Как найти высоту прямоугольной трапеции: формулы через стороны, углы, диагонали, площадь

Виды трапеции

1. Произвольная трапеция — это квадрат, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
2. Равнобедренная трапеция – это трапеция, стороны которой равны
3. Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой углы прямые

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме $$ FE = {AB + DC over 2} $
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает в основании (или продолжении) отрезок, равный стороне
   Например: биссектриса AH отсекает отрезок DH в основании DC, который равен стороне AD
3. Треугольники AOB и DOC, образованные диагональными сегментами и основаниями трапеции, равны
4. Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и сторон трапеции, имеют одинаковую площадь
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме сторон (AD + BC = AB + DC)
6. Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии, т е. $$ KL = {DC — AB over 2} $
7. Пересечение диагоналей трапеции, пересечение продолжений сторон и середин оснований лежат на прямой
8. Если сумма углов любого основания трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а стороны могут находиться к ним под любым углом. Если рассматривать прямоугольную трапецию, то одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в нем будут равны 90 градусам. При этом они всегда принадлежат соседним углам или, другими словами, одной стороне.

Остальные углы прямоугольной трапеции всегда острые и тупые. Также их сумма всегда будет равна 180 градусам.

Каждая диагональ образует прямоугольный треугольник с меньшей стороной. А высота, проведенная из вершины под тупым углом, делит фигуру надвое. Один прямоугольник, а другой прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Признаки прямоугольной трапеции

Трапеция будет прямоугольной, если выполняется одно из следующих условий: 1. В трапеции два смежных прямых угла:

∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°

2. Одна сторона перпендикулярна основаниям:

АВ ┴ ВС, АВ ┴ АД

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самый простой из них соединяет высоту и меньшую сторону:

с = ч.

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d*sinα;

c = (a — b) * тангенс a;

c = √ (d2 — (a — b)2).

Первое следует из прямоугольного треугольника. И он говорит, что катет гипотенузы дает синус противоположного угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Следовательно, верно положение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основанную на знании теоремы Пифагора. Это третье зарегистрированное выражение.

Вы можете написать формулы для другой стороны. Их тоже три:

d = (а — b) /cosa;

d = c/sinα;

d = √ (c2 + (а – b)2).

Первые два снова выводятся из пропорций того же прямоугольного треугольника, а второй выводится из теоремы Пифагора.

Читайте также: Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения, решение дробей

Основные свойства прямоугольной трапеции

1. В трапеции два смежных прямых угла:

∠BAD = ∠ABC = 90°

2. Одна сторона перпендикулярна основаниям:

АВ ┴ ВС ┴ АД

3. Высота равна наименьшей стороне:

ч=АВ

Высота прямоугольной трапеции

Определение

Диагональ – это отрезок, соединяющий пару противоположных углов трапеции. Когда трапеция прямоугольная, по диагонали находим высоту данной фигуры.

Трапеция, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной трапецией.

Рассмотрим аналогичную трапецию ABCD, где AD — высота, AC — диагональ, а DC — основание. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике ADC квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов сторон, катетов AB и BC.

Тогда мы можем написать:

AC² = AD² + DC².

AD — катет треугольника, сторона трапеции и одновременно ее высота. Так как отрезок перпендикулярен основаниям. Длину ноги найдем как:

AD=sqrt{left(AC^{2}-DC^{2}right)}

Таким образом у нас есть формула, которая поможет при расчете найти высоту трапеции AD.

Пример 3

Основание трапеции с прямым углом (DC) равно 14 см, а ее диагональ (AC) равна 15 см, воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы получить высоту (сторону AD).

Пусть x — неизвестная часть прямоугольного треугольника (AD), тогда

AC^{2}=AD^{2}+DC^{2} можно записать

15^{2}=14^{2}+х^{2}

x=sqrt{left(15^{2}-14^{2}right)}=sqrt{(225-196)}=sqrt{29} mathrm{cm}

Ответ: sqrt{29} mathrm{cm}, что составляет около 5,385 см

Нахождение высоты прямоугольной трапеции

Через длины сторон

Зная длину обоих оснований и большую сторону прямоугольной трапеции, можно найти высоту (или меньшую сторону):

Эта формула следует из теоремы Пифагора. В этом случае высота h — это неизвестный катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна d, а известный катет — это разность оснований, т е. (ab).

Через основания и прилежащий угол

Если даны длины оснований и любого из прилежащих к ним острых углов, то высоту прямоугольной трапеции можно вычислить по формуле:

Через боковую сторону и прилежащий угол

Если известны длина стороны прямоугольной трапеции и прилежащий к ней угол (любой), то можно будет найти высоту фигуры таким образом:

Примечание: используя эту формулу, вы можете доказать, среди прочего, что меньшая сторона является высотой трапеции:

Через диагонали и угол между ними

Предполагая, что известны длины оснований прямоугольной трапеции, диагоналей и угла между ними, высоту фигуры можно вычислить следующим образом:

Если вместо суммы оснований известна длина средней линии, то формула будет иметь вид:

m — центральная линия, которая равна половине суммы оснований, т.е m = (a + b)/2.

Через площадь и основания

Зная площадь прямоугольной трапеции и длину основания (или средней линии), высоту можно найти так:

Нахождение высоты, зная площадь и среднюю линию

Воспользуемся формулой, по которой можно вычислить площадь трапеции:

S = м × ч

Здесь h — высота трапеции, m — центральная линия.

Мы можем найти ч:

[h=frac{S}{m}], будет ответом.

Пример 2

Средняя линия трапеции, обозначенная буквой m, равна 20 см, а площадь S равна 200 см2. Найдем значение высоты трапеции h.

[h=frac{200}{20}=10 mathrm{~cm}]

Ответ: 10 см