Малая теорема Ферма: формулировка, пример решения задачи

Кем был математик Ферма?

Француз Пьер де Ферма (1601–1665) был юристом по профессии, и его страстью была математика. Он открыл основной принцип аналитической геометрии. Ферма — один из основоположников теории вероятностей. Он также считается изобретателем дифференциального исчисления из-за его методов нахождения касательных к кривым и их максимальных и минимальных точек.

Существует легенда, что примерно в 1630 году Ферма сделал такую ​​заметку на полях книги: «Я нашел действительно замечательное доказательство, но поля книги слишком узкие, чтобы поместиться.»

1. Почему она так знаменита?

Последняя теорема Ферма — математическая задача невероятной сложности, и тем не менее ее формулировку может понять любой человек с 5-м классом средней школы, а вот доказательство есть далеко не у всех профессиональных математиков. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной задачи, которая была бы сформулирована так просто, но так долго оставалась нерешенной.

2. В чем же она состоит? Начнем с пифагоровых штанов

Формулировка очень простая — на первый взгляд. Как известно с детства, «пифагорейские штаны равны со всех сторон».

Задача выглядит такой простой, потому что она основана на известном всем математическом утверждении:

Теорема Пифагора: В любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

То есть легко подобрать набор чисел, полностью удовлетворяющих равенству x2 + y2 = z2. С 3, 4, 5 — да, это понимает первоклассник

9+16=25.

Или 5, 12, 13:

25 + 144 = 169.

Фантастика. Ну и так далее.

А если взять аналогичное уравнение x3 + y3 = z3? Может быть, такие номера тоже существуют? И так далее.

Ну оказывается их нет.

Здесь начинается трюк. Простота очевидна, потому что трудно доказать не наличие чего-либо, а, наоборот, его отсутствие. Когда нужно доказать, что решение существует, можно и нужно просто представить это решение.

Доказать его отсутствие сложнее: например, кто-то говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Просто: бац — и вот решение! (дайте решение). И все, противник повержен.

Как доказать отсутствие? Сказать: «Я таких решений не нашел»? А может вы плохо искали? А если они есть, просто очень большие, ну так, что даже на супермощный компьютер еще не хватит сил? Вот что сложно.

В наглядной форме это можно показать так: если взять два квадрата подходящего размера и разобрать их на единичные квадраты, то из этого набора единичных квадратов получится третий квадрат:

И давайте проделаем то же самое с третьим измерением (рис. 3) — не работает. Кубиков не хватает или остались лишние:

Читайте также: Извлечение корня из комплексного числа

3. История: более 350 лет поиска решений

Теорема была сформулирована Пьером де Ферма в 1637 году на полях «Арифметики Диофанта» с пометкой, что гениальное доказательство, которое он нашел для этой теоремы, слишком длинное, чтобы включать его здесь:

Наоборот, нельзя разложить куб на два куба, бисквадрат на два бисквадрата и вообще никакую степень больше квадрата на две степени с одним и тем же показателем степени. Я нашел поистине замечательное доказательство этого, но поля книги для него слишком узки.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство в частном случае для n = 4, что вызывает сомнение в том, что у него было доказательство в общем случае, иначе он обязательно упомянул бы его в этой статье. Эйлер доказал теорему в 1770 г для n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 г для n = 5, Ламе для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых чисел n, меньших 100, и так далее.

Собственное доказательство Ферма случая {displaystyle n=4} n=4 в сорок пятом комментарии к арифметике Диофанта Фото: общественное достояние Собственное доказательство Ферма случая {displaystyle n=4} n=4 в сорока- Пятый комментарий к арифметике » Диофант Фото: общественное достояние

Но все это были частные случаи, а не универсальное доказательство для ВСЕХ ЧИСЕЛ.

Многие выдающиеся математики работали над полным доказательством Великой теоремы, и эти усилия привели ко многим результатам в современной теории чисел.

Считается, что Великая теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств. Многие начинающие математики считали своим долгом приблизиться к Великой теореме, но так и не смогли ее доказать.

Сначала сто лет не работал. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: «Как дела? Ферма это доказала, а вдруг я не смогу, что ли?», и некоторые из них сходили с ума на этом основании в полном смысле этого слова.

