (k — целое число)»>arccos(cos x) = x + 2kπ, где k∈ℤ (k целое число)
отрицательное число» data-order=»Арккосинус отрицательное число»> арккосинус отрицательное число	arccos(-x) = π — arccos x = 180° — arccos x» data-order=»arccos(-x) = π — arccos x = 180° — arccos x»>arccos(-x) = π — arccos x = 180° — arccos x
Дополнительные углы	arccos x = π/2 — arcsin x = 90° — arcsin x» data-order=»arccos x = π/2 — arcsin x = 90° — arcsin x»> arccos x = π/2 — arcsin x = 90° — arcsin x
арккосинусы» data-order=»Сумма арккосинус»>Сумма арккосинус
арккосинусы» data-order=»Разница арккосинусы»> Разница арккосинус
sine» data-order=»Арккосинус синус»>аркосинус пазуха	arccos(sin x) = -x — (2k+0,5)π» data-order=»arccos(sin x) = -x — (2k+0.5)π»> arccos(sin x) = -x — (2k+0,5)π
арккосинус» data-order=»Синус арккосинус»>Синус арккосинус
арккосинус» data-order=»тангенс арккосинус»> Тангенс арккосинус
арккосинус» data-order=»Производная арккосинус»> Производная арккосинус
интеграл арккосинуса» data-order=»Не определено интеграл арккосинуса»>не определено интеграл арккосинуса

Читайте также: Как перевести Амперы в Киловатты и наоборот: примеры расчета для 220В и 380В

Таблица арккосинусов

х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 22,7848%»; ширина:22,7848%;»>х	x (строка)» data-order=»arccos x (счастливый)» style=»min-width:42.4051%; ширина:42,4051%;»>arccos x (строка)	х (°)» data-order=»arccos x (°)» style=»min-width:34.8101%; ширина:34,8101%;»>arccos x (°)
-1	π	180°
3/2″ порядок данных=»-√3/2″>-√3/2	5π/6	150°
2/2″ порядок данных=»-√2/2″>-√2/2	3π/4	135°
-1/2	2π/3	120°
0	π/2	90°
1/2	π/3	60°
2/2″ порядок данных=»√2/2″>√2/2	π/4	45°
3/2″ порядок данных=»√3/2″>√3/2	π/6	30°
1	0	0°

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинуса и арккосинуса непрерывны в своей области определения (см доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

	у = дуга х	у = arccos х
Объем и преемственность	– 1 ≤ х ≤ 1	– 1 ≤ х ≤ 1
Диапазон значений
По возрастанию, по убыванию	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимум
Ниже
Ноль, у=0	х=0	х=1
Точки пересечения с осью Y, x = 0	у=0	у = π/2

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Сгруппируем сначала формулы, содержащие основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы их уже обсуждали и доказывали ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1 sin(arccis α)=α, cos(arccos α)=α, для α∈(-∞, ∞) tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

То, что в них изложено, легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, в этой формуле все видно.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2 arcsin (sin α)=α, для 0≤α≤π arccos(cos α)=α, для -π2<><><><>

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем разделе: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и т д. Единственное, на что нужно обратить внимание: они будут истинными только в том случае, если одна (число или угол) попадет в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет неверным и его нельзя будет использовать.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке сформулируем важное утверждение:

Определение 1

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа могут быть выражены через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1 arccis (-α)=-arcsin α, arccos (-α)=π-arccos α, для α∈(-∞, ∞) arctg (-α)=-arctg α, arcctg (- α)=π-arctg α

Поэтому, если мы сталкиваемся с этими функциями отрицательных чисел в наших вычислениях, мы можем избавиться от них, преобразовав их в дуговые функции положительных чисел, с которыми проще обращаться.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят так:

для α∈-1, 1 arccis α+arccos α=π2, для α∈(-∞, ∞) arctan α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести, используя его арккосинус, и наоборот. То же самое с арктангенсом и арккотангенсом — они связаны друг с другом аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

знание связи между прямыми функциями и их дуговыми функциями очень важно для решения многих практических задач. Что делать, если нам нужно вычислить, например, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно распечатать самостоятельно.

-1≤α≤1,sin(arcsinα)=α	-1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2	-∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2	-∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
-1≤α≤1, cos(arcsinα)=1-α2	-1≤α≤1, cos (arccos α)=α	-∞≤α≤+∞, потому что (arctg α)=11+α2	-∞≤α≤+∞, cos(arcctgα)=11+α2
-1<>	α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α	-∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α	α≠0,tg (arcctg α)=1α
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α	-1<>	α≠0,ctg (arctg α)=1α	-∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α

Теперь давайте рассмотрим примеры того, как они используются в задачах.

Пример 1

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

Для этого у нас есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставьте нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Пример 2

Вычислите синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Заменяем в нем значения и получаем: sin(arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что прямые вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы это разбирали.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для наглядного вывода полученных формул нам потребуются основные тригонометрические тождества и собственно формулы важнейших обратных функций — косинуса к арккосинусу и т д. Мы уже вывели их ранее, поэтому не будем тратить время на их доказательства. Начнем сразу с формул для синусов арккосинуса, арктангенса и арктангенса. Используя тождество, получаем:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Помните, что tgα·ctgα=1. Отсюда вы можете получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<><><><>

Оказалось, что мы выразили синус через необходимые дуговые функции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо а добавим арккосинус а. В результате получится формула синуса арккосинуса.

Далее во втором вместо а ставим arctg а. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьим — если к нему добавить arcctg a, то это будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более развернуто:

1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Поэтому sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

1. sinα=tgα1+tgα, -π2<><>

Поэтому sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

1. sinα=11+ctg2α, 0<><>

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выведем формулы для преобразования косинуса в арксинус, косинуса в арктангенс и косинуса в арккотангенс.

Отобразим их по существующему шаблону:

1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsinα)=1-sin2(arcsinα)=1-a2

1. Из cosα=11+tg2α, -π2<><π2 следует,=»»></π2>
2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<><>

отсюда следует, что cos(arctga)=ctg(arcctga)1+ctg2(arcctga)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Мы начинаем с tgα=sin α1-sin2α, -π2<><π2 мы=»» получаем=»» tg(arcsin=»» α)=»sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2″ с=»» условием=» » это=»»><></π2>
2. Начиная с tgα=1-cos2αcosα, α∈0, π2)∪(π2, π, получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при заданном α∈(-1, 0)∪(0, 1).

1. Начнем с tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получим tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы для котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомните одно из тригонометрических уравнений:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы арксинус-тангенс, арккосинус-тангенс и арктангенс-тангенс. Для этого нужно поменять в них числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали прямую и обратную тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связывать одни обратные функции с другими, то есть выражать одни дуговые функции через другие дуговые функции. Давайте посмотрим на примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<><>

А затем выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<><><>

Формула выражения арктангенса:

arctanα=arcsinα1+α2, -∞<>

Последняя часть представляет собой выражение арктангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctga=arccosα1+α2, -∞<>

Теперь попробуем их доказать, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенные формулы.

Возьмем arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и=»» try=»» на=»» выходе=»»>

Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого находится в диапазоне от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса тангенса получаем:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<1>

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<>

Остальные формулы доказываются аналогично.

В заключение разберем пример применения формул на практике.

Пример 3

Условие Вычислите синус арктангенса минус корень из 3.

Решение

Нам нужна формула для выражения арктангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в него α=-3 и получим ответ — 12. Прямой расчет даст нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα= 11+ctg2α, 0<><>

В результате получим: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмите формулу синуса арккотангенса и получите тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2 sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

</α<1>