Параллелограмм – свойства, признаки, определение

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные часы параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, соединяющие противоположные вершины.

Свойства диагонального параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любой диагональный параллелограмм делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух его смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол пополам в вершине.

Свойства биссектрис параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекается от него равнобедренным треугольником.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрисы противоположных углов равны и параллельны.

Как найти квадрат параллелограмма:

1. S = a × h, где a — строна, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две страны, sinα — сину между ними. Для формулы ромба примет вид S = a2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма равен сумме длины и ширины, умноженной на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Читайте также: Площадь выпуклого четырехугольника

Происхождение термина «параллелограмм»

Как и многие термины в математике, слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММА пришло к нам из Древней Греции. И нетрудно предположить, что это как-то связано с самым известным математиком в истории – Евклидом.

В самом деле. Слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММА впервые встречается именно в трудах Евклида, которые называются «Начало». Оно состоит из двух греческих слов — «параллелос», что, разумеется, означает «параллельный», и «грамме» — «линия».

Таким образом, ПАРАЛЛЕЛОГРАММ можно перевести как «параллельные прямые». Этот принцип заложен в определении геометрической фигуры.

Еще одним интересным фактом является то, что именно Евклид разделил все четырехсторонние треугольники на две большие категории. Первый представляет собой параллелограмм, у которого противоположные стороны параллельны. И трапеции (что это?), у которых параллельна только одна пара сторон.

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура – ​​это любое множество точек. Каждая фигура имеет свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Мы рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем, чему равна сумма углов параллелограмма, и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, поэтому AB = DC, BC = AD.
   
2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, то есть ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, следовательно, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, поэтому ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d12 + d22 = 2 × (a2 + b2).
   

А теперь докажем теорему, основанную на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Диагонали любого выпуклого четырехугольника пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения, это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если провести обе диагонали в параллелограмме, то точка пересечения разделит их пополам. Убедись в том, что:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как на крест лежащие углы при пересекении секущей AC пралленых прямомятых AB и CD; ∠3 = ∠4 как перпендикулярные углы при пересечении секущих BD, параллельных прямым AB и CD.
3. Следовательно, треугольник АОВ равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, т е по стороне и прилежащим к его углам, из чего следует:
   • СО = АО
   • БО = ДЕЛАТЬ

   

Теория доказана. Наши предположения вроно.

Свойство 1

Противоположные (или противоположные) стороны параллелограмма равны.

• АВ = CD
• До н.э. = н.э

Свойство 2

Противоположные углы параллелограмма равны.

• ∠АВС = ∠АЦП
• ∠ПЛОХОЕ = ∠BCD

Свойство 3

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Для рисунка выше: α + β = 180°.

Свойство 4

Любая из двух диагоналей параллелограмма делит его на два равных треугольника.

△ABC = △ADC

Свойство 5

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

• АЭ = ЕС
• БЭ = ЭД

Свойство 6

Точка пересецения диагоналей параллегормы (также называемой центром симметрии) одновременно является точкой пересецения его средних линий.

Средняя линия четырехугольника – это отрезок, соединяющий середины его противоположных сторон.

В данном случае средние линии — это отрезки FM и EN.

Свойство 7

Угол между двумя высотами параллелограмма равен его острому углу.

• BL – высота, отнесенная в сторону CD
• BK – высота, пройденная в сторону AD
• ∠КБЛ = ∠НАЗАД

Свойство 8

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к одной стороне, взаимно перпендикулярны (т е расположены под углом 90° друг к другу).

• AP – биссектриса ∠BAD
• BR – биссектриса ∠ABC
• AP перпендикулярно BR

Свойство 9

Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Углы ABC и ADC противоположны. Их биссектрисы параленные, т.е. БР || ДП.

Свойство 10: тождество параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма вдвое больше суммы квадратов его смежных сторон.

