Правильный многоугольник

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: Все стороны и углы равны:

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn

Как найти число сторон правильного многоугольника

Любой правильный n-угольник состоит из определенного количества равных друг другу отрезков, которые при соединении образуют замкнутую линию. При этом все вершины образуемой фигуры имеют одинаковое значение. Полигоны делятся на простые и сложные. В первую группу входят треугольник и квадрат. У сложных многоугольников больше сторон. Они также включают фигурки в форме звезды. Для сложных правильных многоугольников стороны находятся вписыванием их в окружность. Приведем доказательство. Начертите правильный многоугольник с произвольным числом сторон п. Опишите вокруг него окружность. Задайте радиус R. Теперь представьте, что дан некоторый n-угольник. Если точки углов лежат на окружности и равны между собой, стороны можно найти по формуле: a = 2R ∙ sinα : 2.

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Ов совпадает с центром описанной окружности Оо, образующей центр многоугольника О4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 +… + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равно половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

Дн =	п (п — 3)
2

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать окружность, при этом площадь кольца, образованного этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

С =	π	а2
4

8. Все биссектрисы угла между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Читайте также: Радиус описанной сферы куба

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

а = 2г тг	180°
н

а = 2г тг	π
н

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

а = 2 R sin	180°
н

а = 2 R sin	π
н

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

г = а : (2tg	180°	)
н

г = а : (2tg	π	)
н

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

R = а : (2sin	180°	)
н

R = а : (2sin	π	)
н

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

С =	на2	кТГ	180°
4	н

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

С =	№2 тг	180°
н

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

С =	nR2	грех	360°
2	н

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

П = нет данных

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

αn =	п — 2	180°
н

 

Рис.3

 

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного квадрата через радиус вписанной окружности:

а = 2г

2. Формула стороны правильного квадрата через радиус описанной окружности:

а = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного квадрата через длину стороны:

р =	один
2

4. Формула радиуса описанной окружности правильного квадрата через длину стороны:

Р =	а√2
2

5. Формула площади правильного квадрата через длину стороны:

S = а2

6. Формула площади правильного квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

7. Формула площади правильного квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

8. Угол между сторонами правильного квадрата:

а = 90°

См также формулы и свойства квадрата

Формулы правильного шестиугольника:

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

а =	2√3	р
3

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

а = р

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

р =	√3
2

4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

Р = а

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

С =	а2 3√3
2

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = г2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

С =	R2 3√3
2

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

а = 120°

Формулы правильного восьмиугольника:

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

а = 2r (√2 — 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

а = R√2 — √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

р =	а(√2 + 1)
2

4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Р =	а√4 + 2√2
2

5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = а2 2 (√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

а = 135°