Некоторые пытались прославиться от обратного: доказать, что это неправда. А для этого, как мы сказали, достаточно просто привести пример: вот три числа, один куб плюс второй куб равен третьему кубу. И искали такие тройки чисел. Но безрезультатно… И никакой компьютер ни при какой скорости не сможет ни проверить теорему, ни опровергнуть ее, потому что все переменные в этом уравнении (включая показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

4. Наконец-то!

Наконец, 23 июня 1993 года в Кембридже состоялась самая важная лекция по математике ХХ века. Докладчиком был Эндрю Уайлс, профессор английского языка в Принстонском университете. Эндрю Уайлс продемонстрировал ученым полное доказательство Великой теоремы Ферма.

Он пошел к этому в 30 лет, буквально с десятилетнего возраста. Его доказательство было уточнено и улучшено в 1995 году, но самое главное, была доказана Великая Теорема!

На это у человечества ушло 358 лет. Для доказательства использовалась «высшая» и самая современная математическая наука. Поэтому невозможно представить это доказательство в рамках заметки, и читатели должны поверить мне на слово, математикам Кембриджа и Принстона и т д.

Это доказательство закрыло сразу две страницы в истории математики: 350-летний поиск доказательства Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматиков на каждый математический факультет в каждом университете и институте мира.

5. Кто такие ферматисты?

Как было сказано выше, формулировка великой теоремы очень проста и понятна, поэтому и существует устойчивая иллюзия, что доказательство тоже должно быть простым, понятным и вкладываться в знания алгебры в количестве 5-6 классов. Это породило бесчисленное множество жертв фанатизма, называемых ферматиками, которые пытались это доказать, думали, что доказали, и нападали на кафедры и отдельных ученых с исписанными тетрадями в ящике наперевес. Как и все фанатики, они нетерпимы к критике, полны намерений разрушить все преграды и ужасно самоуверенны. Обычно их толстые работы сразу выбрасываются или отдаются студентам на кафедре теории чисел для поиска ошибки в качестве упражнения.

Как правило, все доказательства сводятся к простым алгебраическим преобразованиям: там сложил, здесь вычел, возвел все в квадрат, извлек квадратный корень, сложил по формулам сокращенного умножения, использовал бином Ньютона — и вот оно доказано.

Интересно, что большинство доморощенных ферматиков даже не понимают сути теоремы — они не доказывают, что уравнение с показателями больше 2 не имеет целочисленных решений, а просто пытаются доказать, что xi в степени N + yi в степени N равно z в степени N, что, как вы уже, надеюсь, понимаете, бессмысленно.

И они это доказывают! Ошибка обычно возникает при очередном возведении уравнения в квадрат и последующем извлечении корня. Вроде бы: возвели в квадрат, потом корень извлекли — так и будет, но всегда забывают, что xi в квадрате и (минус х) в квадрате равны. Это элементарно, Ватсон!

Отделы сопротивлялись, как могли.

Ученый секретарь одного из академических институтов Москвы, не избежавший нашествия ферматиков, как-то был в отпуске в Молдавии и купил на рынке немного еды, завернутой для него в местную газету. Вернувшись с рынка, он стал просматривать эту брошюру и наткнулся на записку, в которой сообщалось, что местный школьный учитель доказал теорему Ферма, в результате чего были воспеты всевозможные дифирамбы в адрес высокого уровня районных наука. Ученый секретарь вырезал эту записку, а по возвращении в Москву заключил ее в рамку и повесил на стену своего кабинета. Теперь, когда на него «напал» другой ферматик, он широким жестом предложил ему ознакомиться с «нынешним положением вещей». Жить однозначно стало легче. (Саймон СИНГХ, WTF»).

Думаю, после всего, что произошло между нами, читатели уже смогут оценить телеграмму, которую я как-то наткнулся в отделе в куче таких вот рукописей, блокнотов и пакетов:

ДОКАЗАННАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ТОЧКА X СТЕПЕНЬ N ПЛЮС ГРЕЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ N РАВНА Z СТЕПЕНЬ N PT. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО DHTCH ПЕРЕВОДИМ ИГРУ СТЕПЕНИ НА ПРАВО ТОЧЕЧНЫХ ДЕТАЛЕЙ БУКВАМИ

Формулировка теоремы

1. Исходная

Если р — простое число, а — целое число, не делящееся на р, то ар-1 — 1 делится на р.