Признаки параллелограмма

Знаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первая особенность параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть ABCD — четырехугольник:

• АБ || CD
• АВ = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Теперь мы видим одну пару параллельных сторон. Необходимо доказать, что вторая пара сторон также параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получили два треугольника ABC и CDA, равных по первому признаку равенства, то есть по двум сторонам и углу между ними:

1. АС — общая строна;
2. По сонтию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние диагональные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD, пересекающих АС.

Шаг 3. Из чувствительных треугольников также следте:

• ∠3 = ∠4

Эти углы также внутренне перекрываются для прямых CB и AD. А это признак параллельности прямых. Значит, КБ || AD и ABCD — параллелограммы.

Вот как быстро мы доказали первый признак.

Параллелограмм второго знака. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Докажем 2 признака параллелограмма:

Шаг 1. Пусть ABCD — четырехугольник:

• АВ = CD
• До н.э. = н.э

Шаг 2. Проведите диагональ AC и рассмотрите треугольники ABC и CDA:

• АС — общая строна;
• AB = CD по условиям;
• BC = AD в зависимости от условий.

Отсюда следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из чувствительных треугольников следа:

• ∠DCA = ∠BACА так как эти глы — накрест лежат при стронах BC и AD и диаганоли AC и между, строны BC и AD паралленны.
• ∠DAC = ∠BCAЭти углы — крест на ложе при стойках AB и CD и секущей AC. Следовательно, стороны AB и CD также параллельны. Значит, четыреугольника ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказил второй зыгный.

Третий зызный параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точки пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Докажем 3 признака параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой О, то треугольник АОВ равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• СО = ОА;
• ДО = БО;
• углы между ними равны, как и вертикальные, поэтому угол АОВ равен углу COD.

Шаг 2. Из чувствительных треугольников следе, что CD = AB.

Эти строки параллены CD || AB, на равенство углов лежания: ∠1 = ∠2 (следует из тонкости треугольников AOB и COD).

Итак, ABCD является параллелограммом по первому доказательству, которое мы доказали ранее. Что требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — знаки. Поскольку они совпадают, эти формулы можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все же связано с параллелизмом противоположных сторон.

Как посчитать периметр параллелограмма

Для вычислений длины периметра четырехугольников обычно просто прибавляют длины их сторон. А вот в случае с параллелограммом все несколько проще, так как его стороны одинаково равны.

Опять же, давайте возьмем нашу фигуру, например:

Только для удобства обозначим стороны по-разному. AD и ВС будут просто «а», а АВ и CD – «б». Получится вот так:

Чтобы вычислить периметр, просто сложите все стороны:

Р = а + б + а + б

Но эту формулу можно изменить по-другому:

Р = 2а + 2б

Или совсем просто:

Р = (а + б) * 2

Это формула периметра параллелограмма, которая написана во всех учебниках.

Как рассчитать площадь параллелограмма

С площадью геометрических фигур всегда несколько сложнее, чем с периметрами. А вот параллелограммы в чем-то более уникальны, потому что для расчета его площади существует сразу несколько формул.

1. Вычисление производительной параллегломра по вышете.Помните, что высотой называется линия, которая выходит из вершины геометрической фигуры и идет под прямым углом к ​​противоположному основанию.

   
   

2. Вычисление производительных праллелограмм по углам. Если известна длина стороны и хотя бы один угол, то можно применить следующую формулу.
   
3. Вычисление производительного праллелограмя по диагоналям. Для этого нужно знать не только длину диагоналей, но и величину угла между ними. И тогда вы можете применить следующую формулу.
   

Диагонали параллелограмма

Определение.Диагональным параллелограммом называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллегорма через страны и косинус угла β (последовательность косинусов)

d1 = √a2 + b2 — 2ab·cosβ

d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей парлаллегорма через страны и косинус угла α (по статистике косинусов)

d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα

d2 = √a2 + b2 — 2ab·cosα

3. Формула диагоналей параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d1 = √2a2 + 2b2 — d22

d2 = √2a2 + 2b2 — d12

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

д1 =	2С	=	2С
d2·sinγ	d2·sinδ

д2 =	2С	=	2С
d1·sinγ	d1·sinδ