Формально это записывается так: ap-1 ≡ 1 (mod p).

Примечание. Простое число — это натуральное число, которое делится только на 1 и само на себя без остатка.

Например:

• а = 2
• р=5
• ар-1 — 1 = 25-1 — 1 = 24 — 1 = 16 — 1 = 15
• 15 делится на 5 без остатка.

2. Альтернативная

Если p — простое число, а a — любое целое число, то ap конгруэнтно по модулю p.

ар ≡ а (мод р)

История нахождения доказательства

Пьер де Ферма сформулировал теорему в 1640 году, но сам ее не доказал. Позже это сделал Готфрид Вильгельм Лейбниц, немецкий философ, логик, математик и т д. Считается, что к 1683 году у него уже было доказательство, хотя оно так и не было опубликовано. Примечательно, что Лейбниц открыл эту теорему сам, не зная, что она уже была сформулирована ранее.

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1736 году и принадлежит швейцарскому, немецкому и русскому математику и механику Леонарду Эйлеру. Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера.

Пример задачи

Найдите остаток от деления числа 212 на 12.

Решение

Представим число 212 как 2 ⋅ 211.
11 — простое число, поэтому по малой теореме Ферма получаем:
211 ≡ 2 (мод 11).
Итак, 2 ⋅ 211 ≡ 4 (мод 11).
Таким образом, 212 делится на 12 с остатком 4.

Великая теорема Ферма

Уравнение последней теоремы Ферма:

при n > 2 оно не имеет решений в натуральных числах x, y, z.

Для n = 2 мы знаем теорему Пифагора, где есть целый набор решений (формула c² = a² + b²), а с n > 2 многие величайшие умы в математике бились более 300 лет, пока в 1993 г это не было доказательством для всех n > 2, найденным сэром Эндрю Джоном Уайлсом.

1.

До того, как Эндрю Уайлс доказал теорему Ферма, ее правильнее было называть гипотезой, то есть гипотезой Ферма. Дело в том, что теорема по определению — это утверждение, которое уже доказано. Но почему-то за этим утверждением закрепилось именно такое название.

2.

Если в теореме Ферма положить n = 2, то такое уравнение имеет бесконечное число решений. Эти решения называются «пифагорейскими тройками». Такое название они получили потому, что соответствуют прямоугольным треугольникам, стороны которых выражаются именно такими наборами чисел. Вы можете сгенерировать тройку Пифагора, используя эти три формулы (m2 — n2, 2mn, m2 + n2). Нужно подставить разные значения m и ni в эти формулы, и в результате мы получим нужные нам тройки. Однако здесь главное следить, чтобы получившиеся числа были больше нуля — длины не могут быть выражены отрицательными числами.

Кстати, легко заметить, что если все числа в пифагорейской тройке умножить на какое-то число, отличное от нуля, то получится новая пифагорейская тройка. Поэтому целесообразно изучать тройки, в которых три числа в совокупности не имеют общего делителя. Описанная нами схема позволяет получить все такие тройки — это далеко не простой результат.

3.

1 марта 1847 года на заседании парижской Академии наук сразу два математика — Габриэль Ламе и Огюстен Коши — заявили, что находятся на пороге доказательства замечательной теоремы. Они бросились публиковать доказательства. Большинство ученых приветствовали Ламе, потому что Коши был самодовольным, нетерпимым религиозным фанатиком (и, конечно же, блестящим математиком по совместительству). Однако битве не суждено было закончиться — через своего друга Йозефа Лиувилля немецкий математик Эрнст Куммер сообщил академикам, что в доказательствах Коши и Ламе допущена одна и та же ошибка.
В школе было доказано, что разложение числа на простые множители уникально.

Оба математика считали, что если посмотреть на разложение целых чисел уже в комплексном случае, то это свойство — единственность — сохранится. Однако это не так.
Примечательно, что если рассматривать только m + in, то разложение будет единственным. Такие числа называются гауссовыми. Но работа Ламе и Коши требовала факторизации в круговых полях. Это, например, числа, где m и n рациональны, а i удовлетворяет свойству i^k = 1.

4.

Теорема Ферма для n = 3 имеет четкий геометрический смысл. Представим, что у нас есть много маленьких кубиков. Допустим, мы собрали из них два больших кубика. В этом случае, конечно, стороны будут целыми числами. Можно ли найти два кубика настолько больших, что, разобрав их на их маленькие кубики, мы сможем собрать из них большой куб? Теорема Ферма утверждает, что это никогда не может быть сделано. Забавно, что если задать один и тот же вопрос трем кубикам, ответ будет утвердительным. Например, есть такое учетверение чисел, открытое удивительным математиком Шринивасом Рамануджаном:
33 + 43 + 53 = 63

5.

Леонард Эйлер был отмечен в истории теоремы Ферма. На самом деле ему не удалось доказать утверждение (или даже приблизиться к его доказательству), но он выдвинул гипотезу, что уравнение
х4 + у4 + z4 = и4
не имеет целочисленного решения. Все попытки найти прямое решение такого уравнения оказались безрезультатными. Только в 1988 году Науму Элкису из Гарварда удалось найти контрпример. Это выглядит так:
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 .

Обычно эту формулу вспоминают в контексте численного эксперимента. Как правило, в математике это выглядит так: это формула. Математик проверяет эту формулу в простых случаях, убеждается в ее истинности и формулирует гипотезу. Затем он (правда, чаще кто-то из его аспирантов или студентов) пишет программу для проверки правильности формулы для достаточно больших чисел, которые нельзя посчитать вручную (мы недавно писали о таком эксперименте с простыми числами). Конечно, это не доказательство, но отличный повод заявить гипотезу. Все эти построения основаны на разумном предположении, что если есть контрпример к какой-то осмысленной формуле, то мы достаточно быстро его найдем.
Гипотеза Эйлера напоминает нам, что жизнь гораздо разнообразнее нашего воображения: первый контрпример может быть сколь угодно большим.

6.

На самом деле, конечно, Эндрю Уайлс не пытался доказать теорему Ферма — он решал более сложную проблему, называемую гипотезой Таниямы-Шимуры. В математике есть два примечательных класса объектов. Первая называется модулярной формой и по существу является функцией на пространстве Лобачевского. Эти особенности не меняются во время движения данного конкретного самолета. Другая называется «эллиптическими кривыми» и представляет собой кривые, заданные уравнением третьей степени на комплексной плоскости. Оба объекта очень популярны в теории чисел.

В 1950-х годах два талантливых математика Ютака Танияма и Горо Симура познакомились в библиотеке Токийского университета. В то время особой математики в вузе не было: он просто не успел восстановиться после войны. В результате ученые учились по старым учебникам и обсуждали на семинарах проблемы, которые в Европе и США считались решенными и не особо актуальными.

Танияма и Шимура открыли соответствие между модулярными формами и эллиптическими функциями.
Они проверили свою гипотезу на нескольких простых классах кривых. Оказывается, это работает. Вот они и предположили, что эта связь есть всегда. Так появилась гипотеза Таниямы-Шимуры, а через три года Танияма покончил жизнь самоубийством. В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей показал, что если теорема Ферма неверна, то гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Отсюда следовало, что тот, кто докажет эту гипотезу, докажет и теорему. Именно это и сделал Уайлс, но не в самом общем виде.

7.

Уайлс провел восемь лет, доказывая эту гипотезу. А при проверке рецензенты нашли в нем ошибку, которая «убила» большую часть улик, сведя на нет все годы работы. Один из рецензентов по имени Ричард Тейлор взялся заделать дыру вместе с Уайлсом. Пока они работали, появилось сообщение, что Элкис, тот самый человек, который нашел контрпример к гипотезе Эйлера, нашел и контрпример к теореме Ферма (позже это оказалось первоапрельской шуткой). Уайлс впал в депрессию и не хотел продолжать — пробел в доказательствах никак не мог закрыться. Тейлор уговорил Уайлса заняться рестлингом еще на месяц.

Произошло чудо, и к концу лета математикам удалось совершить прорыв — так «Модульные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» Эндрю Уайлса (pdf) и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» работы Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлса. Это было правильное доказательство. Оно было опубликовано в 1995 году.

8.

В 1908 году в Дармштадте умер математик Пауль Вольфскель. После себя он оставил завещание, в котором дал математическому сообществу 99 лет на то, чтобы найти доказательство последней теоремы Ферма. Автор доказательства должен был получить 100 тысяч марок (кстати, автор контрпримера ничего бы не получил). Согласно популярной легенде, именно любовь побудила математиков из Вольфскелла преподнести такой подарок. Вот как Саймон Сингх описывает эту легенду в своей книге «Последняя теорема Ферма»:

История начинается с того, что Вольфскель влюбляется в красивую женщину, личность которой так и не была установлена. К огорчению Вольфскеля, таинственная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил покончить жизнь самоубийством. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, а потому стал просчитывать свою смерть во всех подробностях. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. В оставшиеся дни Вольфскель решил привести свои дела в порядок, что пошло хорошо, и в последний день он составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

Вольфскель работал с таким усердием, что закончил все до полуночи, а чтобы хоть как-то заполнить оставшиеся часы, пошел в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре он наткнулся на классическую статью Куммера, в которой объяснялось, почему Коши и Ламе потерпели неудачу. Работа Куммера была одной из самых значительных математических публикаций своего века и лучшим чтением для математика, подумывающего о самоубийстве. Вольфскель внимательно следил, строка за строкой, за расчетами Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал определенное предположение и не обосновал этот шаг рассуждений. Вольфскель задался вопросом, действительно ли он обнаружил серьезную брешь и было ли предположение Куммера оправданным. Если бы пробел был обнаружен, великая теорема Ферма могла быть доказана гораздо проще, чем многие думали.

Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «неправильную» часть рассуждений Куммера и начал набрасывать мини-доказательство, которое либо подтверждало работу Куммера, либо демонстрировало ошибочность его предположения и, как следствие, опровергало все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои расчеты. Плохая (математическая) новость заключалась в том, что доказательство Куммера было исправлено, а Великая теорема Ферма все еще была недосягаема. Но были и хорошие новости: время самоубийств прошло, и Вольфскель был так горд тем, что ему удалось найти и заполнить пустоту в творчестве великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и грусть исчезли сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

Однако существует альтернативная версия. По ее словам, Вольфскель занялся математикой (да и вообще теоремой Ферма) из-за прогрессирующего рассеянного склероза, который мешал ему заниматься любимым делом — быть врачом. А деньги он оставил математикам, чтобы не расставаться с женой, которую просто возненавидел под конец жизни.

9.

Попытки доказать теорему Ферма элементарными методами привели к возникновению целого класса чудаков, называемых «ферматистами». Они были привержены тому, что представили огромное количество доказательств и ничуть не отчаивались, когда находили изъян в этих доказательствах.
На механико-математическом факультете МГУ жил легендарный персонаж по имени Добрецов. Он собрал справки из разных ведомств и по ним проник в Мехмат. Это было сделано исключительно для того, чтобы найти жертву. Как-то он наткнулся на молодого аспиранта (будущего академика Новикова).

Он по своей наивности стал внимательно изучать стопку бумаг, которую ему подсунул Добрецов со словами, мол, вот доказательство. После очередного «вот тут ошибка…» Добрецов взял стопку и сунул ее в портфель. Из второго чемодана (да, он с двумя чемоданами обошел мехмат) вынул вторую стопку, вздохнул и сказал: «Ну, тогда посмотрим вариант 7 Б».
Кстати, большинство таких доказательств начинается с фразы «Перенесем одно из слагаемых в правую часть равенства и разложим его на множители».

10.

Изменять

В разделе 7 этой статьи первоначально говорилось, что Наум Элкис нашел контрпример к теореме Ферма, ошибочность которой позже была доказана. Это неправда: сообщение с контрпримером было первоапрельской шуткой. Приносим извинения за неточность.

Доказательство Великой теоремы Ферма (Уайлса)

Доказательство сэра Эндрю Джона Уайлса основано на идее изучения уравнений вида y² = x³ + αx + β. Это дает фигуру на диаграмме, которая выглядит следующим образом:

Это изображение для y² = x³ — 5x + 5

Затем изучается пересечение между рациональными точками и этими графами. Обе координаты должны быть дробными, и эти две дают третью, то есть:

Вот пересечение графиков:
у² = х³ — 5х + 5;
х=6у-5.
Пункты 1 и 2 ведут к пункту 3.